Theorem jm2.17a 37527

Description: First half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.17a	|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ N ) <_ ( A Yrm ( N + 1 ) ) )

Proof of Theorem jm2.17a

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( a = 0 -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ a ) = ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ 0 ) )
2		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( a = 0 -> ( a + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
3	2	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( a = 0 -> ( A Yrm ( a + 1 ) ) = ( A Yrm ( 0 + 1 ) ) )
4	1, 3	breq12d 4666	. . . 4 |- ( a = 0 -> ( ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ a ) <_ ( A Yrm ( a + 1 ) ) <-> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ 0 ) <_ ( A Yrm ( 0 + 1 ) ) ) )
5	4	imbi2d 330	. . 3 |- ( a = 0 -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ a ) <_ ( A Yrm ( a + 1 ) ) ) <-> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ 0 ) <_ ( A Yrm ( 0 + 1 ) ) ) ) )
6		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ a ) = ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ b ) )
7		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( a + 1 ) = ( b + 1 ) )
8	7	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( a = b -> ( A Yrm ( a + 1 ) ) = ( A Yrm ( b + 1 ) ) )
9	6, 8	breq12d 4666	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ a ) <_ ( A Yrm ( a + 1 ) ) <-> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ b ) <_ ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) )
10	9	imbi2d 330	. . 3 |- ( a = b -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ a ) <_ ( A Yrm ( a + 1 ) ) ) <-> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ b ) <_ ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) ) )
11		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ a ) = ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ ( b + 1 ) ) )
12		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( a + 1 ) = ( ( b + 1 ) + 1 ) )
13	12	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( A Yrm ( a + 1 ) ) = ( A Yrm ( ( b + 1 ) + 1 ) ) )
14	11, 13	breq12d 4666	. . . 4 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ a ) <_ ( A Yrm ( a + 1 ) ) <-> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ ( b + 1 ) ) <_ ( A Yrm ( ( b + 1 ) + 1 ) ) ) )
15	14	imbi2d 330	. . 3 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ a ) <_ ( A Yrm ( a + 1 ) ) ) <-> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ ( b + 1 ) ) <_ ( A Yrm ( ( b + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
16		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( a = N -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ a ) = ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ N ) )
17		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( a = N -> ( a + 1 ) = ( N + 1 ) )
18	17	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( a = N -> ( A Yrm ( a + 1 ) ) = ( A Yrm ( N + 1 ) ) )
19	16, 18	breq12d 4666	. . . 4 |- ( a = N -> ( ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ a ) <_ ( A Yrm ( a + 1 ) ) <-> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ N ) <_ ( A Yrm ( N + 1 ) ) ) )
20	19	imbi2d 330	. . 3 |- ( a = N -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ a ) <_ ( A Yrm ( a + 1 ) ) ) <-> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ N ) <_ ( A Yrm ( N + 1 ) ) ) ) )
21		1le1 10655	. . . . 5 |- 1 <_ 1
22	21	a1i 11	. . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 <_ 1 )
23		2cn 11091	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
24		eluzelcn 11699	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. CC )
25		mulcl 10020	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
26	23, 24, 25	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
27		ax-1cn 9994	. . . . . 6 |- 1 e. CC
28		subcl 10280	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 2 x. A ) - 1 ) e. CC )
29	26, 27, 28	sylancl 694	. . . . 5 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 2 x. A ) - 1 ) e. CC )
30	29	exp0d 13002	. . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ 0 ) = 1 )
31		0p1e1 11132	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
32	31	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( A Yrm ( 0 + 1 ) ) = ( A Yrm 1 )
33		rmy1 37495	. . . . 5 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm 1 ) = 1 )
34	32, 33	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm ( 0 + 1 ) ) = 1 )
35	22, 30, 34	3brtr4d 4685	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ 0 ) <_ ( A Yrm ( 0 + 1 ) ) )
36		2re 11090	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
37		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. RR )
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A e. RR )
39		remulcl 10021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 2 x. A ) e. RR )
40	36, 38, 39	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. A ) e. RR )
41		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
42		resubcl 10345	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. A ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 2 x. A ) - 1 ) e. RR )
43	40, 41, 42	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. A ) - 1 ) e. RR )
44		peano2nn0 11333	. . . . . . . . 9 |- ( b e. NN0 -> ( b + 1 ) e. NN0 )
45	44	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( b + 1 ) e. NN0 )
46	43, 45	reexpcld 13025	. . . . . . 7 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ ( b + 1 ) ) e. RR )
47	46	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ b ) <_ ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ ( b + 1 ) ) e. RR )
48		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
49		nn0z 11400	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. NN0 -> b e. ZZ )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> b e. ZZ )
51	50	peano2zd 11485	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( b + 1 ) e. ZZ )
52		frmy 37479	. . . . . . . . . . 11 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
53	52	fovcl 6765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( b + 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( b + 1 ) ) e. ZZ )
54	53	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( b + 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( b + 1 ) ) e. RR )
55	48, 51, 54	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A Yrm ( b + 1 ) ) e. RR )
56	55, 43	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) x. ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) e. RR )
57	56	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ b ) <_ ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) -> ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) x. ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) e. RR )
58	51	peano2zd 11485	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( b + 1 ) + 1 ) e. ZZ )
59	52	fovcl 6765	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( b + 1 ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( ( b + 1 ) + 1 ) ) e. ZZ )
60	59	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( b + 1 ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( ( b + 1 ) + 1 ) ) e. RR )
61	48, 58, 60	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A Yrm ( ( b + 1 ) + 1 ) ) e. RR )
62	61	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ b ) <_ ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) -> ( A Yrm ( ( b + 1 ) + 1 ) ) e. RR )
63	29	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ b ) <_ ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. A ) - 1 ) e. CC )
64		simp1 1061	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ b ) <_ ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) -> b e. NN0 )
