Theorem dvlip2 23758

Description: Combine the results of dvlip 23756 and dvlipcn 23757 into one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvlip2.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvlip2.j	|- J = ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) )
dvlip2.x	|- ( ph -> X C_ S )
dvlip2.f	|- ( ph -> F : X --> CC )
dvlip2.a	|- ( ph -> A e. S )
dvlip2.r	|- ( ph -> R e. RR* )
dvlip2.b	|- B = ( A ( ball ` J ) R )
dvlip2.d	|- ( ph -> B C_ dom ( S _D F ) )
dvlip2.m	|- ( ph -> M e. RR )
dvlip2.l	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( abs ` ( ( S _D F ) ` x ) ) <_ M )

Assertion

Ref	Expression
dvlip2	|- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, J   ph, x   x, M   x, R   x, S   x, Y   x, Z

Allowed substitution hint:   X( x)

Proof of Theorem dvlip2

Dummy variable r is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvlip2.j	. . . . . . . 8 |- J = ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) )
2		cnxmet 22576	. . . . . . . . 9 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
3		dvlip2.s	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
4		recnprss 23668	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S C_ CC )
6		xmetres2 22166	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) e. ( *Met ` S ) )
7	2, 5, 6	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) e. ( *Met ` S ) )
8	1, 7	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. ( *Met ` S ) )
9	8	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> J e. ( *Met ` S ) )
10		dvlip2.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. S )
11	10	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> A e. S )
12		simplrr 801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> Z e. B )
13		dvlip2.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( A ( ball ` J ) R )
14	12, 13	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> Z e. ( A ( ball ` J ) R ) )
15		dvlip2.r	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. RR* )
16	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> R e. RR* )
17		elbl 22193	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( *Met ` S ) /\ A e. S /\ R e. RR* ) -> ( Z e. ( A ( ball ` J ) R ) <-> ( Z e. S /\ ( A J Z ) < R ) ) )
18	9, 11, 16, 17	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( Z e. ( A ( ball ` J ) R ) <-> ( Z e. S /\ ( A J Z ) < R ) ) )
19	14, 18	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( Z e. S /\ ( A J Z ) < R ) )
20	19	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> Z e. S )
21		xmetcl 22136	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( *Met ` S ) /\ A e. S /\ Z e. S ) -> ( A J Z ) e. RR* )
22	9, 11, 20, 21	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( A J Z ) e. RR* )
23		simplrl 800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> Y e. B )
24	23, 13	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> Y e. ( A ( ball ` J ) R ) )
25		elbl 22193	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( *Met ` S ) /\ A e. S /\ R e. RR* ) -> ( Y e. ( A ( ball ` J ) R ) <-> ( Y e. S /\ ( A J Y ) < R ) ) )
26	9, 11, 16, 25	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( Y e. ( A ( ball ` J ) R ) <-> ( Y e. S /\ ( A J Y ) < R ) ) )
27	24, 26	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( Y e. S /\ ( A J Y ) < R ) )
28	27	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> Y e. S )
29		xmetcl 22136	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( *Met ` S ) /\ A e. S /\ Y e. S ) -> ( A J Y ) e. RR* )
30	9, 11, 28, 29	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( A J Y ) e. RR* )
31	22, 30	ifcld 4131	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> if ( ( A J Y ) <_ ( A J Z ) , ( A J Z ) , ( A J Y ) ) e. RR* )
32	19	simprd 479	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( A J Z ) < R )
33	27	simprd 479	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( A J Y ) < R )
34		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( ( A J Z ) = if ( ( A J Y ) <_ ( A J Z ) , ( A J Z ) , ( A J Y ) ) -> ( ( A J Z ) < R <-> if ( ( A J Y ) <_ ( A J Z ) , ( A J Z ) , ( A J Y ) ) < R ) )
35		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( ( A J Y ) = if ( ( A J Y ) <_ ( A J Z ) , ( A J Z ) , ( A J Y ) ) -> ( ( A J Y ) < R <-> if ( ( A J Y ) <_ ( A J Z ) , ( A J Z ) , ( A J Y ) ) < R ) )
36	34, 35	ifboth 4124	. . . . 5 |- ( ( ( A J Z ) < R /\ ( A J Y ) < R ) -> if ( ( A J Y ) <_ ( A J Z ) , ( A J Z ) , ( A J Y ) ) < R )
37	32, 33, 36	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> if ( ( A J Y ) <_ ( A J Z ) , ( A J Z ) , ( A J Y ) ) < R )
38		qbtwnxr 12031	. . . 4 |- ( ( if ( ( A J Y ) <_ ( A J Z ) , ( A J Z ) , ( A J Y ) ) e. RR* /\ R e. RR* /\ if ( ( A J Y ) <_ ( A J Z ) , ( A J Z ) , ( A J Y ) ) < R ) -> E. r e. QQ ( if ( ( A J Y ) <_ ( A J Z ) , ( A J Z ) , ( A J Y ) ) < r /\ r < R ) )
39	31, 16, 37, 38	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> E. r e. QQ ( if ( ( A J Y ) <_ ( A J Z ) , ( A J Z ) , ( A J Y ) ) < r /\ r < R ) )
40		qre 11793	. . . . 5 |- ( r e. QQ -> r e. RR )
41	30	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) -> ( A J Y ) e. RR* )
42	22	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) -> ( A J Z ) e. RR* )
43		rexr 10085	. . . . . . . . 9 |- ( r e. RR -> r e. RR* )
44	43	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) -> r e. RR* )
45		xrmaxlt 12012	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A J Y ) e. RR* /\ ( A J Z ) e. RR* /\ r e. RR* ) -> ( if ( ( A J Y ) <_ ( A J Z ) , ( A J Z ) , ( A J Y ) ) < r <-> ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) ) )
46	41, 42, 44, 45	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) -> ( if ( ( A J Y ) <_ ( A J Z ) , ( A J Z ) , ( A J Y ) ) < r <-> ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) ) )
