Theorem evth2f 39174

Description: A version of evth2 22759 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
evth2f.1	|- F/_ x F
evth2f.2	|- F/_ y F
evth2f.3	|- F/_ x X
evth2f.4	|- F/_ y X
evth2f.5	|- X = U. J
evth2f.6	|- K = ( topGen ` ran (,) )
evth2f.7	|- ( ph -> J e. Comp )
evth2f.8	|- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
evth2f.9	|- ( ph -> X =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
evth2f	|- ( ph -> E. x e. X A. y e. X ( F ` x ) <_ ( F ` y ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   F( x, y)   J( x, y)   K( x, y)   X( x, y)

Proof of Theorem evth2f

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evth2f.5	. . 3 |- X = U. J
2		evth2f.6	. . 3 |- K = ( topGen ` ran (,) )
3		evth2f.7	. . 3 |- ( ph -> J e. Comp )
4		evth2f.8	. . 3 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
5		evth2f.9	. . 3 |- ( ph -> X =/= (/) )
6	1, 2, 3, 4, 5	evth2 22759	. 2 |- ( ph -> E. a e. X A. b e. X ( F ` a ) <_ ( F ` b ) )
7		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ a X
8		evth2f.3	. . . 4 |- F/_ x X
9		evth2f.1	. . . . . . 7 |- F/_ x F
10		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x a
11	9, 10	nffv 6198	. . . . . 6 |- F/_ x ( F ` a )
12		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x <_
13		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x b
14	9, 13	nffv 6198	. . . . . 6 |- F/_ x ( F ` b )
15	11, 12, 14	nfbr 4699	. . . . 5 |- F/ x ( F ` a ) <_ ( F ` b )
16	8, 15	nfral 2945	. . . 4 |- F/ x A. b e. X ( F ` a ) <_ ( F ` b )
17		nfv 1843	. . . 4 |- F/ a A. b e. X ( F ` x ) <_ ( F ` b )
18		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( a = x -> ( F ` a ) = ( F ` x ) )
19	18	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( a = x -> ( ( F ` a ) <_ ( F ` b ) <-> ( F ` x ) <_ ( F ` b ) ) )
20	19	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( a = x -> ( A. b e. X ( F ` a ) <_ ( F ` b ) <-> A. b e. X ( F ` x ) <_ ( F ` b ) ) )
21	7, 8, 16, 17, 20	cbvrexf 3166	. . 3 |- ( E. a e. X A. b e. X ( F ` a ) <_ ( F ` b ) <-> E. x e. X A. b e. X ( F ` x ) <_ ( F ` b ) )
22		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ b X
23		evth2f.4	. . . . 5 |- F/_ y X
24		evth2f.2	. . . . . . 7 |- F/_ y F
25		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ y x
26	24, 25	nffv 6198	. . . . . 6 |- F/_ y ( F ` x )
27		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ y <_
28		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ y b
29	24, 28	nffv 6198	. . . . . 6 |- F/_ y ( F ` b )
30	26, 27, 29	nfbr 4699	. . . . 5 |- F/ y ( F ` x ) <_ ( F ` b )
31		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ b ( F ` x ) <_ ( F ` y )
32		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( b = y -> ( F ` b ) = ( F ` y ) )
33	32	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( b = y -> ( ( F ` x ) <_ ( F ` b ) <-> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) )
34	22, 23, 30, 31, 33	cbvralf 3165	. . . 4 |- ( A. b e. X ( F ` x ) <_ ( F ` b ) <-> A. y e. X ( F ` x ) <_ ( F ` y ) )
35	34	rexbii 3041	. . 3 |- ( E. x e. X A. b e. X ( F ` x ) <_ ( F ` b ) <-> E. x e. X A. y e. X ( F ` x ) <_ ( F ` y ) )
36	21, 35	bitri 264	. 2 |- ( E. a e. X A. b e. X ( F ` a ) <_ ( F ` b ) <-> E. x e. X A. y e. X ( F ` x ) <_ ( F ` y ) )
37	6, 36	sylib 208	1 |- ( ph -> E. x e. X A. y e. X ( F ` x ) <_ ( F ` y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   topGenctg 16098   Cn ccn 21028   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  stoweidlem29  40246