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Theorem mp2pm2mplem4 20614
Description: Lemma 4 for mp2pm2mp 20616. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mp2pm2mp.a |- A = ( N Mat R )
mp2pm2mp.q |- Q = (Poly1 ` A )
mp2pm2mp.l |- L = ( Base ` Q )
mp2pm2mp.m |- .x. = ( .s ` P )
mp2pm2mp.e |- E = (.g ` (mulGrp ` P ) )
mp2pm2mp.y |- Y = (var1 ` R )
mp2pm2mp.i |- I = ( p e. L |-> ( i e. N , j e. N |-> ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( i ( (coe1 ` p ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) )
mp2pm2mplem2.p |- P = (Poly1 ` R )
Assertion
Ref Expression
mp2pm2mplem4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( I ` O ) decompPMat K ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) )
Distinct variable groups:   E, p   L, p   i, N, j, p   i, O, j, p, k   P, p   R, p   Y, p   .x. , p   k, L   P, i, j, k   R, k   .x. , k   i, E, j   i, K, j   i, L, j   k, N   R, i, j   i, Y, j   .x. , i, j   A, i, j, k   k, E   k, K   k, Y
Allowed substitution hints:   A( p)   Q( i, j, k, p)   I( i, j, k, p)   K( p)
Proof of Theorem mp2pm2mplem4
Dummy variables a b s x l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mp2pm2mp.a . . 3 |- A = ( N Mat R )
2 mp2pm2mp.q . . 3 |- Q = (Poly1 ` A )
3 mp2pm2mp.l . . 3 |- L = ( Base ` Q )
4 mp2pm2mp.m . . 3 |- .x. = ( .s ` P )
5 mp2pm2mp.e . . 3 |- E = (.g ` (mulGrp ` P ) )
6 mp2pm2mp.y . . 3 |- Y = (var1 ` R )
7 mp2pm2mp.i . . 3 |- I = ( p e. L |-> ( i e. N , j e. N |-> ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( i ( (coe1 ` p ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) )
8 mp2pm2mplem2.p . . 3 |- P = (Poly1 ` R )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mp2pm2mplem3 20613 . 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( I ` O ) decompPMat K ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) ` K ) ) )
10 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
11 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( 0g ` P ) = ( 0g ` P )
128ply1ring 19618 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
13123ad2ant2 1083 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> P e. Ring )
14 ringcmn 18581 . . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Ring -> P e. CMnd )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> P e. CMnd )
1615ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> P e. CMnd )
17163ad2ant1 1082 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> P e. CMnd )
18 simpl2 1065 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> R e. Ring )
1918ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> R e. Ring )
20193ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> R e. Ring )
2120adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. NN0 ) -> R e. Ring )
22 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
23 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` A ) = ( Base ` A )
24 simpl2 1065 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. NN0 ) -> i e. N )
25 simpl3 1066 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. NN0 ) -> j e. N )
26 simpl3 1066 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> O e. L )
2726ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> O e. L )
28273ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> O e. L )
29 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (coe1 ` O ) = (coe1 ` O )
3029, 3, 2, 23coe1fvalcl 19582 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( O e. L /\ k e. NN0 ) -> ( (coe1 ` O ) ` k ) e. ( Base ` A ) )
3128, 30sylan 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. NN0 ) -> ( (coe1 ` O ) ` k ) e. ( Base ` A ) )
321, 22, 23, 24, 25, 31matecld 20232 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. NN0 ) -> ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) e. ( Base ` R ) )
33 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
34 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- (mulGrp ` P ) = (mulGrp ` P )
3522, 8, 6, 4, 34, 5, 10ply1tmcl 19642 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) e. ( Base ` R ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) e. ( Base ` P ) )
3621, 32, 33, 35syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) e. ( Base ` P ) )
3736ralrimiva 2966 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> A. k e. NN0 ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) e. ( Base ` P ) )
38 simp1lr 1125 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> s e. NN0 )
39 oveq 6656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) -> ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) = ( i ( 0g ` A ) j ) )
4039oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( ( i ( 0g ` A ) j ) .x. ( x E Y ) ) )
41 3simpa 1058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
4241ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
43 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
441, 43mat0op 20225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 0g ` A ) = ( a e. N , b e. N |-> ( 0g ` R ) ) )
4542, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( 0g ` A ) = ( a e. N , b e. N |-> ( 0g ` R ) ) )
46 eqidd 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( a = i /\ b = j ) ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` R ) )
47 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> i e. N )
48 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> j e. N )
