basellem5 - Metamath Proof Explorer

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Theorem basellem5 24811

Description: Lemma for basel 24816. Using vieta1 24067, we can calculate the sum of the roots of

as the quotient of the top two coefficients, and since the function

enumerates the roots, we are left with an equation that sums the

function at the

different roots. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
basel.n
basel.p
basel.t

**Assertion**
Ref	Expression
basellem5

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem basellem5 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 coeff coeff
2		eqid 2622	. . 3 deg deg
3		eqid 2622	. . 3
4		basel.n	. . . . 5
5		basel.p	. . . . 5
6	4, 5	basellem2 24808	. . . 4 Poly $/\$ deg $/\$ coeff
7	6	simp1d 1073	. . 3 Poly
8	6	simp2d 1074	. . . 4 deg
9		nnnn0 11299	. . . . 5
10		hashfz1 13134	. . . . 5
11	9, 10	syl 17	. . . 4
12		basel.t	. . . . . . 7
13	4, 5, 12	basellem4 24810	. . . . . 6
14		ovex 6678	. . . . . . 7
15	14	f1oen 7976	. . . . . 6
16	13, 15	syl 17	. . . . 5
17		fzfid 12772	. . . . . 6
18		nnne0 11053	. . . . . . . . . 10
19	8, 18	eqnetrd 2861	. . . . . . . . 9 deg
20		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 deg deg
21		dgr0 24018	. . . . . . . . . . 11 deg
22	20, 21	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 deg
23	22	necon3i 2826	. . . . . . . . 9 deg
24	19, 23	syl 17	. . . . . . . 8
25	3	fta1 24063	. . . . . . . 8 Poly $/\$ $/\$ deg
26	7, 24, 25	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$ deg
27	26	simpld 475	. . . . . 6
28		hashen 13135	. . . . . 6 $/\$
29	17, 27, 28	syl2anc 693	. . . . 5
30	16, 29	mpbird 247	. . . 4
31	8, 11, 30	3eqtr2rd 2663	. . 3 deg
32		id 22	. . . 4
33	8, 32	eqeltrd 2701	. . 3 deg
34	1, 2, 3, 7, 31, 33	vieta1 24067	. 2 coeffdeg coeffdeg
35		id 22	. . 3
36		oveq1 6657	. . . . . . . 8
37	36	oveq1d 6665	. . . . . . 7
38	37	fveq2d 6195	. . . . . 6
39	38	oveq1d 6665	. . . . 5
40		ovex 6678	. . . . 5
41	39, 12, 40	fvmpt 6282	. . . 4
42	41	adantl 482	. . 3 $/\$
43		cnvimass 5485	. . . . 5
44		plyf 23954	. . . . . 6 Poly
45		fdm 6051	. . . . . 6
46	7, 44, 45	3syl 18	. . . . 5
47	43, 46	syl5sseq 3653	. . . 4
48	47	sselda 3603	. . 3 $/\$
49	35, 17, 13, 42, 48	fsumf1o 14454	. 2
50	6	simp3d 1075	. . . . . . 7 coeff
51	8	oveq1d 6665	. . . . . . 7 deg
52	50, 51	fveq12d 6197	. . . . . 6 coeffdeg
53		nnm1nn0 11334	. . . . . . 7
54		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
55	54	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
56		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
57	56	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
58	55, 57	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
59		eqid 2622	. . . . . . . 8
60		ovex 6678	. . . . . . . 8
61	58, 59, 60	fvmpt 6282	. . . . . . 7
62	53, 61	syl 17	. . . . . 6
63		nncn 11028	. . . . . . . . . . 11
64		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . 11
65		nncan 10310	. . . . . . . . . . 11 $/\$
66	63, 64, 65	sylancl 694	. . . . . . . . . 10
67	66	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
68		neg1cn 11124	. . . . . . . . . 10
69		exp1 12866	. . . . . . . . . 10
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
71	67, 70	syl6eq 2672	. . . . . . . 8
72	71	oveq2d 6666	. . . . . . 7
73		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . 14
74		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
75	73, 74	mpan 706	. . . . . . . . . . . . 13
76	75	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . 12
77	4, 76	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11
78	77	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . 10
79		2z 11409	. . . . . . . . . . 11
80		nnz 11399	. . . . . . . . . . . 12
81		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . 12
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . 11
83		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . 11 $/\$
84	79, 82, 83	sylancr 695	. . . . . . . . . 10
85		bccl 13109	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	78, 84, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . 9
87	86	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8
88		mulcom 10022	. . . . . . . 8 $/\$
89	87, 68, 88	sylancl 694	. . . . . . 7
90	87	mulm1d 10482	. . . . . . 7
91	72, 89, 90	3eqtrd 2660	. . . . . 6
92	52, 62, 91	3eqtrd 2660	. . . . 5 coeffdeg
93	87	negcld 10379	. . . . 5
94	92, 93	eqeltrd 2701	. . . 4 coeffdeg
95	50, 8	fveq12d 6197	. . . . . 6 coeffdeg
96		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
