Theorem mdetunilem8 20425

Description: Lemma for mdetuni 20428. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetuni.a	|- A = ( N Mat R )
mdetuni.b	|- B = ( Base ` A )
mdetuni.k	|- K = ( Base ` R )
mdetuni.0g	|- .0. = ( 0g ` R )
mdetuni.1r	|- .1. = ( 1r ` R )
mdetuni.pg	|- .+ = ( +g ` R )
mdetuni.tg	|- .x. = ( .r ` R )
mdetuni.n	|- ( ph -> N e. Fin )
mdetuni.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mdetuni.ff	|- ( ph -> D : B --> K )
mdetuni.al	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. N A. z e. N ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y x w ) = ( z x w ) ) -> ( D ` x ) = .0. ) )
mdetuni.li	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( y |` ( { w } X. N ) ) oF .+ ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( y |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( ( D ` y ) .+ ( D ` z ) ) ) )
mdetuni.sc	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. K A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( ( { w } X. N ) X. { y } ) oF .x. ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( y .x. ( D ` z ) ) ) )
mdetunilem8.id	|- ( ph -> ( D ` ( 1r ` A ) ) = .0. )

Assertion

Ref	Expression
mdetunilem8	|- ( ( ph /\ E : N --> N ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) = .0. )

Distinct variable groups:   ph, x, y, z, w, a, b   x, B, y, z, w, a, b   x, K, y, z, w, a, b   x, N, y, z, w, a, b   x, D, y, z, w, a, b   x, .x. , y, z, w   .+ , a, b, x, y, z, w   .0. , a, b, x, y, z, w   .1. , a, b, x, y, z, w   x, R, y, z, w   A, a, b, x, y, z, w   x, E, y, z, w, a, b

Allowed substitution hints:   R( a, b)   .x. ( a, b)