49 fvexd 6203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
5045, 46, 47, 48, 49ovmpt2d 6788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( 0g ` A ) j ) = ( 0g ` R ) )
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( i ( 0g ` A ) j ) = ( 0g ` R ) )
5251oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( i ( 0g ` A ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( ( 0g ` R ) .x. ( x E Y ) ) )
5318ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> R e. Ring )
548ply1sca 19623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. Ring -> R = (Scalar ` P ) )
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> R = (Scalar ` P ) )
5655fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` (Scalar ` P ) ) )
5756oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( 0g ` R ) .x. ( x E Y ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) .x. ( x E Y ) ) )
588ply1lmod 19622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. Ring -> P e. LMod )
59583ad2ant2 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> P e. LMod )
6059ad4antr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> P e. LMod )
61 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> x e. NN0 )
628, 6, 34, 5, 10ply1moncl 19641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R e. Ring /\ x e. NN0 ) -> ( x E Y ) e. ( Base ` P ) )
6353, 61, 62syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( x E Y ) e. ( Base ` P ) )
64 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (Scalar ` P ) = (Scalar ` P )
65 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0g ` (Scalar ` P ) ) = ( 0g ` (Scalar ` P ) )
6610, 64, 4, 65, 11lmod0vs 18896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. LMod /\ ( x E Y ) e. ( Base ` P ) ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) )
6760, 63, 66syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) )
6852, 57, 673eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( i ( 0g ` A ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) )
6968adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) /\ s < x ) -> ( ( i ( 0g ` A ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) )
7040, 69sylan9eqr 2678 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) /\ s < x ) /\ ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) )
7170exp31 630 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( s < x -> ( ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) ) ) )
7271a2d 29 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) -> ( s < x -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) ) ) )
7372ralimdva 2962 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) -> A. x e. NN0 ( s < x -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) ) ) )
7473impancom 456 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( ( i e. N /\ j e. N ) -> A. x e. NN0 ( s < x -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) ) ) )
75743impib 1262 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> A. x e. NN0 ( s < x -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) ) )
76 breq2 4657 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> ( s < k <-> s < x ) )
77 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = x -> ( (coe1 ` O ) ` k ) = ( (coe1 ` O ) ` x ) )
7877oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = x -> ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) = ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) )
79 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = x -> ( k E Y ) = ( x E Y ) )
8078, 79oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = x -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) = ( ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) .x. ( x E Y ) ) )
8180eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> ( ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) = ( 0g ` P ) <-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) ) )
8276, 81imbi12d 334 . . . . . . . . . . 11 |- ( k = x -> ( ( s < k -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) = ( 0g ` P ) ) <-> ( s < x -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) ) ) )
8382cbvralv 3171 . . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. NN0 ( s < k -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) = ( 0g ` P ) ) <-> A. x e. NN0 ( s < x -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) ) )
8475, 83sylibr 224 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> A. k e. NN0 ( s < k -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) = ( 0g ` P ) ) )
8510, 11, 17, 37, 38, 84gsummptnn0fzv 18383 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) = ( P gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) )
8685fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> (coe1 ` ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) = (coe1 ` ( P gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) )
8786fveq1d 6193 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) ` K ) = ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) ` K ) )
88 simpllr 799 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> K e. NN0 )
89883ad2ant1 1082 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> K e. NN0 )
9036expcom 451 . . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) e. ( Base ` P ) ) )
91 elfznn0 12433 . . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... s ) -> k e. NN0 )