97	96	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
98		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
99	98	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
100	97, 99	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
101		ovex 6678	. . . . . . . 8
102	100, 59, 101	fvmpt 6282	. . . . . . 7
103	9, 102	syl 17	. . . . . 6
104	63	subidd 10380	. . . . . . . . . 10
105	104	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
106		exp0 12864	. . . . . . . . . 10
107	68, 106	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
108	105, 107	syl6eq 2672	. . . . . . . 8
109	108	oveq2d 6666	. . . . . . 7
110		1eluzge0 11732	. . . . . . . . . . . 12
111		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . 12
112	110, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
113	75	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . 14
114	113	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . 13
115	114, 4	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . 12
116		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . 14
117	75, 116	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . 13
118	77	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . 13
119		elfz5 12334	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120	117, 118, 119	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12
121	115, 120	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11
122	112, 121	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10
123		bccl2 13110	. . . . . . . . . 10
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . 9
125	124	nncnd 11036	. . . . . . . 8
126	125	mulid1d 10057	. . . . . . 7
127	109, 126	eqtrd 2656	. . . . . 6
128	95, 103, 127	3eqtrd 2660	. . . . 5 coeffdeg
129	128, 125	eqeltrd 2701	. . . 4 coeffdeg
130	124	nnne0d 11065	. . . . 5
131	128, 130	eqnetrd 2861	. . . 4 coeffdeg
132	94, 129, 131	divnegd 10814	. . 3 coeffdeg coeffdeg coeffdeg coeffdeg
133	92	negeqd 10275	. . . . 5 coeffdeg
134	87	negnegd 10383	. . . . 5
135	133, 134	eqtrd 2656	. . . 4 coeffdeg
136	135, 128	oveq12d 6668	. . 3 coeffdeg coeffdeg
137		bcm1k 13102	. . . . . . . . . 10
138	121, 137	syl 17	. . . . . . . . 9
139	75	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
140		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
141	139, 140, 140	pnncand 10431	. . . . . . . . . . . . . . . 16
142	4	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16
143		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . . 16
144	141, 142, 143	3eqtr4g 2681	. . . . . . . . . . . . . . 15
145		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . 15
146	144, 145	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . 14
147		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . 16
148	75, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
149		nn0sub 11343	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
150	148, 78, 149	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14
151	146, 150	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13
152	63	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
153	152	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
154	63, 63, 140	addsubd 10413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
155	153, 154	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16
156		nn0nnaddcl 11324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
157	53, 156	mpancom 703	. . . . . . . . . . . . . . . 16
158	155, 157	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15
159	158, 116	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . 14
160		elfz5 12334	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
161	159, 118, 160	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13
162	151, 161	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12
163		bcm1k 13102	. . . . . . . . . . . 12
164	162, 163	syl 17	. . . . . . . . . . 11
165	64	2timesi 11147	. . . . . . . . . . . . . . . 16
166	165	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . 15
167	166	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14
168	139, 140, 140	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . . 14
169		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . 15
170	169, 63, 140	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . 14
171	167, 168, 170	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . . . . 13
172	171	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
173	77	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15
174	158	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15
175	173, 174, 140	subsubd 10420	. . . . . . . . . . . . . 14
