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Theorem bposlem1 25009

Description: An upper bound on the prime powers dividing a central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
bposlem1	$/\$

Proof of Theorem bposlem1 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12772	. . . 4 $/\$
2		2nn 11185	. . . . . . . . . . 11
3		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . 11 $/\$
4	2, 3	mpan 706	. . . . . . . . . 10
5	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
6		prmnn 15388	. . . . . . . . . . 11
7	6	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
8		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . 12
9	8	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
10	9	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
11	7, 10	nnexpcld 13030	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
12		nnrp 11842	. . . . . . . . . 10
13		nnrp 11842	. . . . . . . . . 10
14		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . 10 $/\$
15	12, 13, 14	syl2an 494	. . . . . . . . 9 $/\$
16	5, 11, 15	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
17	16	rpred 11872	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
18	17	flcld 12599	. . . . . 6 $/\$ $/\$
19		2z 11409	. . . . . . 7
20		simpll 790	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
21		nnrp 11842	. . . . . . . . . . 11
22		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . 11 $/\$
23	21, 13, 22	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 $/\$
24	20, 11, 23	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
25	24	rpred 11872	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
26	25	flcld 12599	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
27		zmulcl 11426	. . . . . . 7 $/\$
28	19, 26, 27	sylancr 695	. . . . . 6 $/\$ $/\$
29	18, 28	zsubcld 11487	. . . . 5 $/\$ $/\$
30	29	zred 11482	. . . 4 $/\$ $/\$
31		1re 10039	. . . . . 6
32		0re 10040	. . . . . 6
33	31, 32	keepel 4155	. . . . 5
34	33	a1i 11	. . . 4 $/\$ $/\$
35	28	zred 11482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
36	17, 35	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
37		2re 11090	. . . . . . . . . 10
38	37	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
39	18	zred 11482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
40		flle 12600	. . . . . . . . . . 11
41	17, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
42	39, 17, 35, 41	lesub1dd 10643	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
43		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
44	25, 31, 43	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
45		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
46	37, 44, 45	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
47		flltp1 12601	. . . . . . . . . . . . . 14
48	25, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
49		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
50	26	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
51	25, 49, 50	ltsubaddd 10623	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
52	48, 51	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
53		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . 15
54	37, 53	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
55		ltmul2 10874	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
56	54, 55	mp3an3 1413	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
57	44, 50, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
58	52, 57	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
59	46, 35, 17, 58	ltsub2dd 10640	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
60		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
61		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . 14
62	61	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
63	11	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
64	11	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
65	60, 62, 63, 64	divassd 10836	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
66	25	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
67		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
68	60, 66, 67	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
69		2t1e2 11176	. . . . . . . . . . . . . 14
70	69	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13
71	68, 70	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
72	65, 71	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
73		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
74	37, 25, 73	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
75	74	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
76		2cn 11091	. . . . . . . . . . . 12
77		nncan 10310	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
78	75, 76, 77	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
79	72, 78	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
80	59, 79	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
81	30, 36, 38, 42, 80	lelttrd 10195	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
82		df-2 11079	. . . . . . . 8
83	81, 82	syl6breq 4694	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
84		1z 11407	. . . . . . . 8
85		zleltp1 11428	. . . . . . . 8 $/\$
86	29, 84, 85	sylancl 694	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
87	83, 86	mpbird 247	. . . . . 6 $/\$ $/\$
88		iftrue 4092	. . . . . . 7
89	88	breq2d 4665	. . . . . 6
90	87, 89	syl5ibrcom 237	. . . . 5 $/\$ $/\$
91	9	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	91	biantrurd 529	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
93	6	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
94	93	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
95		prmuz2 15408	. . . . . . . . . . . . . . 15
96	95	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
97		eluz2b1 11759	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
98	97	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . 14
99	96, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
100	94, 99	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
102		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . 12
103	102	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
104	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
105	104	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
107		efexple 25006	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
108	101, 103, 106, 107	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
109	9	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
110	84	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
111	104	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
112		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
113	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
114		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
116		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
117	116	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
118		0le2 11111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
119	37, 118	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
121		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
122	121	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
123		lemul2a 10878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	112, 117, 120, 122, 123	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
125	69, 124	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
126	112, 113, 111, 115, 125	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
