Theorem cosne0 24276

Description: The cosine function has no zeroes within the vertical strip of the complex plane between real part -u pi / 2 and pi / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cosne0	|- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) =/= 0 )

Proof of Theorem cosne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpire 24216	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) e. RR
2	1	recni 10052	. . . . 5 |- ( pi / 2 ) e. CC
3		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> A e. CC )
4		nncan 10310	. . . . 5 |- ( ( ( pi / 2 ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( pi / 2 ) - ( ( pi / 2 ) - A ) ) = A )
5	2, 3, 4	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) - ( ( pi / 2 ) - A ) ) = A )
6	5	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - ( ( pi / 2 ) - A ) ) ) = ( cos ` A ) )
7		subcl 10280	. . . . 5 |- ( ( ( pi / 2 ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. CC )
8	2, 3, 7	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. CC )
9		coshalfpim 24247	. . . 4 |- ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. CC -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - ( ( pi / 2 ) - A ) ) ) = ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
10	8, 9	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - ( ( pi / 2 ) - A ) ) ) = ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
11	6, 10	eqtr3d 2658	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) = ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
12	5	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) /\ ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) e. ZZ ) -> ( ( pi / 2 ) - ( ( pi / 2 ) - A ) ) = A )
13		picn 24211	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. CC
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> pi e. CC )
15		pire 24210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi e. RR
16		pipos 24212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < pi
17	15, 16	gt0ne0ii 10564	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi =/= 0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> pi =/= 0 )
19	8, 14, 18	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) x. pi ) = ( ( pi / 2 ) - A ) )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) /\ ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) x. pi ) = ( ( pi / 2 ) - A ) )
21		zre 11381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) e. ZZ -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) e. RR )
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) /\ ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) e. ZZ ) -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) e. RR )
23		remulcl 10021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) x. pi ) e. RR )
24	22, 15, 23	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) /\ ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) x. pi ) e. RR )
25	20, 24	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) /\ ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) e. ZZ ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR )
26		resubcl 10345	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) - ( ( pi / 2 ) - A ) ) e. RR )
27	1, 25, 26	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) /\ ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) e. ZZ ) -> ( ( pi / 2 ) - ( ( pi / 2 ) - A ) ) e. RR )
28	12, 27	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) /\ ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) e. ZZ ) -> A e. RR )
29	28	rered 13964	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) /\ ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) e. ZZ ) -> ( Re ` A ) = A )
30		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) /\ ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) e. ZZ ) -> ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
31	29, 30	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) /\ ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) e. ZZ ) -> A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
32		0zd 11389	. . . . . 6 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 e. ZZ )
33		elioore 12205	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> A e. RR )
34		resubcl 10345	. . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR )
35	1, 33, 34	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR )
36	15	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> pi e. RR )
37		eliooord 12233	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( -u ( pi / 2 ) < A /\ A < ( pi / 2 ) ) )
38	37	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> A < ( pi / 2 ) )
39		posdif 10521	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( A < ( pi / 2 ) <-> 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
40	33, 1, 39	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( A < ( pi / 2 ) <-> 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
41	38, 40	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( ( pi / 2 ) - A ) )
42	16	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < pi )
43	35, 36, 41, 42	divgt0d 10959	. . . . . 6 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 0 < ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) )
44	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( pi / 2 ) e. RR )
45	2	negcli 10349	. . . . . . . . . . . 12 |- -u ( pi / 2 ) e. CC
46	13, 2	negsubi 10359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( pi + -u ( pi / 2 ) ) = ( pi - ( pi / 2 ) )
47		pidiv2halves 24219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) = pi
48	13, 2, 2, 47	subaddrii 10370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( pi - ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
49	46, 48	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( pi + -u ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
50	2, 13, 45, 49	subaddrii 10370	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( pi / 2 ) - pi ) = -u ( pi / 2 )
51	37	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> -u ( pi / 2 ) < A )
52	50, 51	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - pi ) < A )
53	44, 36, 33, 52	ltsub23d 10632	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) < pi )
54	13	mulid1i 10042	. . . . . . . . 9 |- ( pi x. 1 ) = pi
55	53, 54	syl6breqr 4695	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi x. 1 ) )
56		1red 10055	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> 1 e. RR )
57		ltdivmul 10898	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( pi e. RR /\ 0 < pi ) ) -> ( ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) < 1 <-> ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi x. 1 ) ) )
58	35, 56, 36, 42, 57	syl112anc 1330	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) < 1 <-> ( ( pi / 2 ) - A ) < ( pi x. 1 ) ) )
59	55, 58	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) < 1 )
60		1e0p1 11552	. . . . . . 7 |- 1 = ( 0 + 1 )
61	59, 60	syl6breq 4694	. . . . . 6 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) < ( 0 + 1 ) )
62		btwnnz 11453	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 0 < ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) /\ ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) < ( 0 + 1 ) ) -> -. ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) e. ZZ )
63	32, 43, 61, 62	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) -> -. ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) e. ZZ )
64	31, 63	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) /\ ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) e. ZZ ) -> -. ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) e. ZZ )
65	64	pm2.01da 458	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> -. ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) e. ZZ )
66		sineq0 24273	. . . . 5 |- ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. CC -> ( ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = 0 <-> ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) e. ZZ ) )
67	8, 66	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = 0 <-> ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) e. ZZ ) )
68	67	necon3abid 2830	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) =/= 0 <-> -. ( ( ( pi / 2 ) - A ) / pi ) e. ZZ ) )
69	65, 68	mpbird 247	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) =/= 0 )
70	11, 69	eqnetrd 2861	1 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) =/= 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   ZZcz 11377   (,)cioo 12175   Recre 13837   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  tanord  24284  tanregt0  24285  atantan  24650  tan2h  33401  fourierdlem62  40385