Theorem rpvmasumlem 25176

Description: Lemma for rpvmasum 25215. Calculate the "trivial case" estimate sum_ n <_ x ( .1. ( n )Λ ( n ) / n ) = log x + O(1), where .1. ( x ) is the principal Dirichlet character. Equation 9.4.7 of [Shapiro], p. 376. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
rpvmasumlem	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( .1. ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, n, .1.   n, N, x   ph, n, x   n, Z, x   D, n, x   n, L, x

Allowed substitution hints:   G( x, n)

Proof of Theorem rpvmasumlem

Dummy variables k p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 10027	. . . . . 6 |- RR e. _V
2		rpssre 11843	. . . . . 6 |- RR+ C_ RR
3	1, 2	ssexi 4803	. . . . 5 |- RR+ e. _V
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR+ e. _V )
5		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
6		elfznn 12370	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
7	6	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
8		vmacl 24844	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> (Λ ` n ) e. RR )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
10	9, 7	nndivred 11069	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
11	10	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
12	5, 11	fsumcl 14464	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
13	12	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
14		relogcl 24322	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> ( log ` x ) e. RR )
15	14	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( log ` x ) e. RR )
16	15	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( log ` x ) e. CC )
17	13, 16	subcld 10392	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) e. CC )
18		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
19		rpvmasum.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = (DChr ` N )
20		rpvmasum.z	. . . . . . . . . . . 12 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
21		rpvmasum.1	. . . . . . . . . . . 12 |- .1. = ( 0g ` G )
22		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
23		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN )
24	19, 20, 21, 22, 23	dchr1re 24988	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> .1. : ( Base ` Z ) --> RR )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> .1. : ( Base ` Z ) --> RR )
26	23	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN0 )
27		rpvmasum.l	. . . . . . . . . . . . 13 |- L = ( ZRHom ` Z )
28	20, 22, 27	znzrhfo 19896	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) )
29		fof 6115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
30	26, 28, 29	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
31		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. ZZ )
32		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L : ZZ --> ( Base ` Z ) /\ n e. ZZ ) -> ( L ` n ) e. ( Base ` Z ) )
33	30, 31, 32	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( L ` n ) e. ( Base ` Z ) )
34	25, 33	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( .1. ` ( L ` n ) ) e. RR )
35		resubcl 10345	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. RR /\ ( .1. ` ( L ` n ) ) e. RR ) -> ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) e. RR )
36	18, 34, 35	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) e. RR )
37	36, 10	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) e. RR )
38	37	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) e. CC )
39	5, 38	fsumcl 14464	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) e. CC )
40	39	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) e. CC )
41		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) )
42		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) )
43	4, 17, 40, 41, 42	offval2 6914	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) oF - ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) ) )
44	13, 16, 40	sub32d 10424	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) - ( log ` x ) ) )
45	5, 11, 38	fsumsub 14520	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) - ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) )
46		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. CC )
47	36	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) e. CC )
48	46, 47, 11	subdird 10487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 - ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = ( ( 1 x. ( (Λ ` n ) / n ) ) - ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) )
49		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
50	34	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( .1. ` ( L ` n ) ) e. CC )
51		nncan 10310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ ( .1. ` ( L ` n ) ) e. CC ) -> ( 1 - ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) ) = ( .1. ` ( L ` n ) ) )
52	49, 50, 51	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 - ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) ) = ( .1. ` ( L ` n ) ) )
53	52	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 - ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = ( ( .1. ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) )
54	11	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = ( (Λ ` n ) / n ) )
55	54	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 x. ( (Λ ` n ) / n ) ) - ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) = ( ( (Λ ` n ) / n ) - ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) )
56	48, 53, 55	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) - ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) = ( ( .1. ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) )
57	56	sumeq2dv 14433	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) - ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( .1. ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) )
58	45, 57	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( .1. ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) )