176	144	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15
177		df-3 11080	. . . . . . . . . . . . . . 15
178	176, 177	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . 14
179	175, 178	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13
180	179	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12
181	172, 180	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11
182	164, 181	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10
183	144	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10
184	182, 183	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
185		3re 11094	. . . . . . . . . . . 12
186		nndivre 11056	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
187	185, 158, 186	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11
188	187	recnd 10068	. . . . . . . . . 10
189		2re 11090	. . . . . . . . . . . 12
190		nndivre 11056	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
191	189, 75, 190	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11
192	191	recnd 10068	. . . . . . . . . 10
193	87, 188, 192	mulassd 10063	. . . . . . . . 9
194	138, 184, 193	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8
195		3cn 11095	. . . . . . . . . . . 12
196	195	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
197	158	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11
198	75	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11
199	196, 174, 169, 139, 197, 198	divmuldivd 10842	. . . . . . . . . 10
200		3t2e6 11179	. . . . . . . . . . . 12
201	200	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
202	174, 139	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11
203	201, 202	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
204	199, 203	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9
205	204	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
206	194, 205	eqtrd 2656	. . . . . . 7
207	206	oveq1d 6665	. . . . . 6
208		6re 11101	. . . . . . . . 9
209	75, 158	nnmulcld 11068	. . . . . . . . 9
210		nndivre 11056	. . . . . . . . 9 $/\$
211	208, 209, 210	sylancr 695	. . . . . . . 8
212	211	recnd 10068	. . . . . . 7
213		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . 14
214	158, 213	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
215	171, 214	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12
216	215	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11
217	158	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11
218	77	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11
219	217	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . 13
220	171, 219	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . 12
221	216, 217, 220	ltled 10185	. . . . . . . . . . 11
222	216, 217, 218, 221, 151	letrd 10194	. . . . . . . . . 10
223		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . 12
224	215, 223	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11
225		elfz5 12334	. . . . . . . . . . 11 $/\$
226	224, 118, 225	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10
227	222, 226	mpbird 247	. . . . . . . . 9
228		bccl2 13110	. . . . . . . . 9
229	227, 228	syl 17	. . . . . . . 8
230	229	nnne0d 11065	. . . . . . 7
231	212, 87, 230	divcan3d 10806	. . . . . 6
232	207, 231	eqtrd 2656	. . . . 5
233	232	oveq2d 6666	. . . 4
234	125, 87, 130, 230	recdivd 10818	. . . 4
235	209	nncnd 11036	. . . . 5
236	209	nnne0d 11065	. . . . 5
237		6cn 11102	. . . . . 6
238		6nn 11189	. . . . . . 7
239	238	nnne0i 11055	. . . . . 6
240		recdiv 10731	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
241	237, 239, 240	mpanl12 718	. . . . 5 $/\$
242	235, 236, 241	syl2anc 693	. . . 4
243	233, 234, 242	3eqtr3d 2664	. . 3
244	132, 136, 243	3eqtrd 2660	. 2 coeffdeg coeffdeg
245	34, 49, 244	3eqtr3d 2664	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wss 3574

csn 4177 class class class wbr 4653

cmpt 4729

ccnv 5113

cdm 5114

cima 5117

wf 5884

wf1o 5887

cfv 5888 (class class class)co 6650

cen 7952

cfn 7955

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

c3 11071

c6 11074

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326

cexp 12860

cbc 13089

chash 13117

csu 14416

ctan 14796

cpi 14797

c0p 23436 Polycply 23940 coeffccoe 23942 degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-tan 14802 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-0p 23437 df-limc 23630 df-dv 23631 df-ply 23944 df-idp 23945 df-coe 23946 df-dgr 23947 df-quot 24046

This theorem is referenced by: basellem8 24814

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