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Theorem sylow1lem1 18013

Description: Lemma for sylow1 18018. The p-adic valuation of the size of

is equal to the number of excess powers of

. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sylow1.x
sylow1.g
sylow1.f
sylow1.p
sylow1.n
sylow1.d
sylow1lem.a
sylow1lem.s

**Assertion**
Ref	Expression
sylow1lem1	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem sylow1lem1 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow1.f	. . . . 5
2		sylow1.p	. . . . . . . 8
3		prmnn 15388	. . . . . . . 8
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7
5		sylow1.n	. . . . . . 7
6	4, 5	nnexpcld 13030	. . . . . 6
7	6	nnzd 11481	. . . . 5
8		hashbc 13237	. . . . 5 $/\$
9	1, 7, 8	syl2anc 693	. . . 4
10		sylow1lem.s	. . . . 5
11	10	fveq2i 6194	. . . 4
12	9, 11	syl6eqr 2674	. . 3
13		sylow1.d	. . . . . 6
14		sylow1.g	. . . . . . . . . 10
15		sylow1.x	. . . . . . . . . . 11
16	15	grpbn0 17451	. . . . . . . . . 10
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . . 9
18		hasheq0 13154	. . . . . . . . . . 11
19	1, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10
20	19	necon3bbid 2831	. . . . . . . . 9
21	17, 20	mpbird 247	. . . . . . . 8
22		hashcl 13147	. . . . . . . . . . 11
23	1, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10
24		elnn0 11294	. . . . . . . . . 10 $\/$
25	23, 24	sylib 208	. . . . . . . . 9 $\/$
26	25	ord 392	. . . . . . . 8
27	21, 26	mt3d 140	. . . . . . 7
28		dvdsle 15032	. . . . . . 7 $/\$
29	7, 27, 28	syl2anc 693	. . . . . 6
30	13, 29	mpd 15	. . . . 5
31	6	nnnn0d 11351	. . . . . . 7
32		nn0uz 11722	. . . . . . 7
33	31, 32	syl6eleq 2711	. . . . . 6
34	23	nn0zd 11480	. . . . . 6
35		elfz5 12334	. . . . . 6 $/\$
36	33, 34, 35	syl2anc 693	. . . . 5
37	30, 36	mpbird 247	. . . 4
38		bccl2 13110	. . . 4
39	37, 38	syl 17	. . 3
40	12, 39	eqeltrrd 2702	. 2
41		nnuz 11723	. . . . . . . . . . 11
42	6, 41	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10
43		elfz5 12334	. . . . . . . . . 10 $/\$
44	42, 34, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . 9
45	30, 44	mpbird 247	. . . . . . . 8
46		1zzd 11408	. . . . . . . . 9
47		fzsubel 12377	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
48	46, 34, 7, 46, 47	syl22anc 1327	. . . . . . . 8
49	45, 48	mpbid 222	. . . . . . 7
50		1m1e0 11089	. . . . . . . 8
51	50	oveq1i 6660	. . . . . . 7
52	49, 51	syl6eleq 2711	. . . . . 6
53		bcp1nk 13104	. . . . . 6
54	52, 53	syl 17	. . . . 5
55	23	nn0cnd 11353	. . . . . . 7
56		ax-1cn 9994	. . . . . . 7
57		npcan 10290	. . . . . . 7 $/\$
58	55, 56, 57	sylancl 694	. . . . . 6
59	6	nncnd 11036	. . . . . . 7
60		npcan 10290	. . . . . . 7 $/\$
61	59, 56, 60	sylancl 694	. . . . . 6
62	58, 61	oveq12d 6668	. . . . 5
63	58, 61	oveq12d 6668	. . . . . 6
64	63	oveq2d 6666	. . . . 5
65	54, 62, 64	3eqtr3d 2664	. . . 4
66	65	oveq2d 6666	. . 3
67	12	oveq2d 6666	. . 3
68		bccl2 13110	. . . . . . 7
69	52, 68	syl 17	. . . . . 6
70	69	nnzd 11481	. . . . 5
71	69	nnne0d 11065	. . . . 5
72	6	nnne0d 11065	. . . . . . 7
73		dvdsval2 14986	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
74	7, 72, 34, 73	syl3anc 1326	. . . . . 6
75	13, 74	mpbid 222	. . . . 5
76	27	nnne0d 11065	. . . . . 6
77	55, 59, 76, 72	divne0d 10817	. . . . 5
78		pcmul 15556	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	2, 70, 71, 75, 77, 78	syl122anc 1335	. . . 4
80		1cnd 10056	. . . . . . . . 9
81	55, 59, 80	npncand 10416	. . . . . . . 8
82	81	oveq1d 6665	. . . . . . 7
83	82	oveq2d 6666	. . . . . 6
84	6	nnred 11035	. . . . . . . 8
85	84	ltm1d 10956	. . . . . . 7
86		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . 9
87	6, 86	syl 17	. . . . . . . 8
88		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11
89		bcxmaslem1 14566	. . . . . . . . . . . . 13
90	89	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
91	90	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11
92	88, 91	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10
93	92	imbi2d 330	. . . . . . . . 9
94		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11
95		bcxmaslem1 14566	. . . . . . . . . . . . 13
96	95	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
97	96	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11
98	94, 97	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10
99	98	imbi2d 330	. . . . . . . . 9
100		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11
101		bcxmaslem1 14566	. . . . . . . . . . . . 13
102	101	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
103	102	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11
104	100, 103	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10
105	104	imbi2d 330	. . . . . . . . 9
106		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11
107		bcxmaslem1 14566	. . . . . . . . . . . . 13
108	107	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
109	108	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11
110	106, 109	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10
111	110	imbi2d 330	. . . . . . . . 9
112		znn0sub 11424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
113	7, 34, 112	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15
114	30, 113	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14
115		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . . 14
116		nn0addcl 11328	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
117	114, 115, 116	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13
118		bcn0 13097	. . . . . . . . . . . . 13
119	117, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
120	119	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
121		pc1 15560	. . . . . . . . . . . 12
122	2, 121	syl 17	. . . . . . . . . . 11
123	120, 122	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10
124	123	a1d 25	. . . . . . . . 9
125		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . 16
126	125	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
127		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
128	127	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
129	128	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
130	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
131	130	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
132	126	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
133		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
134	126, 129, 131, 132, 133	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
135	134	expr 643	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
136	135	imim1d 82	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
137		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15
138	114	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
139	138	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
140		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
141	140	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
142		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
143	139, 141, 142	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
144	143	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
145		nn0addge2 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
146	126, 138, 145	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
147		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
148	147, 32	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
149	138, 147	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
150	149	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
151		elfz5 12334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
152	148, 150, 151	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
153	146, 152	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
154		bcp1nk 13104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
155	153, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