59	58	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) - ( log ` x ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( .1. ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) - ( log ` x ) ) )
60	59	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) - ( log ` x ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( .1. ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) - ( log ` x ) ) )
61	44, 60	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( .1. ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) - ( log ` x ) ) )
62	61	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( .1. ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) - ( log ` x ) ) ) )
63	43, 62	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) oF - ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( .1. ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) - ( log ` x ) ) ) )
64		vmadivsum 25171	. . 3 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1)
65	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
66		1red 10055	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
67		prmdvdsfi 24833	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> { q e. Prime | q || N } e. Fin )
68	23, 67	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> { q e. Prime | q || N } e. Fin )
69		elrabi 3359	. . . . . 6 |- ( p e. { q e. Prime | q || N } -> p e. Prime )
70		prmnn 15388	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
71	70	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> p e. NN )
72	71	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> p e. RR+ )
73	72	relogcld 24369	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( log ` p ) e. RR )
74		prmuz2 15408	. . . . . . . . 9 |- ( p e. Prime -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
75	74	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
76		uz2m1nn 11763	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( p - 1 ) e. NN )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p - 1 ) e. NN )
78	73, 77	nndivred 11069	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( log ` p ) / ( p - 1 ) ) e. RR )
79	69, 78	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. { q e. Prime | q || N } ) -> ( ( log ` p ) / ( p - 1 ) ) e. RR )
80	68, 79	fsumrecl 14465	. . . 4 |- ( ph -> sum_ p e. { q e. Prime | q || N } ( ( log ` p ) / ( p - 1 ) ) e. RR )
81		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
82		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( .1. ` ( L ` n ) ) = 0 ) -> ( .1. ` ( L ` n ) ) = 0 )
83		0re 10040	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
84	82, 83	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( .1. ` ( L ` n ) ) = 0 ) -> ( .1. ` ( L ` n ) ) e. RR )
85		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (Unit ` Z ) = (Unit ` Z )
86	23	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( .1. ` ( L ` n ) ) =/= 0 ) -> N e. NN )
87		rpvmasum.d	. . . . . . . . . . . . . 14 |- D = ( Base ` G )
88	19	dchrabl 24979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> G e. Abel )
89		ablgrp 18198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
90	87, 21	grpidcl 17450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. Grp -> .1. e. D )
91	23, 88, 89, 90	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> .1. e. D )
92	91	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> .1. e. D )
93	33	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( L ` n ) e. ( Base ` Z ) )
94	19, 20, 87, 22, 85, 92, 93	dchrn0 24975	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( .1. ` ( L ` n ) ) =/= 0 <-> ( L ` n ) e. (Unit ` Z ) ) )
95	94	biimpa 501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( .1. ` ( L ` n ) ) =/= 0 ) -> ( L ` n ) e. (Unit ` Z ) )
96	19, 20, 21, 85, 86, 95	dchr1 24982	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( .1. ` ( L ` n ) ) =/= 0 ) -> ( .1. ` ( L ` n ) ) = 1 )
97	96, 18	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( .1. ` ( L ` n ) ) =/= 0 ) -> ( .1. ` ( L ` n ) ) e. RR )
98	84, 97	pm2.61dane 2881	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( .1. ` ( L ` n ) ) e. RR )
99	18, 98, 35	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) e. RR )
100	10	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
101	99, 100	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) e. RR )
102	81, 101	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) e. RR )
103		0le1 10551	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 1
104	82, 103	syl6eqbr 4692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( .1. ` ( L ` n ) ) = 0 ) -> ( .1. ` ( L ` n ) ) <_ 1 )
105	18	leidi 10562	. . . . . . . . . . 11 |- 1 <_ 1
106	96, 105	syl6eqbr 4692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( .1. ` ( L ` n ) ) =/= 0 ) -> ( .1. ` ( L ` n ) ) <_ 1 )
107	104, 106	pm2.61dane 2881	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( .1. ` ( L ` n ) ) <_ 1 )
108		subge0 10541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ ( .1. ` ( L ` n ) ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) <-> ( .1. ` ( L ` n ) ) <_ 1 ) )
109	18, 98, 108	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) <-> ( .1. ` ( L ` n ) ) <_ 1 ) )
110	107, 109	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) )
111	9	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
112	6	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
113		vmage0 24847	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> 0 <_ (Λ ` n ) )
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ (Λ ` n ) )
115	112	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR )
116	112	nngt0d 11064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 < n )
117		divge0 10892	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( (Λ ` n ) e. RR /\ 0 <_ (Λ ` n ) ) /\ ( n e. RR /\ 0 < n ) ) -> 0 <_ ( (Λ ` n ) / n ) )
118	111, 114, 115, 116, 117	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( (Λ ` n ) / n ) )
