Theorem tmsxpsval2 22344

Description: Value of the product of two metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmsxps.p	|- P = ( dist ` ( (toMetSp ` M ) X.s (toMetSp ` N ) ) )
tmsxps.1	|- ( ph -> M e. ( *Met ` X ) )
tmsxps.2	|- ( ph -> N e. ( *Met ` Y ) )
tmsxpsval.a	|- ( ph -> A e. X )
tmsxpsval.b	|- ( ph -> B e. Y )
tmsxpsval.c	|- ( ph -> C e. X )
tmsxpsval.d	|- ( ph -> D e. Y )

Assertion

Ref	Expression
tmsxpsval2	|- ( ph -> ( <. A , B >. P <. C , D >. ) = if ( ( A M C ) <_ ( B N D ) , ( B N D ) , ( A M C ) ) )

Proof of Theorem tmsxpsval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmsxps.p	. . 3 |- P = ( dist ` ( (toMetSp ` M ) X.s (toMetSp ` N ) ) )
2		tmsxps.1	. . 3 |- ( ph -> M e. ( *Met ` X ) )
3		tmsxps.2	. . 3 |- ( ph -> N e. ( *Met ` Y ) )
4		tmsxpsval.a	. . 3 |- ( ph -> A e. X )
5		tmsxpsval.b	. . 3 |- ( ph -> B e. Y )
6		tmsxpsval.c	. . 3 |- ( ph -> C e. X )
7		tmsxpsval.d	. . 3 |- ( ph -> D e. Y )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	tmsxpsval 22343	. 2 |- ( ph -> ( <. A , B >. P <. C , D >. ) = sup ( { ( A M C ) , ( B N D ) } , RR* , < ) )
9		xrltso 11974	. . . 4 |- < Or RR*
10	9	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> < Or RR* )
11		xmetcl 22136	. . . 4 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ C e. X ) -> ( A M C ) e. RR* )
12	2, 4, 6, 11	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( A M C ) e. RR* )
13		xmetcl 22136	. . . 4 |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ B e. Y /\ D e. Y ) -> ( B N D ) e. RR* )
14	3, 5, 7, 13	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( B N D ) e. RR* )
15		suppr 8377	. . 3 |- ( ( < Or RR* /\ ( A M C ) e. RR* /\ ( B N D ) e. RR* ) -> sup ( { ( A M C ) , ( B N D ) } , RR* , < ) = if ( ( B N D ) < ( A M C ) , ( A M C ) , ( B N D ) ) )
16	10, 12, 14, 15	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> sup ( { ( A M C ) , ( B N D ) } , RR* , < ) = if ( ( B N D ) < ( A M C ) , ( A M C ) , ( B N D ) ) )
17		xrltnle 10105	. . . . 5 |- ( ( ( B N D ) e. RR* /\ ( A M C ) e. RR* ) -> ( ( B N D ) < ( A M C ) <-> -. ( A M C ) <_ ( B N D ) ) )
18	14, 12, 17	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B N D ) < ( A M C ) <-> -. ( A M C ) <_ ( B N D ) ) )
19	18	ifbid 4108	. . 3 |- ( ph -> if ( ( B N D ) < ( A M C ) , ( A M C ) , ( B N D ) ) = if ( -. ( A M C ) <_ ( B N D ) , ( A M C ) , ( B N D ) ) )
20		ifnot 4133	. . 3 |- if ( -. ( A M C ) <_ ( B N D ) , ( A M C ) , ( B N D ) ) = if ( ( A M C ) <_ ( B N D ) , ( B N D ) , ( A M C ) )
21	19, 20	syl6eq 2672	. 2 |- ( ph -> if ( ( B N D ) < ( A M C ) , ( A M C ) , ( B N D ) ) = if ( ( A M C ) <_ ( B N D ) , ( B N D ) , ( A M C ) ) )
22	8, 16, 21	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( <. A , B >. P <. C , D >. ) = if ( ( A M C ) <_ ( B N D ) , ( B N D ) , ( A M C ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   Or wor 5034   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   distcds 15950   X._s cxps 16166   *Metcxmt 19731  toMetSpctmt 22124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  txmetcnp  22352