nn0sumshdiglemB - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem nn0sumshdiglemB 42414

Description: Lemma for nn0sumshdig 42417 (induction step, odd multiplier). (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
nn0sumshdiglemB	$/\$ $/\$ #b ..^digit #b ..^ digit

Distinct variable group:

Proof of Theorem nn0sumshdiglemB Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 11765	. . 3 $\/$
2		1t1e1 11175	. . . . . . . . 9
3	2	eqcomi 2631	. . . . . . . 8
4		simpl 473	. . . . . . . 8 $/\$ #b
5		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 #b ..^ ..^#b
6	5	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . 11 #b ..^ ..^#b
7		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 #b #b
8		blen1 42378	. . . . . . . . . . . . . 14 #b
9	7, 8	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 #b
10	9	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ..^#b ..^
11		fzo01 12550	. . . . . . . . . . . 12 ..^
12	10, 11	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 ..^#b
13	6, 12	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . 10 $/\$ #b ..^
14	13	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9 $/\$ #b ..^ digit digit
15		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 digit digit
16	15	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 digit digit
17	16	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . . . 11 digit digit
18		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . 12
19		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . 13
20	19, 19	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . 12
21		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 digit digit
22		1ex 10035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
23	22	prid2 4298	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24		0dig2pr01 42404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 digit
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 digit
26	21, 25	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 digit
27		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15
28		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . 16
29		exp0 12864	. . . . . . . . . . . . . . . 16
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
31	27, 30	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14
32	26, 31	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 digit
33	32	sumsn 14475	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ digit
34	18, 20, 33	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 digit
35	17, 34	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 digit
36	35	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ #b digit
37	14, 36	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 $/\$ #b ..^ digit
38	3, 4, 37	3eqtr4a 2682	. . . . . . 7 $/\$ #b ..^ digit
39	38	ex 450	. . . . . 6 #b ..^ digit
40	39	a1d 25	. . . . 5 #b ..^digit #b ..^ digit
41	40	2a1d 26	. . . 4 #b ..^digit #b ..^ digit
42		eluzge2nn0 11727	. . . . . . . . 9
43		nn0ob 15100	. . . . . . . . . 10
44	43	bicomd 213	. . . . . . . . 9
45	42, 44	syl 17	. . . . . . . 8
46		blennngt2o2 42386	. . . . . . . . 9 $/\$ #b #b
47	46	ex 450	. . . . . . . 8 #b #b
48	45, 47	sylbid 230	. . . . . . 7 #b #b
49	48	imp 445	. . . . . 6 $/\$ #b #b
50		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 #b #b
51	50	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 #b #b
52		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14
53		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 digit digit
54	53	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 digit digit
55	54	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^digit ..^digit
56	52, 55	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 ..^digit ..^digit
57	51, 56	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 #b ..^digit #b ..^digit
58	57	rspcva 3307	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #b ..^digit #b ..^digit
59		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 #b #b #b #b
60		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
61	60	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 #b $/\$ $/\$ $/\$
62		blennn0elnn 42371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 #b
63	62	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 #b
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ #b
65	64	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 #b $/\$ $/\$ $/\$ #b
66		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 #b $/\$ $/\$ $/\$
67	61, 65, 66	addcan2d 10240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 #b $/\$ $/\$ $/\$ #b #b
68		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 #b #b
69		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
70	69	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 #b $/\$ $/\$ $/\$
71		fzval3 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 #b $/\$ $/\$ $/\$ ..^
73	72	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 #b $/\$ $/\$ $/\$ ..^
74	73	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 #b $/\$ $/\$ $/\$ ..^ digit digit
75		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
76		elnn0uz 11725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
77	75, 76	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
78	77	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 #b $/\$ $/\$ $/\$
79		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
81		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
82	81	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
83		nn0rp0 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
84	42, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
85	84	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
87		digvalnn0 42393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ digit
88	80, 82, 86, 87	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ digit
89	88	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ digit
90	89	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 #b $/\$ $/\$ $/\$ digit
91	90	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 #b $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ digit
92	91	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 #b $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ digit
93		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
95		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
96	94, 95	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
97	96	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
98	97	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 #b $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	92, 98	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 #b $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ digit
100		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 digit digit
101	100, 27	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 digit digit
102	30	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 digit digit
