Theorem smflim 40985

Description: The limit of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . Notice that every function in the sequence can have a different (partial) domain, and the domain of convergence can be decidedly irregular (Remark 121G of [Fremlin1] p. 39 ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflim.n	|- F/_ m F
smflim.x	|- F/_ x F
smflim.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
smflim.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
smflim.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
smflim.f	|- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
smflim.d	|- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
smflim.g	|- G = ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
smflim	|- ( ph -> G e. (SMblFn ` S ) )

Distinct variable groups:   n, F   S, m, n   m, Z, x, n   ph, m, n

Allowed substitution hints:   ph( x)   D( x, m, n)   S( x)   F( x, m)   G( x, m, n)   M( x, m, n)

Proof of Theorem smflim

Dummy variables k i j l y s t w a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. 2 |- F/ a ph
2		smflim.s	. 2 |- ( ph -> S e. SAlg )
3		smflim.d	. . . . 5 |- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
4		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x Z
5		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( ZZ>= ` n )
6		smflim.x	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x F
7		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x m
8	6, 7	nffv 6198	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( F ` m )
9	8	nfdm 5367	. . . . . . . 8 |- F/_ x dom ( F ` m )
10	5, 9	nfiin 4549	. . . . . . 7 |- F/_ x |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
11	4, 10	nfiun 4548	. . . . . 6 |- F/_ x U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
12	11	ssrab2f 39300	. . . . 5 |- { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } C_ U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
13	3, 12	eqsstri 3635	. . . 4 |- D C_ U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
14	13	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> D C_ U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
15		uzssz 11707	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
16		smflim.z	. . . . . . . . . . 11 |- Z = ( ZZ>= ` M )
17	16	eleq2i 2693	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. Z <-> n e. ( ZZ>= ` M ) )
18	17	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( n e. Z -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
19	15, 18	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( n e. Z -> n e. ZZ )
20		uzid 11702	. . . . . . . 8 |- ( n e. ZZ -> n e. ( ZZ>= ` n ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 |- ( n e. Z -> n e. ( ZZ>= ` n ) )
22	21	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. ( ZZ>= ` n ) )
23	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> S e. SAlg )
24		smflim.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
25	24	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. (SMblFn ` S ) )
26		eqid 2622	. . . . . . 7 |- dom ( F ` n ) = dom ( F ` n )
27	23, 25, 26	smfdmss 40942	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> dom ( F ` n ) C_ U. S )
28		smflim.n	. . . . . . . . . 10 |- F/_ m F
29		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ m n
30	28, 29	nffv 6198	. . . . . . . . 9 |- F/_ m ( F ` n )
31	30	nfdm 5367	. . . . . . . 8 |- F/_ m dom ( F ` n )
32		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ m U. S
33	31, 32	nfss 3596	. . . . . . 7 |- F/ m dom ( F ` n ) C_ U. S
34		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( F ` m ) = ( F ` n ) )
35	34	dmeqd 5326	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> dom ( F ` m ) = dom ( F ` n ) )
36	35	sseq1d 3632	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( dom ( F ` m ) C_ U. S <-> dom ( F ` n ) C_ U. S ) )
37	33, 36	rspce 3304	. . . . . 6 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` n ) /\ dom ( F ` n ) C_ U. S ) -> E. m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) C_ U. S )
38	22, 27, 37	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> E. m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) C_ U. S )
39		iinss 4571	. . . . 5 |- ( E. m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) C_ U. S -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) C_ U. S )
40	38, 39	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) C_ U. S )
41	40	iunssd 39271	. . 3 |- ( ph -> U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) C_ U. S )
42	14, 41	sstrd 3613	. 2 |- ( ph -> D C_ U. S )
43		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ m ph
44		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ m y
45		nfmpt1 4747	. . . . . . . . 9 |- F/_ m ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) )
46		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ m dom ~~>
47	45, 46	nfel 2777	. . . . . . . 8 |- F/ m ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~>
