Theorem circlevma 30720

Description: The Circle Method, where the Vinogradov sums are weighted using the von Mangoldt function, as it appears as proposition 1.1 of [Helfgott] p. 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
circlevma.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
circlevma	|- ( ph -> sum_ n e. ( NN (repr ` 3 ) N ) ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) = S. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( (Λvts N ) ` x ) ^ 3 ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x )

Distinct variable groups:   n, N, x   ph, n, x

Proof of Theorem circlevma

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		circlevma.n	. . 3 |- ( ph -> N e. NN0 )
2		3nn 11186	. . . 4 |- 3 e. NN
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 3 e. NN )
4		vmaf 24845	. . . . . . 7 |- Λ : NN --> RR
5		ax-resscn 9993	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
6		fss 6056	. . . . . . 7 |- ( (Λ : NN --> RR /\ RR C_ CC ) -> Λ : NN --> CC )
7	4, 5, 6	mp2an 708	. . . . . 6 |- Λ : NN --> CC
8		cnex 10017	. . . . . . 7 |- CC e. _V
9		nnex 11026	. . . . . . 7 |- NN e. _V
10		elmapg 7870	. . . . . . 7 |- ( ( CC e. _V /\ NN e. _V ) -> (Λ e. ( CC ^m NN ) <-> Λ : NN --> CC ) )
11	8, 9, 10	mp2an 708	. . . . . 6 |- (Λ e. ( CC ^m NN ) <-> Λ : NN --> CC )
12	7, 11	mpbir 221	. . . . 5 |- Λ e. ( CC ^m NN )
13	12	fconst6 6095	. . . 4 |- ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) : ( 0..^ 3 ) --> ( CC ^m NN )
14	13	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) : ( 0..^ 3 ) --> ( CC ^m NN ) )
15	1, 3, 14	circlemeth 30718	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. ( NN (repr ` 3 ) N ) prod_ a e. ( 0..^ 3 ) ( ( ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) ` a ) ` ( n ` a ) ) = S. ( 0 (,) 1 ) ( prod_ a e. ( 0..^ 3 ) ( ( ( ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) ` a )vts N ) ` x ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x )
16		c0ex 10034	. . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
17	16	tpid1 4303	. . . . . . . 8 |- 0 e. { 0 , 1 , 2 }
18		fzo0to3tp 12554	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ 3 ) = { 0 , 1 , 2 }
19	17, 18	eleqtrri 2700	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0..^ 3 )
20		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( a = 0 -> ( a e. ( 0..^ 3 ) <-> 0 e. ( 0..^ 3 ) ) )
21	19, 20	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( a = 0 -> a e. ( 0..^ 3 ) )
22	12	elexi 3213	. . . . . . 7 |- Λ e. _V
23	22	fvconst2 6469	. . . . . 6 |- ( a e. ( 0..^ 3 ) -> ( ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) ` a ) = Λ )
24	21, 23	syl 17	. . . . 5 |- ( a = 0 -> ( ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) ` a ) = Λ )
25		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( a = 0 -> ( n ` a ) = ( n ` 0 ) )
26	24, 25	fveq12d 6197	. . . 4 |- ( a = 0 -> ( ( ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) ` a ) ` ( n ` a ) ) = (Λ ` ( n ` 0 ) ) )
27		1ex 10035	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
28	27	tpid2 4304	. . . . . . . 8 |- 1 e. { 0 , 1 , 2 }
29	28, 18	eleqtrri 2700	. . . . . . 7 |- 1 e. ( 0..^ 3 )
30		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( a = 1 -> ( a e. ( 0..^ 3 ) <-> 1 e. ( 0..^ 3 ) ) )
31	29, 30	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( a = 1 -> a e. ( 0..^ 3 ) )
32	31, 23	syl 17	. . . . 5 |- ( a = 1 -> ( ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) ` a ) = Λ )
33		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( a = 1 -> ( n ` a ) = ( n ` 1 ) )
34	32, 33	fveq12d 6197	. . . 4 |- ( a = 1 -> ( ( ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) ` a ) ` ( n ` a ) ) = (Λ ` ( n ` 1 ) ) )
35		2ex 11092	. . . . . . . . 9 |- 2 e. _V
36	35	tpid3 4307	. . . . . . . 8 |- 2 e. { 0 , 1 , 2 }
37	36, 18	eleqtrri 2700	. . . . . . 7 |- 2 e. ( 0..^ 3 )
38		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( a = 2 -> ( a e. ( 0..^ 3 ) <-> 2 e. ( 0..^ 3 ) ) )
39	37, 38	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( a = 2 -> a e. ( 0..^ 3 ) )
40	39, 23	syl 17	. . . . 5 |- ( a = 2 -> ( ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) ` a ) = Λ )
41		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( a = 2 -> ( n ` a ) = ( n ` 2 ) )
42	40, 41	fveq12d 6197	. . . 4 |- ( a = 2 -> ( ( ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) ` a ) ` ( n ` a ) ) = (Λ ` ( n ` 2 ) ) )
43	23	fveq1d 6193	. . . . . 6 |- ( a e. ( 0..^ 3 ) -> ( ( ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) ` a ) ` ( n ` a ) ) = (Λ ` ( n ` a ) ) )
44	43	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( NN (repr ` 3 ) N ) ) /\ a e. ( 0..^ 3 ) ) -> ( ( ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) ` a ) ` ( n ` a ) ) = (Λ ` ( n ` a ) ) )
45	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( NN (repr ` 3 ) N ) ) /\ a e. ( 0..^ 3 ) ) -> Λ : NN --> CC )
46		ssid 3624	. . . . . . . . 9 |- NN C_ NN
47	46	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( NN (repr ` 3 ) N ) ) -> NN C_ NN )
48	1	nn0zd 11480	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ZZ )