47		ioossicc 12259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) C_ ( ( A - r ) [,] ( A + r ) )
48		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> S = RR )
49	28, 48	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> Y e. RR )
50	49	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> Y e. RR )
51		xmetsym 22152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J e. ( *Met ` S ) /\ A e. S /\ Y e. S ) -> ( A J Y ) = ( Y J A ) )
52	9, 11, 28, 51	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( A J Y ) = ( Y J A ) )
53	48	sqxpeqd 5141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( S X. S ) = ( RR X. RR ) )
54	53	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
55	1, 54	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> J = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
56	55	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( Y J A ) = ( Y ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) A ) )
57	11, 48	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> A e. RR )
58		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
59	58	remetdval 22592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Y e. RR /\ A e. RR ) -> ( Y ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) A ) = ( abs ` ( Y - A ) ) )
60	49, 57, 59	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( Y ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) A ) = ( abs ` ( Y - A ) ) )
61	52, 56, 60	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( A J Y ) = ( abs ` ( Y - A ) ) )
62	61	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( A J Y ) = ( abs ` ( Y - A ) ) )
63		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( A J Y ) < r )
64	62, 63	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( abs ` ( Y - A ) ) < r )
65	57	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> A e. RR )
66		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> r e. RR )
67	50, 65, 66	absdifltd 14172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( ( abs ` ( Y - A ) ) < r <-> ( ( A - r ) < Y /\ Y < ( A + r ) ) ) )
68	64, 67	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( ( A - r ) < Y /\ Y < ( A + r ) ) )
69	68	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( A - r ) < Y )
70	68	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> Y < ( A + r ) )
71	65, 66	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( A - r ) e. RR )
72	71	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( A - r ) e. RR* )
73	65, 66	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( A + r ) e. RR )
74	73	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( A + r ) e. RR* )
75		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A - r ) e. RR* /\ ( A + r ) e. RR* ) -> ( Y e. ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) <-> ( Y e. RR /\ ( A - r ) < Y /\ Y < ( A + r ) ) ) )
76	72, 74, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( Y e. ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) <-> ( Y e. RR /\ ( A - r ) < Y /\ Y < ( A + r ) ) ) )
77	50, 69, 70, 76	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> Y e. ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) )
78	47, 77	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> Y e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) )
79		fvres 6207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) -> ( ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ` Y ) = ( F ` Y ) )
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ` Y ) = ( F ` Y ) )
81	20, 48	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> Z e. RR )
82	81	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> Z e. RR )
83		xmetsym 22152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J e. ( *Met ` S ) /\ A e. S /\ Z e. S ) -> ( A J Z ) = ( Z J A ) )
84	9, 11, 20, 83	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( A J Z ) = ( Z J A ) )
85	55	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( Z J A ) = ( Z ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) A ) )
86	58	remetdval 22592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Z e. RR /\ A e. RR ) -> ( Z ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) A ) = ( abs ` ( Z - A ) ) )
87	81, 57, 86	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( Z ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) A ) = ( abs ` ( Z - A ) ) )
88	84, 85, 87	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( A J Z ) = ( abs ` ( Z - A ) ) )
89	88	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( A J Z ) = ( abs ` ( Z - A ) ) )
90		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( A J Z ) < r )
91	89, 90	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( abs ` ( Z - A ) ) < r )
92	82, 65, 66	absdifltd 14172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( ( abs ` ( Z - A ) ) < r <-> ( ( A - r ) < Z /\ Z < ( A + r ) ) ) )
93	91, 92	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( ( A - r ) < Z /\ Z < ( A + r ) ) )
94	93	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( A - r ) < Z )
95	93	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> Z < ( A + r ) )
96		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A - r ) e. RR* /\ ( A + r ) e. RR* ) -> ( Z e. ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) <-> ( Z e. RR /\ ( A - r ) < Z /\ Z < ( A + r ) ) ) )
97	72, 74, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( Z e. ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) <-> ( Z e. RR /\ ( A - r ) < Z /\ Z < ( A + r ) ) ) )
98	82, 94, 95, 97	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> Z e. ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) )