48		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ m Z
49		nfii1 4551	. . . . . . . . 9 |- F/_ m |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
50	48, 49	nfiun 4548	. . . . . . . 8 |- F/_ m U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
51	47, 50	nfrab 3123	. . . . . . 7 |- F/_ m { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
52	3, 51	nfcxfr 2762	. . . . . 6 |- F/_ m D
53	44, 52	nfel 2777	. . . . 5 |- F/ m y e. D
54	43, 53	nfan 1828	. . . 4 |- F/ m ( ph /\ y e. D )
55		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ w F
56	2	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> S e. SAlg )
57	24	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) e. (SMblFn ` S ) )
58		eqid 2622	. . . . . 6 |- dom ( F ` m ) = dom ( F ` m )
59	56, 57, 58	smff 40941	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR )
60	59	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR )
61		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ y U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
62		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ y ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~>
63		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x y
64	8, 63	nffv 6198	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( ( F ` m ) ` y )
65	4, 64	nfmpt 4746	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) )
66	65	nfel1 2779	. . . . . . 7 |- F/ x ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) e. dom ~~>
67		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` y ) )
68	67	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) )
69	68	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> <-> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) e. dom ~~> ) )
70	11, 61, 62, 66, 69	cbvrab 3198	. . . . . 6 |- { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } = { y e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) e. dom ~~> }
71		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ l dom ( F ` m )
72		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ m l
73	28, 72	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ m ( F ` l )
74	73	nfdm 5367	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ m dom ( F ` l )
75		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = l -> ( F ` m ) = ( F ` l ) )
76	75	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = l -> dom ( F ` m ) = dom ( F ` l ) )
77	71, 74, 76	cbviin 4558	. . . . . . . . . . . 12 |- |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) = |^|_ l e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` l )
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = i -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) = |^|_ l e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` l ) )
79		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = i -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` i ) )
80		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n = i /\ l e. ( ZZ>= ` i ) ) -> dom ( F ` l ) = dom ( F ` l ) )
81	79, 80	iineq12dv 39289	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = i -> |^|_ l e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` l ) = |^|_ l e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` l ) )
82	78, 81	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( n = i -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) = |^|_ l e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` l ) )
83	82	cbviunv 4559	. . . . . . . . 9 |- U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) = U_ i e. Z |^|_ l e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` l )
84	83	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( y e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) <-> y e. U_ i e. Z |^|_ l e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` l ) )
85		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ l Z
86		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ l ( ( F ` m ) ` y )
87	73, 44	nffv 6198	. . . . . . . . . 10 |- F/_ m ( ( F ` l ) ` y )
88	75	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( m = l -> ( ( F ` m ) ` y ) = ( ( F ` l ) ` y ) )
89	48, 85, 86, 87, 88	cbvmptf 4748	. . . . . . . . 9 |- ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) = ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` y ) )
90	89	eleq1i 2692	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) e. dom ~~> <-> ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` y ) ) e. dom ~~> )
91	84, 90	anbi12i 733	. . . . . . 7 |- ( ( y e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) /\ ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) e. dom ~~> ) <-> ( y e. U_ i e. Z |^|_ l e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` l ) /\ ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` y ) ) e. dom ~~> ) )
92	91	rabbia2 3187	. . . . . 6 |- { y e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) e. dom ~~> } = { y e. U_ i e. Z |^|_ l e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` l ) | ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` y ) ) e. dom ~~> }