Proof of Theorem mdetunilem8

Dummy variables c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) -> ph )
2		mdetuni.n	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. Fin )
3		enrefg 7987	. . . . . . . . 9 |- ( N e. Fin -> N ~~ N )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N ~~ N )
5		f1finf1o 8187	. . . . . . . 8 |- ( ( N ~~ N /\ N e. Fin ) -> ( E : N -1-1-> N <-> E : N -1-1-onto-> N ) )
6	4, 2, 5	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E : N -1-1-> N <-> E : N -1-1-onto-> N ) )
7	6	biimpa 501	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) -> E : N -1-1-onto-> N )
8		mdetuni.r	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. Ring )
9		mdetuni.a	. . . . . . . . . 10 |- A = ( N Mat R )
10	9	matring 20249	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
11	2, 8, 10	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. Ring )
12		mdetuni.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` A )
13		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 1r ` A ) = ( 1r ` A )
14	12, 13	ringidcl 18568	. . . . . . . 8 |- ( A e. Ring -> ( 1r ` A ) e. B )
15	11, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1r ` A ) e. B )
16	15	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) -> ( 1r ` A ) e. B )
17		mdetuni.k	. . . . . . 7 |- K = ( Base ` R )
18		mdetuni.0g	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` R )
19		mdetuni.1r	. . . . . . 7 |- .1. = ( 1r ` R )
20		mdetuni.pg	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` R )
21		mdetuni.tg	. . . . . . 7 |- .x. = ( .r ` R )
22		mdetuni.ff	. . . . . . 7 |- ( ph -> D : B --> K )
23		mdetuni.al	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. N A. z e. N ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y x w ) = ( z x w ) ) -> ( D ` x ) = .0. ) )
24		mdetuni.li	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( y |` ( { w } X. N ) ) oF .+ ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( y |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( ( D ` y ) .+ ( D ` z ) ) ) )
25		mdetuni.sc	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. K A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( ( { w } X. N ) X. { y } ) oF .x. ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( y .x. ( D ` z ) ) ) )
26	9, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25	mdetunilem7 20424	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ ( 1r ` A ) e. B ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( E ` a ) ( 1r ` A ) b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` E ) .x. ( D ` ( 1r ` A ) ) ) )
27	1, 7, 16, 26	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( E ` a ) ( 1r ` A ) b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` E ) .x. ( D ` ( 1r ` A ) ) ) )
28	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) -> N e. Fin )
29	28	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> N e. Fin )
30	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) -> R e. Ring )
31	30	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> R e. Ring )
32		simp1r 1086	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> E : N -1-1-> N )
33		f1f 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( E : N -1-1-> N -> E : N --> N )
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> E : N --> N )
35		simp2 1062	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> a e. N )
36	34, 35	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( E ` a ) e. N )
37		simp3 1063	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> b e. N )
38	9, 19, 18, 29, 31, 36, 37, 13	mat1ov 20254	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( E ` a ) ( 1r ` A ) b ) = if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) )
39	38	mpt2eq3dva 6719	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) -> ( a e. N , b e. N |-> ( ( E ` a ) ( 1r ` A ) b ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) )
40	39	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( E ` a ) ( 1r ` A ) b ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) )
41		mdetunilem8.id	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( D ` ( 1r ` A ) ) = .0. )
42	41	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) -> ( D ` ( 1r ` A ) ) = .0. )
43	42	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` E ) .x. ( D ` ( 1r ` A ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` E ) .x. .0. ) )
44		zrhpsgnmhm 19930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
45	8, 2, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
46		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
47		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
48	47, 17	mgpbas 18495	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
49	46, 48	mhmf 17340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> K )
50	45, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> K )
51	50	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> K )
52		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( SymGrp ` N ) = ( SymGrp ` N )
53	52, 46	elsymgbas 17802	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. Fin -> ( E e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) <-> E : N -1-1-onto-> N ) )
54	28, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) -> ( E e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) <-> E : N -1-1-onto-> N ) )
55	7, 54	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) -> E e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) )
56	51, 55	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` E ) e. K )
57	17, 21, 18	ringrz 18588	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` E ) e. K ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` E ) .x. .0. ) = .0. )
58	30, 56, 57	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` E ) .x. .0. ) = .0. )
59	43, 58	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` E ) .x. ( D ` ( 1r ` A ) ) ) = .0. )
60	27, 40, 59	3eqtr3d 2664	. . . 4 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-> N ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) = .0. )
61	60	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( E : N -1-1-> N -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) = .0. ) )
62	61	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ E : N --> N ) -> ( E : N -1-1-> N -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) = .0. ) )
63		ibar 525	. . . . . . 7 |- ( E : N --> N -> ( A. c e. N A. d e. N ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> c = d ) <-> ( E : N --> N /\ A. c e. N A. d e. N ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> c = d ) ) ) )
64	63	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E : N --> N ) -> ( A. c e. N A. d e. N ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> c = d ) <-> ( E : N --> N /\ A. c e. N A. d e. N ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> c = d ) ) ) )
65		dff13 6512	. . . . . 6 |- ( E : N -1-1-> N <-> ( E : N --> N /\ A. c e. N A. d e. N ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> c = d ) ) )
66	64, 65	syl6rbbr 279	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E : N --> N ) -> ( E : N -1-1-> N <-> A. c e. N A. d e. N ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> c = d ) ) )
67	66	notbid 308	. . . 4 |- ( ( ph /\ E : N --> N ) -> ( -. E : N -1-1-> N <-> -. A. c e. N A. d e. N ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> c = d ) ) )
68		rexnal 2995	. . . . 5 |- ( E. c e. N -. A. d e. N ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> c = d ) <-> -. A. c e. N A. d e. N ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> c = d ) )
69		rexnal 2995	. . . . . . 7 |- ( E. d e. N -. ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> c = d ) <-> -. A. d e. N ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> c = d ) )
70		df-ne 2795	. . . . . . . . . 10 |- ( c =/= d <-> -. c = d )
71	70	anbi2i 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ c =/= d ) <-> ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ -. c = d ) )
72		annim 441	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ -. c = d ) <-> -. ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> c = d ) )
73	71, 72	bitr2i 265	. . . . . . . 8 |- ( -. ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> c = d ) <-> ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ c =/= d ) )
74	73	rexbii 3041	. . . . . . 7 |- ( E. d e. N -. ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> c = d ) <-> E. d e. N ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ c =/= d ) )
75	69, 74	bitr3i 266	. . . . . 6 |- ( -. A. d e. N ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> c = d ) <-> E. d e. N ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ c =/= d ) )
76	75	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. c e. N -. A. d e. N ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> c = d ) <-> E. c e. N E. d e. N ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ c =/= d ) )
77	68, 76	bitr3i 266	. . . 4 |- ( -. A. c e. N A. d e. N ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> c = d ) <-> E. c e. N E. d e. N ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ c =/= d ) )
78	67, 77	syl6bb 276	. . 3 |- ( ( ph /\ E : N --> N ) -> ( -. E : N -1-1-> N <-> E. c e. N E. d e. N ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ c =/= d ) ) )
79		simprrl 804	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ E : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ d e. N ) /\ ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ c =/= d ) ) ) -> ( E ` c ) = ( E ` d ) )
80		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = c -> ( E ` a ) = ( E ` c ) )
81	80	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = c -> ( ( E ` a ) = b <-> ( E ` c ) = b ) )
82	81	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = c -> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) = if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) )
