Theorem nsssmfmbflem 40986

Description: The sigma-measurable functions (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals) are not a subset of the measurable functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nsssmfmbflem.s	|- S = dom vol
nsssmfmbflem.x	|- ( ph -> X C_ RR )
nsssmfmbflem.n	|- ( ph -> -. X e. S )
nsssmfmbflem.f	|- F = ( x e. X |-> 0 )

Assertion

Ref	Expression
nsssmfmbflem	|- ( ph -> E. f ( f e. (SMblFn ` S ) /\ -. f e. MblFn ) )

Distinct variable groups:   f, F   S, f   x, X   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( f)   S( x)   F( x)   X( f)

Proof of Theorem nsssmfmbflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 10041	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 e. RR )
2		nsssmfmbflem.f	. . . 4 |- F = ( x e. X |-> 0 )
3	1, 2	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> F : X --> RR )
4		reex 10027	. . . . 5 |- RR e. _V
5	4	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR e. _V )
6		nsssmfmbflem.x	. . . 4 |- ( ph -> X C_ RR )
7	5, 6	ssexd 4805	. . 3 |- ( ph -> X e. _V )
8	3, 7	fexd 39296	. 2 |- ( ph -> F e. _V )
9		nsssmfmbflem.s	. . 3 |- S = dom vol
10		nsssmfmbflem.n	. . 3 |- ( ph -> -. X e. S )
11	9, 6, 10, 2	smfmbfcex 40968	. 2 |- ( ph -> ( F e. (SMblFn ` S ) /\ -. F e. MblFn ) )
12		eleq1 2689	. . . 4 |- ( f = F -> ( f e. (SMblFn ` S ) <-> F e. (SMblFn ` S ) ) )
13		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( f = F -> ( f e. MblFn <-> F e. MblFn ) )
14	13	notbid 308	. . . 4 |- ( f = F -> ( -. f e. MblFn <-> -. F e. MblFn ) )
15	12, 14	anbi12d 747	. . 3 |- ( f = F -> ( ( f e. (SMblFn ` S ) /\ -. f e. MblFn ) <-> ( F e. (SMblFn ` S ) /\ -. F e. MblFn ) ) )
16	15	spcegv 3294	. 2 |- ( F e. _V -> ( ( F e. (SMblFn ` S ) /\ -. F e. MblFn ) -> E. f ( f e. (SMblFn ` S ) /\ -. f e. MblFn ) ) )
17	8, 11, 16	sylc 65	1 |- ( ph -> E. f ( f e. (SMblFn ` S ) /\ -. f e. MblFn ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888   RRcr 9935   0cc0 9936   volcvol 23232  MblFncmbf 23383  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-salg 40529  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  nsssmfmbf  40987