103	101, 102	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 digit digit
104	78, 99, 103	fsum1p 14482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 #b $/\$ $/\$ $/\$ digit digit digit
105	42	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
106	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
107	106	biimparc 504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
108		0dig2nn0o 42407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ digit
109	105, 107, 108	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ digit
110	109	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 #b $/\$ $/\$ $/\$ digit
111	110	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 #b $/\$ $/\$ $/\$ digit
112	111, 2	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 #b $/\$ $/\$ $/\$ digit
113		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 #b $/\$ $/\$ $/\$
115		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
116	115, 113	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 #b $/\$ $/\$ $/\$
118	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$
119		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
120	119	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$
121	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$
122	121, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$
123	118, 120, 122, 87	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ digit
124	123	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 digit
125	124	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ digit
126	125	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 #b $/\$ $/\$ $/\$ digit
127	126	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 #b $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ digit
128	127	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 #b $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ digit
129		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
130		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
131	130	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
132	115	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
133	131, 132	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
134	129, 133	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
135	134	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 #b $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	128, 135	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 #b $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ digit
137		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 digit digit
138		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
139	137, 138	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 digit digit
140	114, 117, 70, 136, 139	fsumshftm 14513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 #b $/\$ $/\$ $/\$ digit digit
141	112, 140	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 #b $/\$ $/\$ $/\$ digit digit digit
142	74, 104, 141	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 #b $/\$ $/\$ $/\$ ..^ digit digit
143	142	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^digit $/\$ #b $/\$ $/\$ $/\$ ..^ digit digit
144	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ ..^
145		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ..^
146	145	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ ..^
147		nn0rp0 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
148	147	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$
149	148	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ ..^
150		digvalnn0 42393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ digit
151	144, 146, 149, 150	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ ..^ digit
152	151	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ ..^ digit
153	152	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ ..^ digit
154	153	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 #b $/\$ $/\$ $/\$ ..^ digit
155	154	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 #b $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ digit
156	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ..^
157		elfzonn0 12512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ..^
158	156, 157	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ..^
159	158	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ..^
160	159	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 #b $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
161		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 #b $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
162	155, 160, 161	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 #b $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ digit digit
163	162	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 #b $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ digit digit
164	163	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 #b $/\$ $/\$ $/\$ ..^digit ..^digit
165	164	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^digit $/\$ #b $/\$ $/\$ $/\$ ..^digit ..^digit
166		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
167		pncan1 10454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
168	166, 167	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
169	168	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
170	169	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
171		fzoval 12471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ..^
172	69, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ..^
173	170, 172	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^
174	173	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 #b $/\$ $/\$ $/\$ ..^
175		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 #b $/\$ $/\$ $/\$
176		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
177	168	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
178	176, 177	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
179		dignn0flhalf 42412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ digit digit
180	175, 178, 179	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 #b $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ digit digit
181		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
182	181	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$
183		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
184		zob 15083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
185	181, 184	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
186	183, 185	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
187	186	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$
188	182, 187	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$
189	188	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
190	189	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 #b $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
