Theorem pj3si 29066

Description: Stronger projection triplet theorem. (Contributed by NM, 2-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjadj2co.1	⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
pjadj2co.2	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjadj2co.3	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pj3si	⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) → (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)))

Proof of Theorem pj3si

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjadj2co.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
2		pjadj2co.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
3		pjadj2co.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
4	1, 2, 3	pj2cocli 29064	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐹)
5	4	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐹)
6	1	pjfi 28563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (projℎ‘𝐹): ℋ⟶ ℋ
7	2	pjfi 28563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
8	6, 7	hocofi 28625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
9	3	pjfi 28563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
10	8, 9	hocofni 28626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) Fn ℋ
11		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) Fn ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)))
12	10, 11	mpan 706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)))
13		ssel 3597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺 → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺))
14	12, 13	syl5 34	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺 → (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺))
15	14	imp 445	. . . . . . . 8 ⊢ ((ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺)
16	5, 15	elind 3798	. . . . . . 7 ⊢ ((ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ (𝐹 ∩ 𝐺))
17	16	adantll 750	. . . . . 6 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ (𝐹 ∩ 𝐺))
18	3, 2, 1	pj2cocli 29064	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝑥) ∈ 𝐻)
19		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝑥))
20	19	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝑥) ∈ 𝐻))
21	18, 20	syl5ibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) → (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻))
22	21	imp 445	. . . . . . 7 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻)
23	22	adantlr 751	. . . . . 6 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻)
24	17, 23	elind 3798	. . . . 5 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))
25	8, 9	hococli 28624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
26		hvsubcl 27874	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
27	25, 26	mpdan 702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
28	27	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
29		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) → 𝑥 ∈ ℋ)
30	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
31	1, 2	chincli 28319	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ Cℋ
32	31, 3	chincli 28319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) ∈ Cℋ
33	32	cheli 28089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) → 𝑦 ∈ ℋ)
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) → 𝑦 ∈ ℋ)
35	29, 30, 34	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
37		his2sub 27949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) → ((𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
39	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝑥))
40	39	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦))
41	3, 2, 1	pjadj2coi 29063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
42	33, 41	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) → (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
43	1, 2, 3	pj3lem1 29065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦) = 𝑦)
44	43	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) → (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
45	44	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) → (𝑥 ·ih ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
46	42, 45	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) → (((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑦))
47	40, 46	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑦))
48	47	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) → ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) − (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
49	25, 33	anim12i 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
51		hicl 27937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
53	52	subidd 10380	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) → ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) − (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)) = 0)
54	38, 48, 53	3eqtr2d 2662	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) → ((𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)
55	54	expr 643	. . . . . . 7 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) → ((𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0))
56	55	ralrimiv 2965	. . . . . 6 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ∀𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)
57	32	chshii 28084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) ∈ Sℋ
58		shocel 28141	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) ∈ Sℋ → ((𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) ↔ ((𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)))
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)) ↔ ((𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0))
60	28, 56, 59	sylanbrc 698	. . . . 5 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)))
61	32	pjvi 28564	. . . . 5 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) ∧ (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))) → ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)))) = ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))
62	24, 60, 61	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)))) = ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))
63		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
64		hvaddsub12 27895	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 +ℎ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))))
65	25, 63, 25, 64	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 +ℎ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))))
66		hvsubid 27883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) = 0ℎ)
67	25, 66	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) = 0ℎ)
68	67	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 +ℎ 0ℎ))
69		ax-hvaddid 27861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ 0ℎ) = 𝑥)
70	68, 69	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))) = 𝑥)
71	65, 70	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))) = 𝑥)
72	71	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)))) = ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
73	72	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)))) = ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
74	62, 73	eqtr3d 2658	. . 3 ⊢ ((((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
75	74	ralrimiva 2966	. 2 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
76	8, 9	hocofi 28625	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)): ℋ⟶ ℋ
77	32	pjfi 28563	. . 3 ⊢ (projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ
78	76, 77	hoeqi 28620	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥) ↔ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)))
79	75, 78	sylib 208	1 ⊢ (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) ∧ ran (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) ⊆ 𝐺) → (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ran crn 5115   ∘ ccom 5118   Fn wfn 5883  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936   − cmin 10266   ℋchil 27776   +_ℎ cva 27777   ·_ih csp 27779  0_ℎc0v 27781   −_ℎ cmv 27782   S_ℋ csh 27785   C_ℋ cch 27786  ⊥cort 27787  proj_ℎcpjh 27794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942  ax-hcompl 28059

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-shs 28167  df-pjh 28254

This theorem is referenced by:  pj3i  29067