119	99, 100, 110, 118	mulge0d 10604	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) )
120	81, 101, 119	fsumge0 14527	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) )
121	102, 120	absidd 14161	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) )
122	68	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> { q e. Prime | q || N } e. Fin )
123		inss2 3834	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) C_ Prime
124		rabss2 3685	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) C_ Prime -> { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } C_ { q e. Prime | q || N } )
125	123, 124	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } C_ { q e. Prime | q || N } )
126		ssfi 8180	. . . . . . . 8 |- ( ( { q e. Prime | q || N } e. Fin /\ { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } C_ { q e. Prime | q || N } ) -> { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } e. Fin )
127	122, 125, 126	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } e. Fin )
128		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } C_ ( ( 0 [,] x ) i^i Prime )
129	128, 123	sstri 3612	. . . . . . . . 9 |- { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } C_ Prime
130	129	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( p e. { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } -> p e. Prime )
131	78	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( log ` p ) / ( p - 1 ) ) e. RR )
132	130, 131	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } ) -> ( ( log ` p ) / ( p - 1 ) ) e. RR )
133	127, 132	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ p e. { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } ( ( log ` p ) / ( p - 1 ) ) e. RR )
134	80	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ p e. { q e. Prime | q || N } ( ( log ` p ) / ( p - 1 ) ) e. RR )
135		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( p ^ k ) -> ( L ` n ) = ( L ` ( p ^ k ) ) )
136	135	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( p ^ k ) -> ( .1. ` ( L ` n ) ) = ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) )
137	136	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( p ^ k ) -> ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) = ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) )
138		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( p ^ k ) -> (Λ ` n ) = (Λ ` ( p ^ k ) ) )
139		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( p ^ k ) -> n = ( p ^ k ) )
140	138, 139	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( p ^ k ) -> ( (Λ ` n ) / n ) = ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) )
141	137, 140	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( p ^ k ) -> ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) )
142		rpre 11839	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
143	142	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR )
144	38	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) e. CC )
145		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> (Λ ` n ) = 0 )
146	145	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) = ( 0 / n ) )
147	6	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> n e. NN )
148	147	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> n e. CC )
149	147	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> n =/= 0 )
150	148, 149	div0d 10800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( 0 / n ) = 0 )
151	146, 150	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) = 0 )
152	151	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. 0 ) )
153	47	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) e. CC )
154	153	mul01d 10235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. 0 ) = 0 )
155	152, 154	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = 0 )
156	141, 143, 144, 155	fsumvma2 24939	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ p e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) )
157	128	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } C_ ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) )
158		fzfid 12772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) e. Fin )
159	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> .1. : ( Base ` Z ) --> RR )
160	30	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
161	70	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> p e. NN )
162		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. NN )
163	162	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> k e. NN )
164	163	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> k e. NN0 )
165	161, 164	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( p ^ k ) e. NN )
166	165	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( p ^ k ) e. ZZ )
167	160, 166	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( L ` ( p ^ k ) ) e. ( Base ` Z ) )
168	159, 167	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) e. RR )
169		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. RR /\ ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) e. RR ) -> ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) e. RR )
170	18, 168, 169	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) e. RR )
171		vmacl 24844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p ^ k ) e. NN -> (Λ ` ( p ^ k ) ) e. RR )
172	165, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> (Λ ` ( p ^ k ) ) e. RR )
173	172, 165	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
174	170, 173	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) e. RR )
175	174	anassrs 680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) e. RR )
176	175	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) e. CC )
177	158, 176	fsumcl 14464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) e. CC )
178	130, 177	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) e. CC )