9290, 91syl11 33 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( k e. ( 0 ... s ) -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) e. ( Base ` P ) ) )
9392ralrimiv 2965 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> A. k e. ( 0 ... s ) ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) e. ( Base ` P ) )
94 fzfid 12772 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( 0 ... s ) e. Fin )
958, 10, 20, 89, 93, 94coe1fzgsumd 19672 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( (coe1 ` ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ` K ) ) ) )
9687, 95eqtrd 2656 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( (coe1 ` ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ` K ) ) ) )
9796mpt2eq3dva 6719 . . . 4 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) ` K ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( (coe1 ` ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ` K ) ) ) ) )
98183ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> R e. Ring )
9998adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> R e. Ring )
100 simpl2 1065 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> i e. N )
101 simpl3 1066 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> j e. N )
102263ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> O e. L )
103102, 91, 30syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> ( (coe1 ` O ) ` k ) e. ( Base ` A ) )
1041, 22, 23, 100, 101, 103matecld 20232 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) e. ( Base ` R ) )
10591adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> k e. NN0 )
10643, 22, 8, 6, 4, 34, 5coe1tm 19643 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) e. ( Base ` R ) /\ k e. NN0 ) -> (coe1 ` ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) = ( l e. NN0 |-> if ( l = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) )
10799, 104, 105, 106syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> (coe1 ` ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) = ( l e. NN0 |-> if ( l = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) )
108 eqeq1 2626 . . . . . . . . . . 11 |- ( l = K -> ( l = k <-> K = k ) )
109108ifbid 4108 . . . . . . . . . 10 |- ( l = K -> if ( l = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) = if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) )
110109adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) /\ l = K ) -> if ( l = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) = if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) )
111 simpl1r 1113 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> K e. NN0 )
112 ovex 6678 . . . . . . . . . . 11 |- ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) e. _V
113 fvex 6201 . . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` R ) e. _V
114112, 113ifex 4156 . . . . . . . . . 10 |- if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) e. _V
115114a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) e. _V )
116107, 110, 111, 115fvmptd 6288 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> ( (coe1 ` ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ` K ) = if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) )
117116mpteq2dva 4744 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( (coe1 ` ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ` K ) ) = ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) )
118117oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( (coe1 ` ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ` K ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
119118mpt2eq3dva 6719 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( (coe1 ` ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ` K ) ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) )
120119ad2antrr 762 . . . 4 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( (coe1 ` ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ` K ) ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) )
121 breq2 4657 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = K -> ( s < x <-> s < K ) )
122 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = K -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) )
123122eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = K -> ( ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) <-> ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) )
124121, 123imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = K -> ( ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) <-> ( s < K -> ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) ) )
125124rspcva 3307 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( s < K -> ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) )
1261, 43mat0op 20225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 0g ` A ) = ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` R ) ) )
127126eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` A ) )
1281273adant3 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` A ) )
129128ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` A ) )
130 elfz2nn0 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( k e. ( 0 ... s ) <-> ( k e. NN0 /\ s e. NN0 /\ k <_ s ) )
131 nn0re 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
132131ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) -> k e. RR )