49	48	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( NN (repr ` 3 ) N ) ) -> N e. ZZ )
50	2	nnnn0i 11300	. . . . . . . . 9 |- 3 e. NN0
51	50	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( NN (repr ` 3 ) N ) ) -> 3 e. NN0 )
52		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( NN (repr ` 3 ) N ) ) -> n e. ( NN (repr ` 3 ) N ) )
53	47, 49, 51, 52	reprf 30690	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( NN (repr ` 3 ) N ) ) -> n : ( 0..^ 3 ) --> NN )
54	53	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( NN (repr ` 3 ) N ) ) /\ a e. ( 0..^ 3 ) ) -> ( n ` a ) e. NN )
55	45, 54	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( NN (repr ` 3 ) N ) ) /\ a e. ( 0..^ 3 ) ) -> (Λ ` ( n ` a ) ) e. CC )
56	44, 55	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( NN (repr ` 3 ) N ) ) /\ a e. ( 0..^ 3 ) ) -> ( ( ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) ` a ) ` ( n ` a ) ) e. CC )
57	26, 34, 42, 56	prodfzo03 30681	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( NN (repr ` 3 ) N ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ 3 ) ( ( ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) ` a ) ` ( n ` a ) ) = ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) )
58	57	sumeq2dv 14433	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. ( NN (repr ` 3 ) N ) prod_ a e. ( 0..^ 3 ) ( ( ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) ` a ) ` ( n ` a ) ) = sum_ n e. ( NN (repr ` 3 ) N ) ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) )
59	23	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ a e. ( 0..^ 3 ) ) -> ( ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) ` a ) = Λ )
60	59	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ a e. ( 0..^ 3 ) ) -> ( ( ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) ` a )vts N ) = (Λvts N ) )
61	60	fveq1d 6193	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ a e. ( 0..^ 3 ) ) -> ( ( ( ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) ` a )vts N ) ` x ) = ( (Λvts N ) ` x ) )
62	61	prodeq2dv 14653	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ 3 ) ( ( ( ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) ` a )vts N ) ` x ) = prod_ a e. ( 0..^ 3 ) ( (Λvts N ) ` x ) )
63		fzofi 12773	. . . . . . 7 |- ( 0..^ 3 ) e. Fin
64	63	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 0..^ 3 ) e. Fin )
65	1	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> N e. NN0 )
66		ioossre 12235	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 (,) 1 ) C_ RR
67	66, 5	sstri 3612	. . . . . . . . 9 |- ( 0 (,) 1 ) C_ CC
68	67	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 (,) 1 ) C_ CC )
69	68	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> x e. CC )
70	7	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> Λ : NN --> CC )
71	65, 69, 70	vtscl 30716	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( (Λvts N ) ` x ) e. CC )
72		fprodconst 14708	. . . . . 6 |- ( ( ( 0..^ 3 ) e. Fin /\ ( (Λvts N ) ` x ) e. CC ) -> prod_ a e. ( 0..^ 3 ) ( (Λvts N ) ` x ) = ( ( (Λvts N ) ` x ) ^ ( # ` ( 0..^ 3 ) ) ) )
73	64, 71, 72	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ 3 ) ( (Λvts N ) ` x ) = ( ( (Λvts N ) ` x ) ^ ( # ` ( 0..^ 3 ) ) ) )
74		hashfzo0 13217	. . . . . . . 8 |- ( 3 e. NN0 -> ( # ` ( 0..^ 3 ) ) = 3 )
75	50, 74	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( # ` ( 0..^ 3 ) ) = 3
76	75	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( # ` ( 0..^ 3 ) ) = 3 )
77	76	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( (Λvts N ) ` x ) ^ ( # ` ( 0..^ 3 ) ) ) = ( ( (Λvts N ) ` x ) ^ 3 ) )
78	62, 73, 77	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ 3 ) ( ( ( ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) ` a )vts N ) ` x ) = ( ( (Λvts N ) ` x ) ^ 3 ) )
79	78	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( prod_ a e. ( 0..^ 3 ) ( ( ( ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) ` a )vts N ) ` x ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) = ( ( ( (Λvts N ) ` x ) ^ 3 ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) )
80	79	itgeq2dv 23548	. 2 |- ( ph -> S. ( 0 (,) 1 ) ( prod_ a e. ( 0..^ 3 ) ( ( ( ( ( 0..^ 3 ) X. {Λ } ) ` a )vts N ) ` x ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( (Λvts N ) ` x ) ^ 3 ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x )
81	15, 58, 80	3eqtr3d 2664	1 |- ( ph -> sum_ n e. ( NN (repr ` 3 ) N ) ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) = S. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( (Λvts N ) ` x ) ^ 3 ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   {ctp 4181   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   x. cmul 9941   -ucneg 10267   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   (,)cioo 12175  ..^cfzo 12465   ^cexp 12860   #chash 13117   sum_csu 14416   prod_cprod 14635   expce 14792   picpi 14797   S.citg 23387  Λcvma 24818  reprcrepr 30686  vtscvts 30713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-vma 24824  df-repr 30687  df-vts 30714

This theorem is referenced by: (None)