Theorem sge0iunmpt 40635

Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0iunmpt.a	|- ( ph -> A e. V )
sge0iunmpt.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. W )
sge0iunmpt.dj	|- ( ph -> Disj x e. A B )
sge0iunmpt.c	|- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )

Assertion

Ref	Expression
sge0iunmpt	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   B, k   x, C   x, W   ph, k, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( k)   V( x, k)   W( k)

Proof of Theorem sge0iunmpt

Dummy variables j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . 4 |- F/ x ph
2		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ xΣ^
3		nfiu1 4550	. . . . . . 7 |- F/_ x U_ x e. A B
4		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x C
5	3, 4	nfmpt 4746	. . . . . 6 |- F/_ x ( k e. U_ x e. A B |-> C )
6	2, 5	nffv 6198	. . . . 5 |- F/_ x (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) )
7		nfmpt1 4747	. . . . . 6 |- F/_ x ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
8	2, 7	nffv 6198	. . . . 5 |- F/_ x (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) )
9	6, 8	nfeq 2776	. . . 4 |- F/ x (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) )
10		sge0iunmpt.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. V )
11		sge0iunmpt.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. W )
12	11	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A B e. W )
13		iunexg 7143	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A B e. W ) -> U_ x e. A B e. _V )
14	10, 12, 13	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U_ x e. A B e. _V )
15		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. U_ x e. A B <-> E. x e. A k e. B )
16	15	biimpi 206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. U_ x e. A B -> E. x e. A k e. B )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. U_ x e. A B ) -> E. x e. A k e. B )
18		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x k
19	18, 3	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x k e. U_ x e. A B
20	1, 19	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( ph /\ k e. U_ x e. A B )
21	4	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x C e. ( 0 [,] +oo )
22		sge0iunmpt.c	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
23	22	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. A -> ( k e. B -> C e. ( 0 [,] +oo ) ) ) )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. U_ x e. A B ) -> ( x e. A -> ( k e. B -> C e. ( 0 [,] +oo ) ) ) )
25	20, 21, 24	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. U_ x e. A B ) -> ( E. x e. A k e. B -> C e. ( 0 [,] +oo ) ) )
26	17, 25	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. U_ x e. A B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
27		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. U_ x e. A B |-> C ) = ( k e. U_ x e. A B |-> C )
28	26, 27	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. U_ x e. A B |-> C ) : U_ x e. A B --> ( 0 [,] +oo ) )
29	14, 28	sge0xrcl 40602	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) e. RR* )
30	29	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A /\ (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) e. RR* )
31		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo )
32	31	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo -> +oo = (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
33	32	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo ) -> +oo = (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
34	33	3adant1 1079	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A /\ (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo ) -> +oo = (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
35	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> U_ x e. A B e. _V )
36	26	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. U_ x e. A B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
37		ssiun2 4563	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> B C_ U_ x e. A B )
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B C_ U_ x e. A B )
39	35, 36, 38	sge0lessmpt 40616	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) <_ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) )
40	39	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A /\ (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) <_ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) )
41	34, 40	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A /\ (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo ) -> +oo <_ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) )
42	30, 41	xrgepnfd 39547	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A /\ (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) = +oo )
43	10	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A /\ (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo ) -> A e. V )
44		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( ph /\ y e. A )
45		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
46		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ y / x ]_ W
47	45, 46	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x [_ y / x ]_ B e. [_ y / x ]_ W
48	44, 47	nfim 1825	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( ( ph /\ y e. A ) -> [_ y / x ]_ B e. [_ y / x ]_ W )
49		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
50	49	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x e. A ) <-> ( ph /\ y e. A ) ) )
51		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
52		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> W = [_ y / x ]_ W )
53	51, 52	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( B e. W <-> [_ y / x ]_ B e. [_ y / x ]_ W ) )
54	50, 53	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. W ) <-> ( ( ph /\ y e. A ) -> [_ y / x ]_ B e. [_ y / x ]_ W ) ) )
55	48, 54, 11	chvar 2262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> [_ y / x ]_ B e. [_ y / x ]_ W )