83		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = c -> if ( a = c , if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) , if ( a = d , if ( ( E ` d ) = b , .1. , .0. ) , if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) = if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) )
84	82, 83	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = c -> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) = if ( a = c , if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) , if ( a = d , if ( ( E ` d ) = b , .1. , .0. ) , if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) )
85		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. a = c -> if ( a = c , if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) , if ( a = d , if ( ( E ` d ) = b , .1. , .0. ) , if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) = if ( a = d , if ( ( E ` d ) = b , .1. , .0. ) , if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) )
86		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = d -> ( E ` a ) = ( E ` d ) )
87	86	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = d -> ( ( E ` a ) = b <-> ( E ` d ) = b ) )
88	87	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = d -> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) = if ( ( E ` d ) = b , .1. , .0. ) )
89		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = d -> if ( a = d , if ( ( E ` d ) = b , .1. , .0. ) , if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) = if ( ( E ` d ) = b , .1. , .0. ) )
90	88, 89	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = d -> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) = if ( a = d , if ( ( E ` d ) = b , .1. , .0. ) , if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) )
91		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. a = d -> if ( a = d , if ( ( E ` d ) = b , .1. , .0. ) , if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) = if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) )
92	91	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. a = d -> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) = if ( a = d , if ( ( E ` d ) = b , .1. , .0. ) , if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) )
93	90, 92	pm2.61i 176	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) = if ( a = d , if ( ( E ` d ) = b , .1. , .0. ) , if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) )
94	85, 93	syl6reqr 2675	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. a = c -> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) = if ( a = c , if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) , if ( a = d , if ( ( E ` d ) = b , .1. , .0. ) , if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) )
95	84, 94	pm2.61i 176	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) = if ( a = c , if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) , if ( a = d , if ( ( E ` d ) = b , .1. , .0. ) , if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) )
96		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( E ` d ) = ( E ` c ) -> ( ( E ` d ) = b <-> ( E ` c ) = b ) )
97	96	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> ( ( E ` d ) = b <-> ( E ` c ) = b ) )
98	97	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> if ( ( E ` d ) = b , .1. , .0. ) = if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) )
99	98	ifeq1d 4104	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> if ( a = d , if ( ( E ` d ) = b , .1. , .0. ) , if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) = if ( a = d , if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) , if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) )
100	99	ifeq2d 4105	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> if ( a = c , if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) , if ( a = d , if ( ( E ` d ) = b , .1. , .0. ) , if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) = if ( a = c , if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) , if ( a = d , if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) , if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) )
101	95, 100	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) = if ( a = c , if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) , if ( a = d , if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) , if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) )
102	101	mpt2eq3dv 6721	. . . . . . . 8 |- ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> ( a e. N , b e. N |-> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = c , if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) , if ( a = d , if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) , if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) ) )
103	102	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( E ` c ) = ( E ` d ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = c , if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) , if ( a = d , if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) , if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
104	79, 103	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ E : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ d e. N ) /\ ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ c =/= d ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = c , if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) , if ( a = d , if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) , if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
105		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ E : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ d e. N ) /\ ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ c =/= d ) ) ) -> ph )
106		simprll 802	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ E : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ d e. N ) /\ ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ c =/= d ) ) ) -> c e. N )
107		simprlr 803	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ E : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ d e. N ) /\ ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ c =/= d ) ) ) -> d e. N )
108		simprrr 805	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ E : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ d e. N ) /\ ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ c =/= d ) ) ) -> c =/= d )
109	106, 107, 108	3jca 1242	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ E : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ d e. N ) /\ ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ c =/= d ) ) ) -> ( c e. N /\ d e. N /\ c =/= d ) )
110	17, 19	ringidcl 18568	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> .1. e. K )
111	8, 110	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> .1. e. K )
112	17, 18	ring0cl 18569	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> .0. e. K )
113	8, 112	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> .0. e. K )
114	111, 113	ifcld 4131	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) e. K )
115	114	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ E : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ d e. N ) /\ ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ c =/= d ) ) ) /\ b e. N ) -> if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) e. K )
116		simp1ll 1124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ d e. N ) /\ ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ c =/= d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ph )
117	111, 113	ifcld 4131	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) e. K )
118	116, 117	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ E : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ d e. N ) /\ ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ c =/= d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) e. K )
119	9, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25, 105, 109, 115, 118	mdetunilem2 20419	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ E : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ d e. N ) /\ ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ c =/= d ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = c , if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) , if ( a = d , if ( ( E ` c ) = b , .1. , .0. ) , if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) ) ) = .0. )
120	104, 119	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ E : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ d e. N ) /\ ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ c =/= d ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) = .0. )
121	120	expr 643	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ E : N --> N ) /\ ( c e. N /\ d e. N ) ) -> ( ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ c =/= d ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) = .0. ) )
122	121	rexlimdvva 3038	. . 3 |- ( ( ph /\ E : N --> N ) -> ( E. c e. N E. d e. N ( ( E ` c ) = ( E ` d ) /\ c =/= d ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) = .0. ) )
123	78, 122	sylbid 230	. 2 |- ( ( ph /\ E : N --> N ) -> ( -. E : N -1-1-> N -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) = .0. ) )
124	62, 123	pm2.61d 170	1 |- ( ( ph /\ E : N --> N ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( ( E ` a ) = b , .1. , .0. ) ) ) = .0. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   oFcof 6895   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   MndHom cmhm 17333   SymGrpcsymg 17797  pmSgncpsgn 17909  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   Ringcrg 18547   ZRHomczrh 19848   Mat cmat 20213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-symg 17798  df-pmtr 17862  df-psgn 17911  df-evpm 17912  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214

This theorem is referenced by:  mdetunilem9  20426