Theorem stoweidlem29 40246

Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem29.1	|- F/_ t F
stoweidlem29.2	|- F/ t ph
stoweidlem29.3	|- T = U. J
stoweidlem29.4	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem29.5	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem29.6	|- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
stoweidlem29.7	|- ( ph -> T =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem29	|- ( ph -> (inf ( ran F , RR , < ) e. ran F /\ inf ( ran F , RR , < ) e. RR /\ A. t e. T inf ( ran F , RR , < ) <_ ( F ` t ) ) )

Distinct variable groups:   t, T   t, J   t, K

Allowed substitution hints:   ph( t)   F( t)

Proof of Theorem stoweidlem29

Dummy variables x s y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem29.4	. . . . . 6 |- K = ( topGen ` ran (,) )
2		stoweidlem29.3	. . . . . 6 |- T = U. J
3		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( J Cn K ) = ( J Cn K )
4		stoweidlem29.6	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
5	1, 2, 3, 4	fcnre 39184	. . . . 5 |- ( ph -> F : T --> RR )
6		df-f 5892	. . . . 5 |- ( F : T --> RR <-> ( F Fn T /\ ran F C_ RR ) )
7	5, 6	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> ( F Fn T /\ ran F C_ RR ) )
8	7	simprd 479	. . 3 |- ( ph -> ran F C_ RR )
9	7	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F Fn T )
10		fnfun 5988	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn T -> Fun F )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Fun F )
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. T ) -> Fun F )
13		fdm 6051	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : T --> RR -> dom F = T )
14	5, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom F = T )
15	14	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T = dom F )
16	15	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. T <-> s e. dom F ) )
17	16	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. T ) -> s e. dom F )
18		fvelrn 6352	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ s e. dom F ) -> ( F ` s ) e. ran F )
19	12, 17, 18	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. T ) -> ( F ` s ) e. ran F )
20		stoweidlem29.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t F
21		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t s
22	20, 21	nffv 6198	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( F ` s )
23	22	nfeq2 2780	. . . . . . . 8 |- F/ t x = ( F ` s )
24		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` s ) -> ( x <_ ( F ` t ) <-> ( F ` s ) <_ ( F ` t ) ) )
25	23, 24	ralbid 2983	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` s ) -> ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) <-> A. t e. T ( F ` s ) <_ ( F ` t ) ) )
26	25	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` s ) e. ran F /\ A. t e. T ( F ` s ) <_ ( F ` t ) ) -> E. x e. ran F A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
27	19, 26	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. T ) /\ A. t e. T ( F ` s ) <_ ( F ` t ) ) -> E. x e. ran F A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
28		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ s F
29		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ s T
30		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ t T
31		stoweidlem29.5	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. Comp )
32		stoweidlem29.7	. . . . . 6 |- ( ph -> T =/= (/) )
33	28, 20, 29, 30, 2, 1, 31, 4, 32	evth2f 39174	. . . . 5 |- ( ph -> E. s e. T A. t e. T ( F ` s ) <_ ( F ` t ) )
34	27, 33	r19.29a 3078	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. ran F A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
35		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ y ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
36		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> y e. ran F )
37	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> F Fn T )
38		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t y
39	30, 38, 20	fvelrnbf 39177	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn T -> ( y e. ran F <-> E. t e. T ( F ` t ) = y ) )
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> ( y e. ran F <-> E. t e. T ( F ` t ) = y ) )
41	36, 40	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> E. t e. T ( F ` t ) = y )
42		stoweidlem29.2	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t ph
43		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t A. t e. T x <_ ( F ` t )
44	42, 43	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) )
45	20	nfrn 5368	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t ran F
46	45	nfcri 2758	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t y e. ran F
47	44, 46	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F )
48		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ t x <_ y
49		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) /\ t e. T ) -> x <_ ( F ` t ) )
50		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` t ) = y -> ( x <_ ( F ` t ) <-> x <_ y ) )
51	49, 50	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) = y -> x <_ y ) )
52	51	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) -> ( t e. T -> ( ( F ` t ) = y -> x <_ y ) ) )
53	52	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> ( t e. T -> ( ( F ` t ) = y -> x <_ y ) ) )
54	47, 48, 53	rexlimd 3026	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> ( E. t e. T ( F ` t ) = y -> x <_ y ) )
55	41, 54	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) /\ y e. ran F ) -> x <_ y )
56	55	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) -> ( y e. ran F -> x <_ y ) )
57	35, 56	ralrimi 2957	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. t e. T x <_ ( F ` t ) ) -> A. y e. ran F x <_ y )
58	57	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. t e. T x <_ ( F ` t ) -> A. y e. ran F x <_ y ) )
59	58	reximdv 3016	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. ran F A. t e. T x <_ ( F ` t ) -> E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y ) )
60	34, 59	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y )
61		lbinfcl 10977	. . 3 |- ( ( ran F C_ RR /\ E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y ) -> inf ( ran F , RR , < ) e. ran F )
62	8, 60, 61	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> inf ( ran F , RR , < ) e. ran F )
63	8, 62	sseldd 3604	. 2 |- ( ph -> inf ( ran F , RR , < ) e. RR )
64	8	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ran F C_ RR )
65	60	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y )
66		dffn3 6054	. . . . . . 7 |- ( F Fn T <-> F : T --> ran F )
67	9, 66	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> F : T --> ran F )
68	67	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. ran F )
69		lbinfle 10978	. . . . 5 |- ( ( ran F C_ RR /\ E. x e. ran F A. y e. ran F x <_ y /\ ( F ` t ) e. ran F ) -> inf ( ran F , RR , < ) <_ ( F ` t ) )
70	64, 65, 68, 69	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> inf ( ran F , RR , < ) <_ ( F ` t ) )
71	70	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( t e. T -> inf ( ran F , RR , < ) <_ ( F ` t ) ) )
72	42, 71	ralrimi 2957	. 2 |- ( ph -> A. t e. T inf ( ran F , RR , < ) <_ ( F ` t ) )
73	62, 63, 72	3jca 1242	1 |- ( ph -> (inf ( ran F , RR , < ) e. ran F /\ inf ( ran F , RR , < ) e. RR /\ A. t e. T inf ( ran F , RR , < ) <_ ( F ` t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   topGenctg 16098   Cn ccn 21028   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  stoweidlem62  40279