133 nn0re 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( s e. NN0 -> s e. RR )
134133ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) -> s e. RR )
135 nn0re 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
136135adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) -> K e. RR )
137 lelttr 10128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( k e. RR /\ s e. RR /\ K e. RR ) -> ( ( k <_ s /\ s < K ) -> k < K ) )
138132, 134, 136, 137syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( k <_ s /\ s < K ) -> k < K ) )
139 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) /\ k < K ) -> k < K )
140139olcd 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) /\ k < K ) -> ( K < k \/ k < K ) )
141 df-ne 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( K =/= k <-> -. K = k )
142131adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) -> k e. RR )
143 lttri2 10120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( K e. RR /\ k e. RR ) -> ( K =/= k <-> ( K < k \/ k < K ) ) )
144135, 142, 143syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) -> ( K =/= k <-> ( K < k \/ k < K ) ) )
145144adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) /\ k < K ) -> ( K =/= k <-> ( K < k \/ k < K ) ) )
146141, 145syl5bbr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) /\ k < K ) -> ( -. K = k <-> ( K < k \/ k < K ) ) )
147140, 146mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) /\ k < K ) -> -. K = k )
148147ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) -> ( k < K -> -. K = k ) )
149138, 148syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( k <_ s /\ s < K ) -> -. K = k ) )
150149exp4b 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( K e. NN0 -> ( k <_ s -> ( s < K -> -. K = k ) ) ) )
151150com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( s < K -> ( k <_ s -> ( K e. NN0 -> -. K = k ) ) ) )
152151expimpd 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( k e. NN0 -> ( ( s e. NN0 /\ s < K ) -> ( k <_ s -> ( K e. NN0 -> -. K = k ) ) ) )
153152com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( k e. NN0 -> ( k <_ s -> ( ( s e. NN0 /\ s < K ) -> ( K e. NN0 -> -. K = k ) ) ) )
154153imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( k e. NN0 /\ k <_ s ) -> ( ( s e. NN0 /\ s < K ) -> ( K e. NN0 -> -. K = k ) ) )
1551543adant2 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 /\ k <_ s ) -> ( ( s e. NN0 /\ s < K ) -> ( K e. NN0 -> -. K = k ) ) )
156130, 155sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( k e. ( 0 ... s ) -> ( ( s e. NN0 /\ s < K ) -> ( K e. NN0 -> -. K = k ) ) )
157156com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( K e. NN0 -> ( ( s e. NN0 /\ s < K ) -> ( k e. ( 0 ... s ) -> -. K = k ) ) )
158157adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) -> ( ( s e. NN0 /\ s < K ) -> ( k e. ( 0 ... s ) -> -. K = k ) ) )
159158imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) -> ( k e. ( 0 ... s ) -> -. K = k ) )
160159adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) -> ( k e. ( 0 ... s ) -> -. K = k ) )
1611603ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( k e. ( 0 ... s ) -> -. K = k ) )
162161imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> -. K = k )
163162iffalsed 4097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
164163mpteq2dva 4744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( 0g ` R ) ) )
165164oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( 0g ` R ) ) ) )
166 ringmnd 18556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
1671663ad2ant2 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> R e. Mnd )
168 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 0 ... s ) e. _V
16943gsumz 17374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( R e. Mnd /\ ( 0 ... s ) e. _V ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
170167, 168, 169sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
171170ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
1721713ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
173165, 172eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) = ( 0g ` R ) )
174173mpt2eq3dva 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` R ) ) )
175 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) -> ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) )
176129, 174, 1753eqtr4d 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) )
177176ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) -> ( ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) )
178177expr 643 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ s e. NN0 ) -> ( s < K -> ( ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) ) )
179178a2d 29 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ s e. NN0 ) -> ( ( s < K -> ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) -> ( s < K -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) ) )
180179exp31 630 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. NN0 -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> ( s e. NN0 -> ( ( s < K -> ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) -> ( s < K -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) ) ) ) )
181180com14 96 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s < K -> ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> ( s e. NN0 -> ( K e. NN0 -> ( s < K -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) ) ) ) )