65	63, 64	expp1d 13009	. . . . . . 7 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ b ) <_ ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ ( b + 1 ) ) = ( ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ b ) x. ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) )
66		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> b e. NN0 )
67	43, 66	reexpcld 13025	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ b ) e. RR )
68		2nn 11185	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN
69		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. NN )
70	69	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A e. NN )
71		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. NN ) -> ( 2 x. A ) e. NN )
72	68, 70, 71	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. A ) e. NN )
73		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. A ) e. NN -> ( ( 2 x. A ) - 1 ) e. NN0 )
74		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) e. NN0 -> 0 <_ ( ( 2 x. A ) - 1 ) )
75	72, 73, 74	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 <_ ( ( 2 x. A ) - 1 ) )
76	43, 75	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) )
77	67, 55, 76	3jca 1242	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ b ) e. RR /\ ( A Yrm ( b + 1 ) ) e. RR /\ ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) ) )
78		lemul1a 10877	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ b ) e. RR /\ ( A Yrm ( b + 1 ) ) e. RR /\ ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) ) /\ ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ b ) <_ ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ b ) x. ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) <_ ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) x. ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) )
79	77, 78	stoic3 1701	. . . . . . 7 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ b ) <_ ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ b ) x. ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) <_ ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) x. ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) )
80	65, 79	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ b ) <_ ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ ( b + 1 ) ) <_ ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) x. ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) )
81		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. NN0 -> b e. CC )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> b e. CC )
83		pncan 10287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( b + 1 ) - 1 ) = b )
84	82, 27, 83	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( b + 1 ) - 1 ) = b )
85	84	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A Yrm ( ( b + 1 ) - 1 ) ) = ( A Yrm b ) )
86	52	fovcl 6765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b e. ZZ ) -> ( A Yrm b ) e. ZZ )
87	86	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b e. ZZ ) -> ( A Yrm b ) e. RR )
88	48, 50, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A Yrm b ) e. RR )
89	85, 88	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A Yrm ( ( b + 1 ) - 1 ) ) e. RR )
90		remulcl 10021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) x. 1 ) e. RR )
91	55, 41, 90	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) x. 1 ) e. RR )
92	40, 55	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) e. RR )
93		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. NN0 -> b e. RR )
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> b e. RR )
95	94	lep1d 10955	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> b <_ ( b + 1 ) )
96		lermy 37522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b e. ZZ /\ ( b + 1 ) e. ZZ ) -> ( b <_ ( b + 1 ) <-> ( A Yrm b ) <_ ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) )
97	48, 50, 51, 96	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( b <_ ( b + 1 ) <-> ( A Yrm b ) <_ ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) )
98	95, 97	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A Yrm b ) <_ ( A Yrm ( b + 1 ) ) )
99	55	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A Yrm ( b + 1 ) ) e. CC )
100	99	mulid1d 10057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) x. 1 ) = ( A Yrm ( b + 1 ) ) )
101	98, 85, 100	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A Yrm ( ( b + 1 ) - 1 ) ) <_ ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) x. 1 ) )
102	89, 91, 92, 101	lesub2dd 10644	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) - ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) x. 1 ) ) <_ ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) - ( A Yrm ( ( b + 1 ) - 1 ) ) ) )
103	40	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
104	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 e. CC )
105	99, 103, 104	subdid 10486	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) x. ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) = ( ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) x. ( 2 x. A ) ) - ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) x. 1 ) ) )
106	99, 103	mulcomd 10061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) x. ( 2 x. A ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) )
107	106	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) x. ( 2 x. A ) ) - ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) x. 1 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) - ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) x. 1 ) ) )
108	105, 107	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) x. ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) - ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) x. 1 ) ) )
109		rmyluc2 37503	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( b + 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( ( b + 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) - ( A Yrm ( ( b + 1 ) - 1 ) ) ) )
110	48, 51, 109	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A Yrm ( ( b + 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) - ( A Yrm ( ( b + 1 ) - 1 ) ) ) )
111	102, 108, 110	3brtr4d 4685	. . . . . . 7 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) x. ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) <_ ( A Yrm ( ( b + 1 ) + 1 ) ) )
112	111	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ b ) <_ ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) -> ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) x. ( ( 2 x. A ) - 1 ) ) <_ ( A Yrm ( ( b + 1 ) + 1 ) ) )
113	47, 57, 62, 80, 112	letrd 10194	. . . . 5 |- ( ( b e. NN0 /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ b ) <_ ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ ( b + 1 ) ) <_ ( A Yrm ( ( b + 1 ) + 1 ) ) )
114	113	3exp 1264	. . . 4 |- ( b e. NN0 -> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ b ) <_ ( A Yrm ( b + 1 ) ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ ( b + 1 ) ) <_ ( A Yrm ( ( b + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
115	114	a2d 29	. . 3 |- ( b e. NN0 -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ b ) <_ ( A Yrm ( b + 1 ) ) ) -> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ ( b + 1 ) ) <_ ( A Yrm ( ( b + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
116	5, 10, 15, 20, 35, 115	nn0ind 11472	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ N ) <_ ( A Yrm ( N + 1 ) ) ) )
117	116	impcom 446	1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. A ) - 1 ) ^ N ) <_ ( A Yrm ( N + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ^cexp 12860   Y_rm crmy 37465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-numer 15443  df-denom 15444  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409  df-rmx 37466  df-rmy 37467

This theorem is referenced by:  jm3.1lem1  37584