179		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q = p -> ( q || N <-> p || N ) )
180	179	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = p -> ( -. q || N <-> -. p || N ) )
181		notrab 3904	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) \ { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } ) = { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | -. q || N }
182	180, 181	elrab2 3366	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) \ { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } ) <-> ( p e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) /\ -. p || N ) )
183	123	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) -> p e. Prime )
184	23	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> N e. NN )
185		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> -. p || N )
186		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> p e. Prime )
187	184	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> N e. ZZ )
188		coprm 15423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( p e. Prime /\ N e. ZZ ) -> ( -. p || N <-> ( p gcd N ) = 1 ) )
189	186, 187, 188	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( -. p || N <-> ( p gcd N ) = 1 ) )
190	185, 189	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( p gcd N ) = 1 )
191		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
192	186, 191	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> p e. ZZ )
193	162	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> k e. NN )
194	193	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> k e. NN0 )
195		rpexp1i 15433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( p e. ZZ /\ N e. ZZ /\ k e. NN0 ) -> ( ( p gcd N ) = 1 -> ( ( p ^ k ) gcd N ) = 1 ) )
196	192, 187, 194, 195	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( p gcd N ) = 1 -> ( ( p ^ k ) gcd N ) = 1 ) )
197	190, 196	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( p ^ k ) gcd N ) = 1 )
198	184	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> N e. NN0 )
199	166	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( p ^ k ) e. ZZ )
200	199	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( p ^ k ) e. ZZ )
201	20, 85, 27	znunit 19912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. NN0 /\ ( p ^ k ) e. ZZ ) -> ( ( L ` ( p ^ k ) ) e. (Unit ` Z ) <-> ( ( p ^ k ) gcd N ) = 1 ) )
202	198, 200, 201	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( L ` ( p ^ k ) ) e. (Unit ` Z ) <-> ( ( p ^ k ) gcd N ) = 1 ) )
203	197, 202	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( L ` ( p ^ k ) ) e. (Unit ` Z ) )
204	19, 20, 21, 85, 184, 203	dchr1 24982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) = 1 )
205	204	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) = ( 1 - 1 ) )
206		1m1e0 11089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 - 1 ) = 0
207	205, 206	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) = 0 )
208	207	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) = ( 0 x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) )
209	173	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) e. CC )
210	209	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) e. CC )
211	210	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) e. CC )
212	211	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( 0 x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) = 0 )
213	208, 212	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) = 0 )
214	213	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) 0 )
215		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) e. Fin )
216	215	olcd 408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) \/ ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) e. Fin ) )
217		sumz 14453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) \/ ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) 0 = 0 )
218	216, 217	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) 0 = 0 )
219	214, 218	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ -. p || N ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) = 0 )
220	183, 219	sylanr1 684	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) /\ -. p || N ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) = 0 )
221	182, 220	sylan2b 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. ( ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) \ { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) = 0 )
222		ppifi 24832	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) e. Fin )
223	143, 222	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) e. Fin )
224	157, 178, 221, 223	fsumss 14456	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ p e. { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) = sum_ p e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) )
225	156, 224	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ p e. { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) )
226	158, 175	fsumrecl 14465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) e. RR )
227	130, 226	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) e. RR )
228	73	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( log ` p ) e. RR )
229	70	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> p e. NN )
230	229	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( 1 / p ) e. RR )
231	229	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> p e. RR+ )
232	231	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( 1 / p ) e. RR+ )
233		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> x e. RR+ )
234	233	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( log ` x ) e. RR )
235	229	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> p e. RR )
236	74	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
237		eluz2b2 11761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( p e. NN /\ 1 < p ) )
238	237	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < p )