127	111, 126	rplogcld 24375	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
128	94, 99	rplogcld 24375	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
129	127, 128	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
130	129	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
131	130	flcld 12599	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
132	131	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
133		elfz 12332	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
134	109, 110, 132, 133	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
135	92, 108, 134	3bitr4rd 301	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
136	135	notbid 308	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
137	111	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
138	11	nnred 11035	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
139	137, 138	ltnled 10184	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
140	136, 139	bitr4d 271	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
141	16	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
142	141	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
143	11	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
144		ltdivmul 10898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
145	137, 49, 138, 143, 144	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
146	63	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
147	146	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
148	145, 147	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
149	148	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
150	149	impr 649	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
151		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . . 13
152	150, 151	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
153	17	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
154		0z 11388	. . . . . . . . . . . . 13
155		flbi 12617	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
156	153, 154, 155	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157	142, 152, 156	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
158	24	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
159	158	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
160	116, 21	ltaddrp2d 11906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
161	61	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
162	160, 161	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
163	162	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
164	116	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
165		lttr 10114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
166	164, 137, 138, 165	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
167	163, 166	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
168		ltdivmul 10898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
169	164, 49, 138, 143, 168	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
170	146	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
171	169, 170	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
172	167, 171	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
173	172	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
174	173, 151	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
175	25	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
176		flbi 12617	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
177	175, 154, 176	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
178	159, 174, 177	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
179	178	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
180		2t0e0 11183	. . . . . . . . . . . 12
181	179, 180	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
182	157, 181	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
183		0m0e0 11130	. . . . . . . . . 10
184	182, 183	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
185		0le0 11110	. . . . . . . . 9
186	184, 185	syl6eqbr 4692	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
187	186	expr 643	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
188	140, 187	sylbid 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$
189		iffalse 4095	. . . . . . . 8
190	189	eqcomd 2628	. . . . . . 7
191	190	breq2d 4665	. . . . . 6
192	188, 191	mpbidi 231	. . . . 5 $/\$ $/\$
193	90, 192	pm2.61d 170	. . . 4 $/\$ $/\$
194	1, 30, 34, 193	fsumle 14531	. . 3 $/\$
195		pcbcctr 25001	. . 3 $/\$
196	131	zred 11482	. . . . . . . 8 $/\$
197		flle 12600	. . . . . . . . 9
198	130, 197	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$
199	104	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
200	93, 199	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
201	200	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
202		bernneq3 12992	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
203	96, 199, 202	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
204	111, 201, 203	ltled 10185	. . . . . . . . . . 11 $/\$
205	105	reeflogd 24370	. . . . . . . . . . 11 $/\$
206	93	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
207	104	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
208		reexplog 24341	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
209	206, 207, 208	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
210	209	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 $/\$
211	204, 205, 210	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . 10 $/\$
212	105	relogcld 24369	. . . . . . . . . . 11 $/\$
213	128	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
214	111, 213	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 $/\$
215		efle 14848	. . . . . . . . . . 11 $/\$
216	212, 214, 215	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$
217	211, 216	mpbird 247	. . . . . . . . 9 $/\$
218	212, 111, 128	ledivmul2d 11926	. . . . . . . . 9 $/\$
219	217, 218	mpbird 247	. . . . . . . 8 $/\$
220	196, 130, 111, 198, 219	letrd 10194	. . . . . . 7 $/\$
221		eluz 11701	. . . . . . . 8 $/\$
222	131, 207, 221	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$
223	220, 222	mpbird 247	. . . . . 6 $/\$
224		fzss2 12381	. . . . . 6
225	223, 224	syl 17	. . . . 5 $/\$
226		sumhash 15600	. . . . 5 $/\$
227	1, 225, 226	syl2anc 693	. . . 4 $/\$
228	129	rprege0d 11879	. . . . 5 $/\$ $/\$
229		flge0nn0 12621	. . . . 5 $/\$
230		hashfz1 13134	. . . . 5
231	228, 229, 230	3syl 18	. . . 4 $/\$
232	227, 231	eqtr2d 2657	. . 3 $/\$
233	194, 195, 232	3brtr4d 4685	. 2 $/\$
234		simpr 477	. . . . 5 $/\$
235		nnnn0 11299	. . . . . . 7
236		fzctr 12451	. . . . . . 7
237		bccl2 13110	. . . . . . 7
238	235, 236, 237	3syl 18	. . . . . 6
239	238	adantr 481	. . . . 5 $/\$
240	234, 239	pccld 15555	. . . 4 $/\$
241	240	nn0zd 11480	. . 3 $/\$
242		efexple 25006	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
243	94, 99, 241, 105, 242	syl211anc 1332	. 2 $/\$
244	233, 243	mpbird 247	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wss 3574

cif 4086 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cfn 7955

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cfz 12326

cfl 12591

cexp 12860

cbc 13089

chash 13117

csu 14416

ce 14792

cprime 15385

cpc 15541

clog 24301

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-pc 15542 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303

This theorem is referenced by: bposlem5 25013 bposlem6 25014 chebbnd1lem1 25158

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