99	47, 98	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> Z e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) )
100		fvres 6207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Z e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) -> ( ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ` Z ) = ( F ` Z ) )
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ` Z ) = ( F ` Z ) )
102	80, 101	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( ( ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ` Y ) - ( ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ` Z ) ) = ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) )
103	102	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ` Y ) - ( ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ` Z ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) )
104	9	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> J e. ( *Met ` S ) )
105		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( A - r ) e. RR /\ ( A + r ) e. RR ) -> ( x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) <-> ( x e. RR /\ ( A - r ) <_ x /\ x <_ ( A + r ) ) ) )
106	71, 73, 105	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) <-> ( x e. RR /\ ( A - r ) <_ x /\ x <_ ( A + r ) ) ) )
107	106	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> ( x e. RR /\ ( A - r ) <_ x /\ x <_ ( A + r ) ) )
108	107	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> x e. RR )
109	48	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> S = RR )
110	108, 109	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> x e. S )
111	11	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> A e. S )
112		xmetcl 22136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J e. ( *Met ` S ) /\ x e. S /\ A e. S ) -> ( x J A ) e. RR* )
113	104, 110, 111, 112	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> ( x J A ) e. RR* )
114	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> r e. RR )
115	114	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> r e. RR* )
116	16	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> R e. RR* )
117	55	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> J = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
118	117	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> ( x J A ) = ( x ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) A ) )
119	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> A e. RR )
120	58	remetdval 22592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. RR /\ A e. RR ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) A ) = ( abs ` ( x - A ) ) )
121	108, 119, 120	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) A ) = ( abs ` ( x - A ) ) )
122	118, 121	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> ( x J A ) = ( abs ` ( x - A ) ) )
123	107	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> ( A - r ) <_ x )
124	107	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> x <_ ( A + r ) )
125	108, 119, 114	absdifled 14173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> ( ( abs ` ( x - A ) ) <_ r <-> ( ( A - r ) <_ x /\ x <_ ( A + r ) ) ) )
126	123, 124, 125	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> ( abs ` ( x - A ) ) <_ r )
127	122, 126	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> ( x J A ) <_ r )
128		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> r < R )
129	113, 115, 116, 127, 128	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> ( x J A ) < R )
130		elbl3 22197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J e. ( *Met ` S ) /\ R e. RR* ) /\ ( A e. S /\ x e. S ) ) -> ( x e. ( A ( ball ` J ) R ) <-> ( x J A ) < R ) )
131	104, 116, 111, 110, 130	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> ( x e. ( A ( ball ` J ) R ) <-> ( x J A ) < R ) )
132	129, 131	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> x e. ( A ( ball ` J ) R ) )
133	132	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( x e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) -> x e. ( A ( ball ` J ) R ) ) )
134	133	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) C_ ( A ( ball ` J ) R ) )
135	134, 13	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) C_ B )
136	135	resabs1d 5428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( ( F |` B ) |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) = ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) )
137		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- RR C_ CC
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> RR C_ CC )
139		dvlip2.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F : X --> CC )
140	139	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> F : X --> CC )
141		dvlip2.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B C_ dom ( S _D F ) )
142		dvlip2.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X C_ S )
143	5, 139, 142	dvbss 23665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> dom ( S _D F ) C_ X )
144	141, 143	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B C_ X )
145	144	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> B C_ X )
146	140, 145	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( F |` B ) : B --> CC )
147		blssm 22223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J e. ( *Met ` S ) /\ A e. S /\ R e. RR* ) -> ( A ( ball ` J ) R ) C_ S )
148	9, 11, 16, 147	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( A ( ball ` J ) R ) C_ S )
149	13, 148	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> B C_ S )
150	149, 48	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> B C_ RR )
151	150	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> B C_ RR )
152	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> RR C_ CC )
153	139	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> F : X --> CC )