239	236, 238	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> 1 < p )
240	235, 239	rplogcld 24375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( log ` p ) e. RR+ )
241	234, 240	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) e. RR )
242	241	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) e. ZZ )
243	242	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. ZZ )
244	232, 243	rpexpcld 13032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) e. RR+ )
245	244	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) e. RR )
246	230, 245	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 / p ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) e. RR )
247	236, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p - 1 ) e. NN )
248	247	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p - 1 ) e. RR+ )
249	248, 231	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p - 1 ) / p ) e. RR+ )
250	246, 249	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( 1 / p ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( p - 1 ) / p ) ) e. RR )
251	228, 250	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( log ` p ) x. ( ( ( 1 / p ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( p - 1 ) / p ) ) ) e. RR )
252	172	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> (Λ ` ( p ^ k ) ) e. CC )
253	165	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( p ^ k ) e. CC )
254	165	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( p ^ k ) =/= 0 )
255	252, 253, 254	divrecd 10804	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) = ( (Λ ` ( p ^ k ) ) x. ( 1 / ( p ^ k ) ) ) )
256		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> p e. Prime )
257		vmappw 24842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( p e. Prime /\ k e. NN ) -> (Λ ` ( p ^ k ) ) = ( log ` p ) )
258	256, 163, 257	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> (Λ ` ( p ^ k ) ) = ( log ` p ) )
259	161	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> p e. CC )
260	161	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> p =/= 0 )
261		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. ZZ )
262	261	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> k e. ZZ )
263	259, 260, 262	exprecd 13016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ k ) = ( 1 / ( p ^ k ) ) )
264	263	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( 1 / ( p ^ k ) ) = ( ( 1 / p ) ^ k ) )
265	258, 264	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) x. ( 1 / ( p ^ k ) ) ) = ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
266	255, 265	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
267	266, 173	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) e. RR )
268	267	anassrs 680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) e. RR )
269		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> 1 e. RR )
270		vmage0 24847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( p ^ k ) e. NN -> 0 <_ (Λ ` ( p ^ k ) ) )
271	165, 270	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> 0 <_ (Λ ` ( p ^ k ) ) )
272	165	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( p ^ k ) e. RR )
273	165	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> 0 < ( p ^ k ) )
274		divge0 10892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) e. RR /\ 0 <_ (Λ ` ( p ^ k ) ) ) /\ ( ( p ^ k ) e. RR /\ 0 < ( p ^ k ) ) ) -> 0 <_ ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) )
275	172, 271, 272, 273, 274	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) )
276	83	leidi 10562	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 <_ 0
277		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) /\ ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) = 0 ) -> ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) = 0 )
278	276, 277	syl5breqr 4691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) /\ ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) = 0 ) -> 0 <_ ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) )
279	23	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) /\ ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) =/= 0 ) -> N e. NN )
280	91	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> .1. e. D )
281	19, 20, 87, 22, 85, 280, 167	dchrn0 24975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) =/= 0 <-> ( L ` ( p ^ k ) ) e. (Unit ` Z ) ) )
282	281	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) /\ ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) =/= 0 ) -> ( L ` ( p ^ k ) ) e. (Unit ` Z ) )
283	19, 20, 21, 85, 279, 282	dchr1 24982	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) /\ ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) =/= 0 ) -> ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) = 1 )
284	103, 283	syl5breqr 4691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) /\ ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) )
285	278, 284	pm2.61dane 2881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) )
286		subge02 10544	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. RR /\ ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) <-> ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) <_ 1 ) )
287	18, 168, 286	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( 0 <_ ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) <-> ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) <_ 1 ) )
288	285, 287	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) <_ 1 )
289	170, 269, 173, 275, 288	lemul1ad 10963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) <_ ( 1 x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) )
290	209	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( 1 x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) = ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) )
291	290, 266	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( 1 x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) = ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