93	3, 70, 92	3eqtri 2648	. . . . 5 |- D = { y e. U_ i e. Z |^|_ l e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` l ) | ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` y ) ) e. dom ~~> }
94		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( ( F ` l ) ` y ) = ( ( F ` l ) ` w ) )
95	94	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 |- ( y = w -> ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` y ) ) = ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` w ) ) )
96	95	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( y = w -> ( ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` y ) ) e. dom ~~> <-> ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` w ) ) e. dom ~~> ) )
97	96	cbvrabv 3199	. . . . . 6 |- { y e. U_ i e. Z |^|_ l e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` l ) | ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` y ) ) e. dom ~~> } = { w e. U_ i e. Z |^|_ l e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` l ) | ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` w ) ) e. dom ~~> }
98		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = m -> ( F ` l ) = ( F ` m ) )
99	98	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = m -> dom ( F ` l ) = dom ( F ` m ) )
100	74, 71, 99	cbviin 4558	. . . . . . . . . . 11 |- |^|_ l e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` l ) = |^|_ m e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` m )
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. Z -> |^|_ l e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` l ) = |^|_ m e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` m ) )
102	101	iuneq2i 4539	. . . . . . . . 9 |- U_ i e. Z |^|_ l e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` l ) = U_ i e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` m )
103	102	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( w e. U_ i e. Z |^|_ l e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` l ) <-> w e. U_ i e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` m ) )
104		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ m w
105	73, 104	nffv 6198	. . . . . . . . . 10 |- F/_ m ( ( F ` l ) ` w )
106		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ l ( ( F ` m ) ` w )
107	98	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( l = m -> ( ( F ` l ) ` w ) = ( ( F ` m ) ` w ) )
108	85, 48, 105, 106, 107	cbvmptf 4748	. . . . . . . . 9 |- ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` w ) ) = ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` w ) )
109	108	eleq1i 2692	. . . . . . . 8 |- ( ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` w ) ) e. dom ~~> <-> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` w ) ) e. dom ~~> )
110	103, 109	anbi12i 733	. . . . . . 7 |- ( ( w e. U_ i e. Z |^|_ l e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` l ) /\ ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` w ) ) e. dom ~~> ) <-> ( w e. U_ i e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` m ) /\ ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` w ) ) e. dom ~~> ) )
111	110	rabbia2 3187	. . . . . 6 |- { w e. U_ i e. Z |^|_ l e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` l ) | ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` w ) ) e. dom ~~> } = { w e. U_ i e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` w ) ) e. dom ~~> }
112	97, 111	eqtri 2644	. . . . 5 |- { y e. U_ i e. Z |^|_ l e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` l ) | ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` y ) ) e. dom ~~> } = { w e. U_ i e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` w ) ) e. dom ~~> }
113	93, 112	eqtri 2644	. . . 4 |- D = { w e. U_ i e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` i ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` w ) ) e. dom ~~> }
114		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> y e. D )
115	54, 28, 55, 16, 60, 113, 114	fnlimfvre 39906	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) ) e. RR )
116		smflim.g	. . . 4 |- G = ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
117		nfrab1 3122	. . . . . 6 |- F/_ x { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
118	3, 117	nfcxfr 2762	. . . . 5 |- F/_ x D
119		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ y D
120		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ y ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) )
121		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x ~~>
122	121, 65	nffv 6198	. . . . 5 |- F/_ x ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) )
123	68	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) ) )
124	118, 119, 120, 122, 123	cbvmptf 4748	. . . 4 |- ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) ) = ( y e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) ) )
125	116, 124	eqtri 2644	. . 3 |- G = ( y e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) ) )