56	55	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> [_ y / x ]_ B e. [_ y / x ]_ W )
57	45, 4	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( k e. [_ y / x ]_ B |-> C )
58		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( 0 [,] +oo )
59	57, 45, 58	nff 6041	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( k e. [_ y / x ]_ B |-> C ) : [_ y / x ]_ B --> ( 0 [,] +oo )
60	44, 59	nfim 1825	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( ( ph /\ y e. A ) -> ( k e. [_ y / x ]_ B |-> C ) : [_ y / x ]_ B --> ( 0 [,] +oo ) )
61	51	mpteq1d 4738	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( k e. B |-> C ) = ( k e. [_ y / x ]_ B |-> C ) )
62	61, 51	feq12d 6033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( k e. B |-> C ) : B --> ( 0 [,] +oo ) <-> ( k e. [_ y / x ]_ B |-> C ) : [_ y / x ]_ B --> ( 0 [,] +oo ) ) )
63	50, 62	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> ( k e. B |-> C ) : B --> ( 0 [,] +oo ) ) <-> ( ( ph /\ y e. A ) -> ( k e. [_ y / x ]_ B |-> C ) : [_ y / x ]_ B --> ( 0 [,] +oo ) ) ) )
64	23	imp31 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
65		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. B |-> C ) = ( k e. B |-> C )
66	64, 65	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( k e. B |-> C ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
67	60, 63, 66	chvar 2262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( k e. [_ y / x ]_ B |-> C ) : [_ y / x ]_ B --> ( 0 [,] +oo ) )
68	67	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( k e. [_ y / x ]_ B |-> C ) : [_ y / x ]_ B --> ( 0 [,] +oo ) )
69	56, 68	sge0cl 40598	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> (Σ^ ` ( k e. [_ y / x ]_ B |-> C ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
70		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) )
71	2, 57	nffv 6198	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x (Σ^ ` ( k e. [_ y / x ]_ B |-> C ) )
72	61	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( k e. [_ y / x ]_ B |-> C ) ) )
73	70, 71, 72	cbvmpt 4749	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) = ( y e. A |-> (Σ^ ` ( k e. [_ y / x ]_ B |-> C ) ) )
74	69, 73	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
75	74	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A /\ (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo ) -> ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
76		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> x e. A )
77		fvexd 6203	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. _V )
78		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) = ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
79	78	elrnmpt1 5374	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. _V ) -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. ran ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) )
80	76, 77, 79	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. ran ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) )
81	80	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. ran ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) )
82	33, 81	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo ) -> +oo e. ran ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) )
83	82	3adant1 1079	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A /\ (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo ) -> +oo e. ran ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) )
84	43, 75, 83	sge0pnfval 40590	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A /\ (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) = +oo )
85	42, 84	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A /\ (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )
86	85	3exp 1264	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A -> ( (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) ) ) )
87	1, 9, 86	rexlimd 3026	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) ) )
88	87	imp 445	. 2 |- ( ( ph /\ E. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )
89		simpl 473	. . 3 |- ( ( ph /\ -. E. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo ) -> ph )
90		ralnex 2992	. . . . 5 |- ( A. x e. A -. (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo <-> -. E. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo )
91		df-ne 2795	. . . . . . 7 |- ( (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo <-> -. (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo )
92	91	bicomi 214	. . . . . 6 |- ( -. (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo <-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo )
93	92	ralbii 2980	. . . . 5 |- ( A. x e. A -. (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo <-> A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo )
94	90, 93	sylbb1 227	. . . 4 |- ( -. E. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo -> A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo )
95	94	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ -. E. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo ) -> A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo )
96	10	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo ) -> A e. V )
97		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ x W
98	45, 97	nfel 2777	. . . . . . . 8 |- F/ x [_ y / x ]_ B e. W
99	44, 98	nfim 1825	. . . . . . 7 |- F/ x ( ( ph /\ y e. A ) -> [_ y / x ]_ B e. W )
100	51	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( B e. W <-> [_ y / x ]_ B e. W ) )
101	50, 100	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. W ) <-> ( ( ph /\ y e. A ) -> [_ y / x ]_ B e. W ) ) )
102	99, 101, 11	chvar 2262	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> [_ y / x ]_ B e. W )
103	102	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo ) /\ y e. A ) -> [_ y / x ]_ B e. W )