182125, 181syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> ( s e. NN0 -> ( K e. NN0 -> ( s < K -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) ) ) ) )
183182ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( K e. NN0 -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> ( s e. NN0 -> ( K e. NN0 -> ( s < K -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) ) ) ) ) )
184183com25 99 . . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> ( K e. NN0 -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> ( s e. NN0 -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) -> ( s < K -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) ) ) ) ) )
185184pm2.43i 52 . . . . . . . 8 |- ( K e. NN0 -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> ( s e. NN0 -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) -> ( s < K -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) ) ) ) )
186185impcom 446 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> ( s e. NN0 -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) -> ( s < K -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) ) ) )
187186imp31 448 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( s < K -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) )
188187com12 32 . . . . 5 |- ( s < K -> ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) )
189167ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> R e. Mnd )
190189adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) -> R e. Mnd )
1911903ad2ant1 1082 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> R e. Mnd )
192 ovexd 6680 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( 0 ... s ) e. _V )
193 lenlt 10116 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. RR /\ s e. RR ) -> ( K <_ s <-> -. s < K ) )
194135, 133, 193syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( K <_ s <-> -. s < K ) )
195 simpll 790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K <_ s ) -> K e. NN0 )
196 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K <_ s ) -> s e. NN0 )
197 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K <_ s ) -> K <_ s )
198 elfz2nn0 12431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 0 ... s ) <-> ( K e. NN0 /\ s e. NN0 /\ K <_ s ) )
199195, 196, 197, 198syl3anbrc 1246 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K <_ s ) -> K e. ( 0 ... s ) )
200199ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( K <_ s -> K e. ( 0 ... s ) ) )
201194, 200sylbird 250 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( -. s < K -> K e. ( 0 ... s ) ) )
202201adantll 750 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) -> ( -. s < K -> K e. ( 0 ... s ) ) )
203202adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( -. s < K -> K e. ( 0 ... s ) ) )
204203impcom 446 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) -> K e. ( 0 ... s ) )
2052043ad2ant1 1082 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> K e. ( 0 ... s ) )
206 eqcom 2629 . . . . . . . . . . 11 |- ( K = k <-> k = K )
207 ifbi 4107 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K = k <-> k = K ) -> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) = if ( k = K , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) )
208206, 207ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 |- if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) = if ( k = K , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) )
209208mpteq2i 4741 . . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( k = K , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) )
210 simpl2 1065 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. NN0 ) -> i e. N )
211 simpl3 1066 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. NN0 ) -> j e. N )
21227adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) -> O e. L )
2132123ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> O e. L )
214213, 30sylan 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. NN0 ) -> ( (coe1 ` O ) ` k ) e. ( Base ` A ) )
2151, 22, 23, 210, 211, 214matecld 20232 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. NN0 ) -> ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) e. ( Base ` R ) )
21691, 215sylan2 491 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) e. ( Base ` R ) )
217216ralrimiva 2966 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> A. k e. ( 0 ... s ) ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) e. ( Base ` R ) )
21843, 191, 192, 205, 209, 217gsummpt1n0 18364 . . . . . . . 8 |- ( ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) = [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) )
219218mpt2eq3dva 6719 . . . . . . 7 |- ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) )
220 csbov 6688 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) = ( i [_ K / k ]_ ( (coe1 ` O ) ` k ) j )
221 csbfv 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- [_ K / k ]_ ( (coe1 ` O ) ` k ) = ( (coe1 ` O ) ` K )
222221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. NN0 -> [_ K / k ]_ ( (coe1 ` O ) ` k ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) )
223222oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. NN0 -> ( i [_ K / k ]_ ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) = ( i ( (coe1 ` O ) ` K ) j ) )