126	115, 125	fmptd 6385	. 2 |- ( ph -> G : D --> RR )
127		smflim.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
128	127	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> M e. ZZ )
129	2	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> S e. SAlg )
130	24	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
131		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ x l
132	6, 131	nffv 6198	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( F ` l )
133	132, 63	nffv 6198	. . . . . . 7 |- F/_ x ( ( F ` l ) ` y )
134	4, 133	nfmpt 4746	. . . . . 6 |- F/_ x ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` y ) )
135	121, 134	nffv 6198	. . . . 5 |- F/_ x ( ~~> ` ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` y ) ) )
136		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ l ( ( F ` m ) ` x )
137		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ m x
138	73, 137	nffv 6198	. . . . . . . . 9 |- F/_ m ( ( F ` l ) ` x )
139	75	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( m = l -> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( F ` l ) ` x ) )
140	48, 85, 136, 138, 139	cbvmptf 4748	. . . . . . . 8 |- ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` x ) )
141	140	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` x ) ) )
142		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = y /\ l e. Z ) -> x = y )
143	142	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( x = y /\ l e. Z ) -> ( ( F ` l ) ` x ) = ( ( F ` l ) ` y ) )
144	143	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` x ) ) = ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` y ) ) )
145	141, 144	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` y ) ) )
146	145	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = ( ~~> ` ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` y ) ) ) )
147	118, 119, 120, 135, 146	cbvmptf 4748	. . . 4 |- ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) ) = ( y e. D |-> ( ~~> ` ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` y ) ) ) )
148	116, 147	eqtri 2644	. . 3 |- G = ( y e. D |-> ( ~~> ` ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` y ) ) ) )
149		simpr 477	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> a e. RR )
150		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ m <
151		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ m ( a + ( 1 / j ) )
152	87, 150, 151	nfbr 4699	. . . . . . . 8 |- F/ m ( ( F ` l ) ` y ) < ( a + ( 1 / j ) )
153	152, 74	nfrab 3123	. . . . . . 7 |- F/_ m { y e. dom ( F ` l ) | ( ( F ` l ) ` y ) < ( a + ( 1 / j ) ) }
154		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ m t
155	154, 74	nfin 3820	. . . . . . 7 |- F/_ m ( t i^i dom ( F ` l ) )
156	153, 155	nfeq 2776	. . . . . 6 |- F/ m { y e. dom ( F ` l ) | ( ( F ` l ) ` y ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = ( t i^i dom ( F ` l ) )
157		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ m S
158	156, 157	nfrab 3123	. . . . 5 |- F/_ m { t e. S | { y e. dom ( F ` l ) | ( ( F ` l ) ` y ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = ( t i^i dom ( F ` l ) ) }
159		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ k { t e. S | { y e. dom ( F ` l ) | ( ( F ` l ) ` y ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = ( t i^i dom ( F ` l ) ) }
160		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ l { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( a + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) }
161		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ j { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( a + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) }
162		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y dom ( F ` l )
163	132	nfdm 5367	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x dom ( F ` l )
164		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x <
165		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( a + ( 1 / j ) )
166	133, 164, 165	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( ( F ` l ) ` y ) < ( a + ( 1 / j ) )
167		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( ( F ` l ) ` x ) < ( a + ( 1 / j ) )
168		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( ( F ` l ) ` y ) = ( ( F ` l ) ` x ) )
169	168	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( ( ( F ` l ) ` y ) < ( a + ( 1 / j ) ) <-> ( ( F ` l ) ` x ) < ( a + ( 1 / j ) ) ) )
170	162, 163, 166, 167, 169	cbvrab 3198	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. dom ( F ` l ) | ( ( F ` l ) ` y ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = { x e. dom ( F ` l ) | ( ( F ` l ) ` x ) < ( a + ( 1 / j ) ) }
171	170	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( t = s -> { y e. dom ( F ` l ) | ( ( F ` l ) ` y ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = { x e. dom ( F ` l ) | ( ( F ` l ) ` x ) < ( a + ( 1 / j ) ) } )