156	144, 155	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
157	156	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
158	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
159		bccl2 13110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
160	153, 159	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
161		nnq 11801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
162	160, 161	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
163	160	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
164	150	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
165		znq 11792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
166	164, 128, 165	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
167		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
168	149, 167	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
169		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
170		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
171		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
172	169, 170, 171	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
173	168, 128, 172	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
174	173	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
175		pcqmul 15558	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
176	158, 162, 163, 166, 174, 175	syl122anc 1335	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
177	157, 176	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
178	168	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
179		pcdiv 15557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
180	158, 164, 178, 128, 179	syl121anc 1331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
181	128	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
182	139, 181	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
183	143, 182	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
184	183	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
185		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
186	185	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
187	181	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
188	187	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
189	186, 188	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
190	189	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
191	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
192		nnq 11801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
193	128, 192	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
194	193	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
195	138	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
196		zq 11794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
197	195, 196	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
198	197	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
199	158, 128	pccld 15555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
200	199	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
201	200	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
202	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
203	202	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
204	203	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
205		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
206	205	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
207	114	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
208		elnn0 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $\/$
209	207, 208	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
210	209	ord 392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
211	206, 210	mt3d 140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
212	191, 211	pccld 15555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
213	212	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
214	128	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
215		pcdvdsb 15573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
216	158, 214, 202, 215	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
217	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
218		dvdsle 15032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
219	217, 128, 218	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
220	216, 219	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
221	203, 200	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
222	131, 129	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
223	220, 221, 222	3imtr3d 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
224	133, 223	mt4d 152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
225	224	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
226		dvdssubr 15027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
227	7, 34, 226	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
228	13, 227	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
229	228	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
230	207	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
231	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
232		pcdvdsb 15573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
233	191, 230, 231, 232	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
234	229, 233	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
235	201, 204, 213, 225, 234	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
236	191, 194, 198, 235	pcadd2 15594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
237	190, 236	pm2.61dane 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
238	184, 237	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
239	199	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
240	238, 239	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
241	240, 238	subeq0bd 10456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
242	180, 241	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
243	242	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
244		00id 10211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
245	243, 244	syl6req 2673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
246	177, 245	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
247	137, 246	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
248	247	expr 643	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
249	248	a2d 29	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
250	136, 249	syld 47	. . . . . . . . . . 11 $/\$
251	250	expcom 451	. . . . . . . . . 10
252	251	a2d 29	. . . . . . . . 9
253	93, 99, 105, 111, 124, 252	nn0ind 11472	. . . . . . . 8
254	87, 253	mpcom 38	. . . . . . 7
255	85, 254	mpd 15	. . . . . 6
256	83, 255	eqtr3d 2658	. . . . 5
257		pcdiv 15557	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
258	2, 34, 76, 6, 257	syl121anc 1331	. . . . . 6
259	5	nn0zd 11480	. . . . . . . 8
260		pcid 15577	. . . . . . . 8 $/\$
261	2, 259, 260	syl2anc 693	. . . . . . 7
262	261	oveq2d 6666	. . . . . 6
263	258, 262	eqtrd 2656	. . . . 5
264	256, 263	oveq12d 6668	. . . 4
265	2, 27	pccld 15555	. . . . . . . 8
266	265	nn0zd 11480	. . . . . . 7
267	266, 259	zsubcld 11487	. . . . . 6
268	267	zcnd 11483	. . . . 5
269	268	addid2d 10237	. . . 4
270	79, 264, 269	3eqtrd 2660	. . 3
271	66, 67, 270	3eqtr3d 2664	. 2
272	40, 271	jca 554	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

crab 2916

c0 3915

cpw 4158 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cfn 7955

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cq 11788

crp 11832

cfz 12326

cexp 12860

cbc 13089

chash 13117

cdvds 14983

cprime 15385

cpc 15541

cbs 15857

cplusg 15941

cgrp 17422

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-pc 15542 df-0g 16102 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-grp 17425

This theorem is referenced by: sylow1lem3 18015

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