154	142	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> X C_ S )
155	154, 48	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> X C_ RR )
156		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
157	156	tgioo2 22606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
158	156, 157	dvres 23675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( RR C_ CC /\ F : X --> CC ) /\ ( X C_ RR /\ B C_ RR ) ) -> ( RR _D ( F |` B ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` B ) ) )
159	152, 153, 155, 150, 158	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( RR _D ( F |` B ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` B ) ) )
160		retop 22565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
161	55	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( ball ` J ) = ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) )
162	161	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( A ( ball ` J ) R ) = ( A ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) R ) )
163	13, 162	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> B = ( A ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) R ) )
164	55, 9	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` S ) )
165		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
166	58, 165	tgioo 22599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
167	166	blopn 22305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` S ) /\ A e. S /\ R e. RR* ) -> ( A ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) R ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
168	164, 11, 16, 167	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( A ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) R ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
169	163, 168	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> B e. ( topGen ` ran (,) ) )
170		isopn3i 20886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ B e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` B ) = B )
171	160, 169, 170	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` B ) = B )
172	171	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` B ) ) = ( ( RR _D F ) |` B ) )
173	159, 172	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( RR _D ( F |` B ) ) = ( ( RR _D F ) |` B ) )
174	173	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> dom ( RR _D ( F |` B ) ) = dom ( ( RR _D F ) |` B ) )
175		dmres 5419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- dom ( ( RR _D F ) |` B ) = ( B i^i dom ( RR _D F ) )
176	141	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> B C_ dom ( S _D F ) )
177	48	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( S _D F ) = ( RR _D F ) )
178	177	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> dom ( S _D F ) = dom ( RR _D F ) )
179	176, 178	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> B C_ dom ( RR _D F ) )
180		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B C_ dom ( RR _D F ) <-> ( B i^i dom ( RR _D F ) ) = B )
181	179, 180	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( B i^i dom ( RR _D F ) ) = B )
182	175, 181	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> dom ( ( RR _D F ) |` B ) = B )
183	174, 182	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> dom ( RR _D ( F |` B ) ) = B )
184	183	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> dom ( RR _D ( F |` B ) ) = B )
185		dvcn 23684	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( RR C_ CC /\ ( F |` B ) : B --> CC /\ B C_ RR ) /\ dom ( RR _D ( F |` B ) ) = B ) -> ( F |` B ) e. ( B -cn-> CC ) )
186	138, 146, 151, 184, 185	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( F |` B ) e. ( B -cn-> CC ) )
187		rescncf 22700	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) C_ B -> ( ( F |` B ) e. ( B -cn-> CC ) -> ( ( F |` B ) |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) e. ( ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) -cn-> CC ) ) )
188	135, 186, 187	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( ( F |` B ) |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) e. ( ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) -cn-> CC ) )
189	136, 188	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) e. ( ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) -cn-> CC ) )
190	135, 151	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) C_ RR )
191	156, 157	dvres 23675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( RR C_ CC /\ ( F |` B ) : B --> CC ) /\ ( B C_ RR /\ ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( ( F |` B ) |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ) = ( ( RR _D ( F |` B ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ) )
192	138, 146, 151, 190, 191	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( RR _D ( ( F |` B ) |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ) = ( ( RR _D ( F |` B ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ) )
193	136	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( RR _D ( ( F |` B ) |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ) = ( RR _D ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ) )
194		iccntr 22624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A - r ) e. RR /\ ( A + r ) e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) = ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) )
195	71, 73, 194	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) = ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) )
196	195	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( ( RR _D ( F |` B ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ) = ( ( RR _D ( F |` B ) ) |` ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) ) )