172		ineq1 3807	. . . . . . . . . 10 |- ( t = s -> ( t i^i dom ( F ` l ) ) = ( s i^i dom ( F ` l ) ) )
173	171, 172	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( t = s -> ( { y e. dom ( F ` l ) | ( ( F ` l ) ` y ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = ( t i^i dom ( F ` l ) ) <-> { x e. dom ( F ` l ) | ( ( F ` l ) ` x ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = ( s i^i dom ( F ` l ) ) ) )
174	173	cbvrabv 3199	. . . . . . . 8 |- { t e. S | { y e. dom ( F ` l ) | ( ( F ` l ) ` y ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = ( t i^i dom ( F ` l ) ) } = { s e. S | { x e. dom ( F ` l ) | ( ( F ` l ) ` x ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = ( s i^i dom ( F ` l ) ) }
175	174	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( l = m -> { t e. S | { y e. dom ( F ` l ) | ( ( F ` l ) ` y ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = ( t i^i dom ( F ` l ) ) } = { s e. S | { x e. dom ( F ` l ) | ( ( F ` l ) ` x ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = ( s i^i dom ( F ` l ) ) } )
176	99	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( l = m -> ( x e. dom ( F ` l ) <-> x e. dom ( F ` m ) ) )
177	98	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = m -> ( ( F ` l ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` x ) )
178	177	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( l = m -> ( ( ( F ` l ) ` x ) < ( a + ( 1 / j ) ) <-> ( ( F ` m ) ` x ) < ( a + ( 1 / j ) ) ) )
179	176, 178	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( l = m -> ( ( x e. dom ( F ` l ) /\ ( ( F ` l ) ` x ) < ( a + ( 1 / j ) ) ) <-> ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( a + ( 1 / j ) ) ) ) )
180	179	rabbidva2 3186	. . . . . . . . 9 |- ( l = m -> { x e. dom ( F ` l ) | ( ( F ` l ) ` x ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( a + ( 1 / j ) ) } )
181	99	ineq2d 3814	. . . . . . . . 9 |- ( l = m -> ( s i^i dom ( F ` l ) ) = ( s i^i dom ( F ` m ) ) )
182	180, 181	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( l = m -> ( { x e. dom ( F ` l ) | ( ( F ` l ) ` x ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = ( s i^i dom ( F ` l ) ) <-> { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) ) )
183	182	rabbidv 3189	. . . . . . 7 |- ( l = m -> { s e. S | { x e. dom ( F ` l ) | ( ( F ` l ) ` x ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = ( s i^i dom ( F ` l ) ) } = { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
184	175, 183	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( l = m -> { t e. S | { y e. dom ( F ` l ) | ( ( F ` l ) ` y ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = ( t i^i dom ( F ` l ) ) } = { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
185		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( 1 / j ) = ( 1 / k ) )
186	185	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( a + ( 1 / j ) ) = ( a + ( 1 / k ) ) )
187	186	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( ( ( F ` m ) ` x ) < ( a + ( 1 / j ) ) <-> ( ( F ` m ) ` x ) < ( a + ( 1 / k ) ) ) )
188	187	rabbidv 3189	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( a + ( 1 / k ) ) } )
189	188	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) <-> { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( a + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) ) )
190	189	rabbidv 3189	. . . . . 6 |- ( j = k -> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } = { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( a + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
191	184, 190	sylan9eq 2676	. . . . 5 |- ( ( l = m /\ j = k ) -> { t e. S | { y e. dom ( F ` l ) | ( ( F ` l ) ` y ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = ( t i^i dom ( F ` l ) ) } = { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( a + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
192	158, 159, 160, 161, 191	cbvmpt2 6734	. . . 4 |- ( l e. Z , j e. NN |-> { t e. S | { y e. dom ( F ` l ) | ( ( F ` l ) ` y ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = ( t i^i dom ( F ` l ) ) } ) = ( m e. Z , k e. NN |-> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( a + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
193	192	eqcomi 2631	. . 3 |- ( m e. Z , k e. NN |-> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( a + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } ) = ( l e. Z , j e. NN |-> { t e. S | { y e. dom ( F ` l ) | ( ( F ` l ) ` y ) < ( a + ( 1 / j ) ) } = ( t i^i dom ( F ` l ) ) } )
194	128, 16, 129, 130, 93, 148, 149, 193	smflimlem6 40984	. 2 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> { y e. D | ( G ` y ) <_ a } e. ( S ↾t D ) )
195	1, 2, 42, 126, 194	issmfled 40966	1 |- ( ph -> G e. (SMblFn ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   E.wrex 2913   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ~~> cli 14215  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-rest 16083  df-salg 40529  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smflim2  41012