nn0sumshdiglemA - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem nn0sumshdiglemA 42413

Description: Lemma for nn0sumshdig 42417 (induction step, even multiplier). (Contributed by AV, 3-Jun-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
nn0sumshdiglemA	$/\$ $/\$ #b ..^digit #b ..^ digit

Distinct variable group:

Proof of Theorem nn0sumshdiglemA Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 11299	. . . 4
2		blennn0em1 42385	. . . 4 $/\$ #b #b
3	1, 2	sylan2 491	. . 3 $/\$ #b #b
4		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 #b #b
5	4	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 #b #b
6		id 22	. . . . . . . . . . . 12
7		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 digit digit
8	7	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 digit digit
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ digit digit
10	9	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . 12 ..^digit ..^digit
11	6, 10	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 ..^digit ..^digit
12	5, 11	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 #b ..^digit #b ..^digit
13	12	rspcva 3307	. . . . . . . . 9 $/\$ #b ..^digit #b ..^digit
14		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ #b #b
15	14	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ #b #b
16		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
17		pncan1 10454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
19	15, 18	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ #b $/\$ #b
20	19	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #b $/\$ #b #b #b
21		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ #b $/\$
23		fzval3 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ #b $/\$ ..^
25	24	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ #b $/\$ ..^
26	25	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ #b $/\$ ..^ digit digit
27		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
28		elnn0uz 11725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
29	27, 28	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ #b $/\$
31		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$
33		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$
35		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
36		nn0rp0 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
38	37	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$
39		digvalnn0 42393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ digit
40	32, 34, 38, 39	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ digit
41	40	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ digit
42		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
44		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
45	43, 44	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
46	45	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$
48	41, 47	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ digit
49		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 digit digit
50		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
51	49, 50	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 digit digit
52		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
53		exp0 12864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
55	54	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 digit digit
56	51, 55	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 digit digit
57	30, 48, 56	fsum1p 14482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ #b $/\$ digit digit digit
58		0dig2nn0e 42406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ digit
59	35, 1, 58	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ digit
60	59	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ digit
61		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
62		mul02lem2 10213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
64	60, 63	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ digit
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ #b digit
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ #b $/\$ digit
67		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ #b $/\$
69		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
70	69, 67	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ #b $/\$
72	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$
73		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$
75	37	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$
76	72, 74, 75, 39	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ digit
77	76	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ digit
78		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
79		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
80	79	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
81	69	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
82	80, 81	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
83	78, 82	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
84	83	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$
85	77, 84	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ digit
86		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 digit digit
87		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
88	86, 87	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 digit digit
89	68, 71, 22, 85, 88	fsumshftm 14513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ #b $/\$ digit digit
90	66, 89	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ #b $/\$ digit digit digit
91	1	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^
92	35	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^
93		elfzonn0 12512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^
94	93	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^
95		dignn0ehalf 42411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ digit digit
96	91, 92, 94, 95	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^ digit digit
97		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^
98	97, 93	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^
99	98	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^
100	96, 99	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^ digit digit
101	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^
102		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^
103	102	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^
104		nn0rp0 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
105	1, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
106	105	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^
107		digvalnn0 42393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ digit
108	101, 103, 106, 107	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^ digit
109	108	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^ digit