292	289, 291	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) <_ ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
293	292	anassrs 680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) <_ ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
294	158, 175, 268, 293	fsumle 14531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
295	228	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( log ` p ) e. CC )
296	161	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( 1 / p ) e. RR )
297	296, 164	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ k ) e. RR )
298	297	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( p e. Prime /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ k ) e. CC )
299	298	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ k ) e. CC )
300	158, 295, 299	fsummulc2 14516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( log ` p ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
301		fzval3 12536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) e. ZZ -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) = ( 1..^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) )
302	242, 301	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) = ( 1..^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) )
303	302	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) = sum_ k e. ( 1..^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) )
304	230	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( 1 / p ) e. CC )
305	229	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> 0 < p )
306		recgt1 10919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( p e. RR /\ 0 < p ) -> ( 1 < p <-> ( 1 / p ) < 1 ) )
307	235, 305, 306	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( 1 < p <-> ( 1 / p ) < 1 ) )
308	239, 307	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( 1 / p ) < 1 )
309	230, 308	ltned 10173	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( 1 / p ) =/= 1 )
310		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. NN0
311	310	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> 1 e. NN0 )
312		log1 24332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( log ` 1 ) = 0
313		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 <_ x )
314		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 e. RR+
315		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR+ )
316		logleb 24349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 1 e. RR+ /\ x e. RR+ ) -> ( 1 <_ x <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` x ) ) )
317	314, 315, 316	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 <_ x <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` x ) ) )
318	313, 317	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( log ` 1 ) <_ ( log ` x ) )
319	312, 318	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 0 <_ ( log ` x ) )
320	319	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> 0 <_ ( log ` x ) )
321	234, 240, 320	divge0d 11912	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> 0 <_ ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) )
322		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) -> ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) e. NN0 )
323	241, 321, 322	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) e. NN0 )
324		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) e. NN0 -> ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. NN )
325	323, 324	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. NN )
326		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
327	325, 326	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
328	304, 309, 311, 327	geoserg 14598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1..^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) = ( ( ( ( 1 / p ) ^ 1 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) )
329	304	exp1d 13003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 / p ) ^ 1 ) = ( 1 / p ) )
330	329	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( 1 / p ) ^ 1 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / p ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) )
331	229	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> p e. CC )
332		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> 1 e. CC )
333	231	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p e. CC /\ p =/= 0 ) )
334		divsubdir 10721	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( p e. CC /\ 1 e. CC /\ ( p e. CC /\ p =/= 0 ) ) -> ( ( p - 1 ) / p ) = ( ( p / p ) - ( 1 / p ) ) )
335	331, 332, 333, 334	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p - 1 ) / p ) = ( ( p / p ) - ( 1 / p ) ) )
336		divid 10714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( p e. CC /\ p =/= 0 ) -> ( p / p ) = 1 )
337	333, 336	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p / p ) = 1 )
338	337	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p / p ) - ( 1 / p ) ) = ( 1 - ( 1 / p ) ) )
339	335, 338	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( 1 - ( 1 / p ) ) = ( ( p - 1 ) / p ) )
340	330, 339	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( ( 1 / p ) ^ 1 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) = ( ( ( 1 / p ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( p - 1 ) / p ) ) )
341	303, 328, 340	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) = ( ( ( 1 / p ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( p - 1 ) / p ) ) )
342	341	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( log ` p ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( ( ( 1 / p ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( p - 1 ) / p ) ) ) )
343	300, 342	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( ( ( 1 / p ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( p - 1 ) / p ) ) ) )