224220, 223syl5eq 2668 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. NN0 -> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) = ( i ( (coe1 ` O ) ` K ) j ) )
225224ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) = ( i ( (coe1 ` O ) ` K ) j ) )
226225mpt2eq3dv 6721 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( i ( (coe1 ` O ) ` K ) j ) ) )
227 oveq12 6659 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i = a /\ j = b ) -> ( i ( (coe1 ` O ) ` K ) j ) = ( a ( (coe1 ` O ) ` K ) b ) )
228227adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ ( i = a /\ j = b ) ) -> ( i ( (coe1 ` O ) ` K ) j ) = ( a ( (coe1 ` O ) ` K ) b ) )
229 simprl 794 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> a e. N )
230 simprr 796 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> b e. N )
231 ovexd 6680 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a ( (coe1 ` O ) ` K ) b ) e. _V )
232226, 228, 229, 230, 231ovmpt2d 6788 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) b ) = ( a ( (coe1 ` O ) ` K ) b ) )
233232ralrimivva 2971 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> A. a e. N A. b e. N ( a ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) b ) = ( a ( (coe1 ` O ) ` K ) b ) )
234 simpl1 1064 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> N e. Fin )
235221oveqi 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i [_ K / k ]_ ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) = ( i ( (coe1 ` O ) ` K ) j )
236220, 235eqtri 2644 . . . . . . . . . . . . 13 |- [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) = ( i ( (coe1 ` O ) ` K ) j )
237 simp2 1062 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> i e. N )
238 simp3 1063 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> j e. N )
23929, 3, 2, 23coe1fvalcl 19582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( O e. L /\ K e. NN0 ) -> ( (coe1 ` O ) ` K ) e. ( Base ` A ) )
2402393ad2antl3 1225 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> ( (coe1 ` O ) ` K ) e. ( Base ` A ) )
2412403ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` O ) ` K ) e. ( Base ` A ) )
2421, 22, 23, 237, 238, 241matecld 20232 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i ( (coe1 ` O ) ` K ) j ) e. ( Base ` R ) )
243236, 242syl5eqel 2705 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) e. ( Base ` R ) )
2441, 22, 23, 234, 18, 243matbas2d 20229 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) e. ( Base ` A ) )
2451, 23eqmat 20230 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) e. ( Base ` A ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) e. ( Base ` A ) ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) <-> A. a e. N A. b e. N ( a ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) b ) = ( a ( (coe1 ` O ) ` K ) b ) ) )
246244, 240, 245syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) <-> A. a e. N A. b e. N ( a ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) b ) = ( a ( (coe1 ` O ) ` K ) b ) ) )
247233, 246mpbird 247 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) )
248247ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) )
249248adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) )
250219, 249eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) )
251250ex 450 . . . . 5 |- ( -. s < K -> ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) )
252188, 251pm2.61i 176 . . . 4 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) )
25397, 120, 2523eqtrd 2660 . . 3 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) ` K ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) )
254 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( 0g ` A ) = ( 0g ` A )
25529, 3, 2, 254coe1sfi 19583 . . . . 5 |- ( O e. L -> (coe1 ` O ) finSupp ( 0g ` A ) )
25626, 255syl 17 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> (coe1 ` O ) finSupp ( 0g ` A ) )
25729, 3, 2, 254, 23coe1fsupp 19584 . . . . . 6 |- ( O e. L -> (coe1 ` O ) e. { x e. ( ( Base ` A ) ^m NN0 ) | x finSupp ( 0g ` A ) } )
258 elrabi 3359 . . . . . 6 |- ( (coe1 ` O ) e. { x e. ( ( Base ` A ) ^m NN0 ) | x finSupp ( 0g ` A ) } -> (coe1 ` O ) e. ( ( Base ` A ) ^m NN0 ) )
25926, 257, 2583syl 18 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> (coe1 ` O ) e. ( ( Base ` A ) ^m NN0 ) )
260 fvex 6201 . . . . 5 |- ( 0g ` A ) e. _V
261 fsuppmapnn0ub 12795 . . . . 5 |- ( ( (coe1 ` O ) e. ( ( Base ` A ) ^m NN0 ) /\ ( 0g ` A ) e. _V ) -> ( (coe1 ` O ) finSupp ( 0g ` A ) -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) )
262259, 260, 261sylancl 694 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> ( (coe1 ` O ) finSupp ( 0g ` A ) -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) )
263256, 262mpd 15 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) )
264253, 263r19.29a 3078 . 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) ` K ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) )
2659, 264eqtrd 2656 1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( I ` O ) decompPMat K ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   [_csb 3533   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsumg cgsu 16101   Mndcmnd 17294  .gcmg 17540  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   LModclmod 18863  var1cv1 19546  Poly1cpl1 19547  coe1cco1 19548   Mat cmat 20213   decompPMat cdecpmat 20567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214  df-decpmat 20568
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