110		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^
112	111, 93	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^
113	112	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^
114	113	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^
115		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^
116		mulass 10024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 digit $/\$ $/\$ digit digit
117	116	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 digit $/\$ $/\$ digit digit
118	109, 114, 115, 117	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^ digit digit
119	100, 118	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^ digit digit
120	119	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ #b $/\$ ..^ digit ..^digit
121		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
122		pncan1 10454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
123	121, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
125	124	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
126		fzoval 12471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^
127	126	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^
128	21, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^
129	125, 128	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^
130	129	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ #b $/\$ ..^
131	130	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ #b $/\$ digit ..^ digit
132	131	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ #b $/\$ digit ..^ digit
133		fzofi 12773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ #b $/\$ ..^
135	102	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^
136	135	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^
137	37	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^
138		digvalnn0 42393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ digit
139	101, 136, 137, 138	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^ digit
140	139	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^ digit
141	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^
142		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
143	93, 142	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^
144	141, 143	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^
145	144	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^
146	145	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^
147	140, 146	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^ digit
148	134, 147	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ #b $/\$ ..^ digit
149	148	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ #b $/\$ ..^ digit ..^ digit
150	132, 149	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ #b $/\$ digit ..^ digit
151		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ #b $/\$
152	141, 93	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^
153	152	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ..^
154	153	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^
155	109, 154	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ #b $/\$ $/\$ ..^ digit
156	134, 151, 155	fsummulc1 14517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ #b $/\$ ..^digit ..^digit
157	120, 150, 156	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ #b $/\$ digit ..^digit
158	90, 157	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ #b $/\$ digit digit ..^digit
159	26, 57, 158	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ #b $/\$ ..^ digit ..^digit
160	159	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^digit $/\$ $/\$ $/\$ #b $/\$ ..^ digit ..^digit
161		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 digit digit
162		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
163	161, 162	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 digit digit
164	163	cbvsumv 14426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^digit ..^digit
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ #b $/\$ ..^digit ..^digit
166	165	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ #b $/\$ ..^digit ..^digit
167	166	biimpac 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^digit $/\$ $/\$ $/\$ #b $/\$ ..^digit
168	167	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^digit $/\$ $/\$ $/\$ #b $/\$ ..^digit
169	168	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^digit $/\$ $/\$ $/\$ #b $/\$ ..^digit
170		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
171		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
172		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
173	172	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
174	170, 171, 173	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
175	174	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ #b $/\$
176	175	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^digit $/\$ $/\$ $/\$ #b $/\$
177	160, 169, 176	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^digit $/\$ $/\$ $/\$ #b $/\$ ..^ digit
178	177	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^digit $/\$ $/\$ #b $/\$ ..^ digit
179	178	imim2i 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 #b ..^digit #b $/\$ $/\$ #b $/\$ ..^ digit
180	179	com13 88	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #b $/\$ #b #b ..^digit ..^ digit
181	20, 180	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ #b $/\$ #b #b #b ..^digit ..^ digit
182	181	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ #b $/\$ #b ..^digit #b #b ..^ digit
183	182	exp31 630	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #b #b ..^digit #b #b ..^ digit
184	183	com25 99	. . . . . . . . . 10 $/\$ #b #b #b ..^digit #b ..^ digit
185	184	com14 96	. . . . . . . . 9 #b ..^digit #b #b $/\$ #b ..^ digit
186	13, 185	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ #b ..^digit #b #b $/\$ #b ..^ digit
187	186	ex 450	. . . . . . 7 #b ..^digit #b #b $/\$ #b ..^ digit
188	187	com25 99	. . . . . 6 $/\$ #b #b #b ..^digit #b ..^ digit
189	188	expdcom 455	. . . . 5 #b #b #b ..^digit #b ..^ digit
190	1, 189	mpid 44	. . . 4 #b #b #b ..^digit #b ..^ digit
191	190	impcom 446	. . 3 $/\$ #b #b #b ..^digit #b ..^ digit
192	3, 191	mpd 15	. 2 $/\$ #b ..^digit #b ..^ digit
193	192	imp 445	1 $/\$ $/\$ #b ..^digit #b ..^ digit

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

cfv 5888 (class class class)co 6650

cfn 7955

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cpnf 10071

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cico 12177

cfz 12326 ..^cfzo 12465

cexp 12860

csu 14416 #bcblen 42363 digitcdig 42389

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-logb 24503 df-blen 42364 df-dig 42390

This theorem is referenced by: nn0sumshdiglem1 42415

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