197	192, 193, 196	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ) = ( ( RR _D ( F |` B ) ) |` ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) ) )
198	197	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> dom ( RR _D ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ) = dom ( ( RR _D ( F |` B ) ) |` ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) ) )
199		dmres 5419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( ( RR _D ( F |` B ) ) |` ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) ) = ( ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) i^i dom ( RR _D ( F |` B ) ) )
200	47, 135	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) C_ B )
201	200, 184	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) C_ dom ( RR _D ( F |` B ) ) )
202		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) C_ dom ( RR _D ( F |` B ) ) <-> ( ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) i^i dom ( RR _D ( F |` B ) ) ) = ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) )
203	201, 202	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) i^i dom ( RR _D ( F |` B ) ) ) = ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) )
204	199, 203	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> dom ( ( RR _D ( F |` B ) ) |` ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) ) = ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) )
205	198, 204	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> dom ( RR _D ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ) = ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) )
206		dvlip2.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. RR )
207	206	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> M e. RR )
208	197	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ) ` x ) = ( ( ( RR _D ( F |` B ) ) |` ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) ) ` x ) )
209		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` B ) ) |` ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) ) ` x ) = ( ( RR _D ( F |` B ) ) ` x ) )
210	208, 209	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ) ` x ) = ( ( RR _D ( F |` B ) ) ` x ) )
211	177	reseq1d 5395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( ( S _D F ) |` B ) = ( ( RR _D F ) |` B ) )
212	173, 211	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( RR _D ( F |` B ) ) = ( ( S _D F ) |` B ) )
213	212	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( ( RR _D ( F |` B ) ) ` x ) = ( ( ( S _D F ) |` B ) ` x ) )
214	213	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` B ) ) ` x ) = ( ( ( S _D F ) |` B ) ` x ) )
215	200	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) ) -> x e. B )
216		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. B -> ( ( ( S _D F ) |` B ) ` x ) = ( ( S _D F ) ` x ) )
217	215, 216	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) ) -> ( ( ( S _D F ) |` B ) ` x ) = ( ( S _D F ) ` x ) )
218	210, 214, 217	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ) ` x ) = ( ( S _D F ) ` x ) )
219	218	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ) ` x ) ) = ( abs ` ( ( S _D F ) ` x ) ) )
220		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ph )
221		dvlip2.l	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( abs ` ( ( S _D F ) ` x ) ) <_ M )
222	220, 221	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. B ) -> ( abs ` ( ( S _D F ) ` x ) ) <_ M )
223	215, 222	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) ) -> ( abs ` ( ( S _D F ) ` x ) ) <_ M )
224	219, 223	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ x e. ( ( A - r ) (,) ( A + r ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ) ` x ) ) <_ M )
225	71, 73, 189, 205, 207, 224	dvlip 23756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) /\ ( Y e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) /\ Z e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ` Y ) - ( ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
226	225	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( ( Y e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) /\ Z e. ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ` Y ) - ( ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) ) )
227	78, 99, 226	mp2and 715	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ` Y ) - ( ( F |` ( ( A - r ) [,] ( A + r ) ) ) ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
228	103, 227	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) /\ ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) /\ r < R ) ) -> ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
229	228	exp32 631	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) -> ( ( ( A J Y ) < r /\ ( A J Z ) < r ) -> ( r < R -> ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) ) ) )
230	46, 229	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) -> ( if ( ( A J Y ) <_ ( A J Z ) , ( A J Z ) , ( A J Y ) ) < r -> ( r < R -> ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) ) ) )
231	230	impd 447	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. RR ) -> ( ( if ( ( A J Y ) <_ ( A J Z ) , ( A J Z ) , ( A J Y ) ) < r /\ r < R ) -> ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) ) )
232	40, 231	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) /\ r e. QQ ) -> ( ( if ( ( A J Y ) <_ ( A J Z ) , ( A J Z ) , ( A J Y ) ) < r /\ r < R ) -> ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) ) )
233	232	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( E. r e. QQ ( if ( ( A J Y ) <_ ( A J Z ) , ( A J Z ) , ( A J Y ) ) < r /\ r < R ) -> ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) ) )
234	39, 233	mpd 15	. 2 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = RR ) -> ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