104		sge0iunmpt.dj	. . . . . . 7 |- ( ph -> Disj x e. A B )
105		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ y B
106	105, 45, 51	cbvdisj 4630	. . . . . . 7 |- (Disj x e. A B <-> Disj y e. A [_ y / x ]_ B )
107	104, 106	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> Disj y e. A [_ y / x ]_ B )
108	107	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo ) -> Disj y e. A [_ y / x ]_ B )
109		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph /\ y e. A /\ j e. [_ y / x ]_ B )
110		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ j / k ]_ C
111	110	nfel1 2779	. . . . . . . 8 |- F/ k [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,] +oo )
112	109, 111	nfim 1825	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( ph /\ y e. A /\ j e. [_ y / x ]_ B ) -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) )
113		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( k e. [_ y / x ]_ B <-> j e. [_ y / x ]_ B ) )
114	113	3anbi3d 1405	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( ( ph /\ y e. A /\ k e. [_ y / x ]_ B ) <-> ( ph /\ y e. A /\ j e. [_ y / x ]_ B ) ) )
115		csbeq1a 3542	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> C = [_ j / k ]_ C )
116	115	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( C e. ( 0 [,] +oo ) <-> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) ) )
117	114, 116	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ y e. A /\ k e. [_ y / x ]_ B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) ) <-> ( ( ph /\ y e. A /\ j e. [_ y / x ]_ B ) -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) ) ) )
118		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ x y e. A
119	18, 45	nfel 2777	. . . . . . . . . 10 |- F/ x k e. [_ y / x ]_ B
120	1, 118, 119	nf3an 1831	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( ph /\ y e. A /\ k e. [_ y / x ]_ B )
121	120, 21	nfim 1825	. . . . . . . 8 |- F/ x ( ( ph /\ y e. A /\ k e. [_ y / x ]_ B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
122	51	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( k e. B <-> k e. [_ y / x ]_ B ) )
123	49, 122	3anbi23d 1402	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) <-> ( ph /\ y e. A /\ k e. [_ y / x ]_ B ) ) )
124	123	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) ) <-> ( ( ph /\ y e. A /\ k e. [_ y / x ]_ B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) ) ) )
125	121, 124, 22	chvar 2262	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A /\ k e. [_ y / x ]_ B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
126	112, 117, 125	chvar 2262	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A /\ j e. [_ y / x ]_ B ) -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) )
127	126	3adant1r 1319	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo ) /\ y e. A /\ j e. [_ y / x ]_ B ) -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) )
128		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo /\ y e. A ) -> y e. A )
129		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo /\ y e. A ) -> A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo )
130		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. A /\ A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo ) -> y e. A )
131		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. A /\ A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo ) -> A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo )
132		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ j / k ]_ C
133	45, 132	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C )
134	2, 133	nffv 6198	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x (Σ^ ` ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) )
135		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x +oo
136	134, 135	nfne 2894	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x (Σ^ ` ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) ) =/= +oo
137		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ j C
138	137, 110, 115	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. [_ y / x ]_ B |-> C ) = ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C )
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( k e. [_ y / x ]_ B |-> C ) = ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) )
140	61, 139	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( k e. B |-> C ) = ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) )
141	140	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) ) )
142	141	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo <-> (Σ^ ` ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) ) =/= +oo ) )
143	136, 142	rspc 3303	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. A -> ( A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo -> (Σ^ ` ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) ) =/= +oo ) )
144	130, 131, 143	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo ) -> (Σ^ ` ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) ) =/= +oo )
145	128, 129, 144	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo /\ y e. A ) -> (Σ^ ` ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) ) =/= +oo )
146	145	neneqd 2799	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo /\ y e. A ) -> -. (Σ^ ` ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) ) = +oo )
147	146	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo ) /\ y e. A ) -> -. (Σ^ ` ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) ) = +oo )
148	126	3expa 1265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ j e. [_ y / x ]_ B ) -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) )
149		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) = ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C )
150	148, 149	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) : [_ y / x ]_ B --> ( 0 [,] +oo ) )