191	190	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 #b $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
192		zofldiv2 42325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
193	191, 192	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 #b $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
194	193	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 #b $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ digit digit
195	180, 194	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 #b $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ digit digit
196		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
197	196, 178	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
198	197	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 #b $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
199	195, 198	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 #b $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ digit digit
200	174, 199	sumeq12dv 14437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 #b $/\$ $/\$ $/\$ digit ..^digit
201	200	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^digit $/\$ #b $/\$ $/\$ $/\$ digit ..^digit
202		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 digit digit
203		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
204	202, 203	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 digit digit
205	204	cbvsumv 14426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ..^digit ..^digit
206	205	eqeq2i 2634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ..^digit ..^digit
207	206	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^digit ..^digit
208	207	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^digit $/\$ #b $/\$ $/\$ $/\$ ..^digit
209	208	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^digit $/\$ #b $/\$ $/\$ $/\$ ..^digit
210		fzofi 12773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^
211	210	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^digit $/\$ #b $/\$ $/\$ $/\$ ..^
212		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^digit $/\$ #b $/\$ $/\$ $/\$
213	159	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ ..^
214	152, 213	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ ..^ digit
215	214	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ ..^ digit
216	215	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ ..^ digit
217	216	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^digit $/\$ #b $/\$ $/\$ $/\$ ..^ digit
218	217	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^digit $/\$ #b $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ digit
219	211, 212, 218	fsummulc1 14517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^digit $/\$ #b $/\$ $/\$ $/\$ ..^digit ..^digit
220	209, 219	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^digit $/\$ #b $/\$ $/\$ $/\$ ..^digit
221	165, 201, 220	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ..^digit $/\$ #b $/\$ $/\$ $/\$ digit
222	221	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^digit $/\$ #b $/\$ $/\$ $/\$ digit
223		eluzelcn 11699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
224		peano2cnm 10347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
225	223, 224	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
226		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
227		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
228	227	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
229	225, 226, 228	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
230	229	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
231		divcan1 10694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
232	230, 231	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
233	232	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
234		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
235	234, 223	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
236	235	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
237		pncan3 10289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
238	236, 237	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
239	233, 238	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
240	239	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
241	240	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^digit $/\$ #b $/\$ $/\$ $/\$
242	143, 222, 241	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^digit $/\$ #b $/\$ $/\$ $/\$ ..^ digit
243	242	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^digit #b $/\$ $/\$ $/\$ ..^ digit
244	243	imim2i 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 #b ..^digit #b #b $/\$ $/\$ $/\$ ..^ digit
245	244	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 #b $/\$ $/\$ $/\$ #b #b ..^digit ..^ digit
246	68, 245	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 #b $/\$ $/\$ $/\$ #b #b ..^digit ..^ digit
247	67, 246	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 #b $/\$ $/\$ $/\$ #b #b ..^digit ..^ digit
248	247	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 #b $/\$ $/\$ #b #b ..^digit ..^ digit
249	248	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 #b #b $/\$ $/\$ #b ..^digit ..^ digit
250	59, 249	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 #b #b #b $/\$ $/\$ #b ..^digit ..^ digit
251	250	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 #b $/\$ $/\$ #b #b #b ..^digit ..^ digit
252	251	com14 96	. . . . . . . . . . . . 13 #b ..^digit $/\$ $/\$ #b #b #b ..^ digit
253	252	exp4c 636	. . . . . . . . . . . 12 #b ..^digit #b #b #b ..^ digit
254	253	com35 98	. . . . . . . . . . 11 #b ..^digit #b #b #b ..^ digit
255	58, 254	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ #b ..^digit #b #b #b ..^ digit
256	255	ex 450	. . . . . . . . 9 #b ..^digit #b #b #b ..^ digit
257	256	pm2.43a 54	. . . . . . . 8 #b ..^digit #b #b #b ..^ digit
258	257	com25 99	. . . . . . 7 #b #b #b ..^digit #b ..^ digit
259	258	impcom 446	. . . . . 6 $/\$ #b #b #b ..^digit #b ..^ digit
260	49, 259	mpd 15	. . . . 5 $/\$ #b ..^digit #b ..^ digit
261	260	ex 450	. . . 4 #b ..^digit #b ..^ digit
262	41, 261	jaoi 394	. . 3 $\/$ #b ..^digit #b ..^ digit
263	1, 262	sylbi 207	. 2 #b ..^digit #b ..^ digit
264	263	imp31 448	1 $/\$ $/\$ #b ..^digit #b ..^ digit

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

cvv 3200

csn 4177

cpr 4179

cfv 5888 (class class class)co 6650

cfn 7955

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cpnf 10071

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cico 12177

cfz 12326 ..^cfzo 12465

cfl 12591

cexp 12860

csu 14416 #bcblen 42363 digitcdig 42389

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-dvds 14984 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-cxp 24304 df-logb 24503 df-blen 42364 df-dig 42390

This theorem is referenced by: nn0sumshdiglem1 42415

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