235		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> S = CC )
236	235	sqxpeqd 5141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> ( S X. S ) = ( CC X. CC ) )
237	236	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( CC X. CC ) ) )
238		absf 14077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- abs : CC --> RR
239		subf 10283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
240		fco 6058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( abs : CC --> RR /\ - : ( CC X. CC ) --> CC ) -> ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR )
241	238, 239, 240	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR
242		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR -> ( abs o. - ) Fn ( CC X. CC ) )
243		fnresdm 6000	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs o. - ) Fn ( CC X. CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( CC X. CC ) ) = ( abs o. - ) )
244	241, 242, 243	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs o. - ) |` ( CC X. CC ) ) = ( abs o. - )
245	237, 244	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) = ( abs o. - ) )
246	1, 245	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> J = ( abs o. - ) )
247	246	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> ( ball ` J ) = ( ball ` ( abs o. - ) ) )
248	247	oveqd 6667	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> ( A ( ball ` J ) R ) = ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) )
249	13, 248	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> B = ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) )
250	249	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> ( Y e. B <-> Y e. ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) )
251	249	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> ( Z e. B <-> Z e. ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) )
252	250, 251	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> ( ( Y e. B /\ Z e. B ) <-> ( Y e. ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) /\ Z e. ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) ) )
253	252	biimpa 501	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ S = CC ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y e. ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) /\ Z e. ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) )
254	142	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> X C_ S )
255	254, 235	sseqtrd 3641	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> X C_ CC )
256	139	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> F : X --> CC )
257	10	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> A e. S )
258	257, 235	eleqtrd 2703	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> A e. CC )
259	15	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> R e. RR* )
260		eqid 2622	. . . . 5 |- ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) = ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R )
261	141	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> B C_ dom ( S _D F ) )
262	235	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> ( S _D F ) = ( CC _D F ) )
263	262	dmeqd 5326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> dom ( S _D F ) = dom ( CC _D F ) )
264	261, 249, 263	3sstr3d 3647	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) C_ dom ( CC _D F ) )
265	206	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> M e. RR )
266	221	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. B -> ( abs ` ( ( S _D F ) ` x ) ) <_ M ) )
267	266	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> ( x e. B -> ( abs ` ( ( S _D F ) ` x ) ) <_ M ) )
268	249	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> ( x e. B <-> x e. ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) )
269	262	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> ( ( S _D F ) ` x ) = ( ( CC _D F ) ` x ) )
270	269	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> ( abs ` ( ( S _D F ) ` x ) ) = ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) )
271	270	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> ( ( abs ` ( ( S _D F ) ` x ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M ) )
272	267, 268, 271	3imtr3d 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ S = CC ) -> ( x e. ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M ) )
273	272	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ S = CC ) /\ x e. ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M )
274	255, 256, 258, 259, 260, 264, 265, 273	dvlipcn 23757	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ S = CC ) /\ ( Y e. ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) /\ Z e. ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
275	253, 274	syldan 487	. . 3 |- ( ( ( ph /\ S = CC ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
276	275	an32s 846	. 2 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ S = CC ) -> ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
277		elpri 4197	. . . 4 |- ( S e. { RR , CC } -> ( S = RR \/ S = CC ) )
278	3, 277	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( S = RR \/ S = CC ) )
279	278	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( S = RR \/ S = CC ) )
280	234, 276, 279	mpjaodan 827	1 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   {cpr 4179   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   QQcq 11788   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   abscabs 13974   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733   MetOpencmopn 19736  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698   intcnt 20821   -cn->ccncf 22679   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  ulmdvlem1  24154  dvconstbi  38533