344	294, 343	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) <_ ( ( log ` p ) x. ( ( ( 1 / p ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( p - 1 ) / p ) ) ) )
345	244	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> 0 <_ ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) )
346	230, 245	subge02d 10619	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) <-> ( ( 1 / p ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( 1 / p ) ) )
347	345, 346	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 / p ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( 1 / p ) )
348	248	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p - 1 ) e. CC /\ ( p - 1 ) =/= 0 ) )
349		dmdcan 10735	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( p - 1 ) e. CC /\ ( p - 1 ) =/= 0 ) /\ ( p e. CC /\ p =/= 0 ) /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( p - 1 ) / p ) x. ( 1 / ( p - 1 ) ) ) = ( 1 / p ) )
350	348, 333, 332, 349	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( p - 1 ) / p ) x. ( 1 / ( p - 1 ) ) ) = ( 1 / p ) )
351	347, 350	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( 1 / p ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( ( p - 1 ) / p ) x. ( 1 / ( p - 1 ) ) ) )
352	247	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( 1 / ( p - 1 ) ) e. RR )
353	246, 352, 249	ledivmuld 11925	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( ( 1 / p ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( p - 1 ) / p ) ) <_ ( 1 / ( p - 1 ) ) <-> ( ( 1 / p ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( ( p - 1 ) / p ) x. ( 1 / ( p - 1 ) ) ) ) )
354	351, 353	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( 1 / p ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( p - 1 ) / p ) ) <_ ( 1 / ( p - 1 ) ) )
355	250, 352, 240	lemul2d 11916	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( ( ( 1 / p ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( p - 1 ) / p ) ) <_ ( 1 / ( p - 1 ) ) <-> ( ( log ` p ) x. ( ( ( 1 / p ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( p - 1 ) / p ) ) ) <_ ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p - 1 ) ) ) ) )
356	354, 355	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( log ` p ) x. ( ( ( 1 / p ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( p - 1 ) / p ) ) ) <_ ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p - 1 ) ) ) )
357	247	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p - 1 ) e. CC )
358	247	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p - 1 ) =/= 0 )
359	295, 357, 358	divrecd 10804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( log ` p ) / ( p - 1 ) ) = ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p - 1 ) ) ) )
360	356, 359	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( log ` p ) x. ( ( ( 1 / p ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( p - 1 ) / p ) ) ) <_ ( ( log ` p ) / ( p - 1 ) ) )
361	226, 251, 131, 344, 360	letrd 10194	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) <_ ( ( log ` p ) / ( p - 1 ) ) )
362	130, 361	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) <_ ( ( log ` p ) / ( p - 1 ) ) )
363	127, 227, 132, 362	fsumle 14531	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ p e. { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` x ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` ( p ^ k ) ) ) ) x. ( (Λ ` ( p ^ k ) ) / ( p ^ k ) ) ) <_ sum_ p e. { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } ( ( log ` p ) / ( p - 1 ) ) )
364	225, 363	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) <_ sum_ p e. { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } ( ( log ` p ) / ( p - 1 ) ) )
365	79	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. { q e. Prime | q || N } ) -> ( ( log ` p ) / ( p - 1 ) ) e. RR )
366	240, 248	rpdivcld 11889	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( log ` p ) / ( p - 1 ) ) e. RR+ )
367	366	rpge0d 11876	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. Prime ) -> 0 <_ ( ( log ` p ) / ( p - 1 ) ) )
368	69, 367	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ p e. { q e. Prime | q || N } ) -> 0 <_ ( ( log ` p ) / ( p - 1 ) ) )
369	122, 365, 368, 125	fsumless 14528	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ p e. { q e. ( ( 0 [,] x ) i^i Prime ) | q || N } ( ( log ` p ) / ( p - 1 ) ) <_ sum_ p e. { q e. Prime | q || N } ( ( log ` p ) / ( p - 1 ) ) )
370	102, 133, 134, 364, 369	letrd 10194	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) <_ sum_ p e. { q e. Prime | q || N } ( ( log ` p ) / ( p - 1 ) ) )
371	121, 370	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) <_ sum_ p e. { q e. Prime | q || N } ( ( log ` p ) / ( p - 1 ) ) )
372	65, 40, 66, 80, 371	elo1d 14267	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) e. O(1) )
373		o1sub 14346	. . 3 |- ( ( ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) /\ ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) e. O(1) ) -> ( ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) oF - ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) ) e. O(1) )
374	64, 372, 373	sylancr 695	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) oF - ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 - ( .1. ` ( L ` n ) ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) ) ) e. O(1) )
375	63, 374	eqeltrrd 2702	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( .1. ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   |_cfl 12591   ^cexp 12860   abscabs 13974   O(1)co1 14217   sum_csu 14416   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216   Primecprime 15385   Basecbs 15857   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   Abelcabl 18194  Unitcui 18639   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851   logclog 24301  Λcvma 24818  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-cht 24823  df-vma 24824  df-chp 24825  df-ppi 24826  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  rpvmasum2  25201