151	150	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo ) /\ y e. A ) -> ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) : [_ y / x ]_ B --> ( 0 [,] +oo ) )
152	103, 151	sge0repnf 40603	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo ) /\ y e. A ) -> ( (Σ^ ` ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) ) = +oo ) )
153	147, 152	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo ) /\ y e. A ) -> (Σ^ ` ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) ) e. RR )
154	137, 110, 115	cbvmpt 4749	. . . . . . . . 9 |- ( k e. U_ x e. A B |-> C ) = ( j e. U_ x e. A B |-> [_ j / k ]_ C )
155	105, 45, 51	cbviun 4557	. . . . . . . . . 10 |- U_ x e. A B = U_ y e. A [_ y / x ]_ B
156	155	mpteq1i 4739	. . . . . . . . 9 |- ( j e. U_ x e. A B |-> [_ j / k ]_ C ) = ( j e. U_ y e. A [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C )
157	154, 156	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ( k e. U_ x e. A B |-> C ) = ( j e. U_ y e. A [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C )
158	157	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( j e. U_ y e. A [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) )
159	158, 29	syl5eqelr 2706	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. U_ y e. A [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) ) e. RR* )
160	159	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo ) -> (Σ^ ` ( j e. U_ y e. A [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) ) e. RR* )
161	70, 134, 141	cbvmpt 4749	. . . . . . . 8 |- ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) = ( y e. A |-> (Σ^ ` ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) ) )
162	161	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) = (Σ^ ` ( y e. A |-> (Σ^ ` ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) ) ) )
163	11, 66	sge0cl 40598	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
164	163, 78	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
165	10, 164	sge0xrcl 40602	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) e. RR* )
166	162, 165	syl5eqelr 2706	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( y e. A |-> (Σ^ ` ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) ) ) ) e. RR* )
167	166	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo ) -> (Σ^ ` ( y e. A |-> (Σ^ ` ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) ) ) ) e. RR* )
168		eliun 4524	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. U_ y e. A [_ y / x ]_ B <-> E. y e. A j e. [_ y / x ]_ B )
169	168	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( j e. U_ y e. A [_ y / x ]_ B -> E. y e. A j e. [_ y / x ]_ B )
170	169	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. U_ y e. A [_ y / x ]_ B ) -> E. y e. A j e. [_ y / x ]_ B )
171		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ph
172		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y j
173		nfiu1 4550	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y U_ y e. A [_ y / x ]_ B
174	172, 173	nfel 2777	. . . . . . . . . 10 |- F/ y j e. U_ y e. A [_ y / x ]_ B
175	171, 174	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( ph /\ j e. U_ y e. A [_ y / x ]_ B )
176		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ y [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,] +oo )
177	148	exp31 630	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. A -> ( j e. [_ y / x ]_ B -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) ) ) )
178	177	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. U_ y e. A [_ y / x ]_ B ) -> ( y e. A -> ( j e. [_ y / x ]_ B -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) ) ) )
179	175, 176, 178	rexlimd 3026	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. U_ y e. A [_ y / x ]_ B ) -> ( E. y e. A j e. [_ y / x ]_ B -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) ) )
180	170, 179	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. U_ y e. A [_ y / x ]_ B ) -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) )
181		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( j e. U_ y e. A [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) = ( j e. U_ y e. A [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C )
182	180, 181	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. U_ y e. A [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) : U_ y e. A [_ y / x ]_ B --> ( 0 [,] +oo ) )
183	182	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo ) -> ( j e. U_ y e. A [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) : U_ y e. A [_ y / x ]_ B --> ( 0 [,] +oo ) )
184	155, 14	syl5eqelr 2706	. . . . . 6 |- ( ph -> U_ y e. A [_ y / x ]_ B e. _V )
185	184	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo ) -> U_ y e. A [_ y / x ]_ B e. _V )
186	96, 103, 108, 127, 153, 160, 167, 183, 185	sge0iunmptlemre 40632	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo ) -> (Σ^ ` ( j e. U_ y e. A [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) ) = (Σ^ ` ( y e. A |-> (Σ^ ` ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) ) ) ) )
187	158	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( j e. U_ y e. A [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) ) )
188	162	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo ) -> (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) = (Σ^ ` ( y e. A |-> (Σ^ ` ( j e. [_ y / x ]_ B |-> [_ j / k ]_ C ) ) ) ) )
189	186, 187, 188	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ph /\ A. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) =/= +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )
190	89, 95, 189	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ph /\ -. E. x e. A (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )
191	88, 190	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   C_ wss 3574   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   [,]cicc 12178  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  sge0iun  40636  sge0xp  40646