dchrisumlem1 - Metamath Proof Explorer

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Theorem dchrisumlem1 25178

Description: Lemma for dchrisum 25181. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0_g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrisum.2	⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
dchrisum.6	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
dchrisum.7	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴))
dchrisum.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
dchrisum.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)

**Assertion**
Ref	Expression
dchrisumlem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)

Distinct variable groups: 𝑢,𝑛,𝑥 1 ,𝑛,𝑥 𝑛,𝐹,𝑢,𝑥 𝑥,𝐴 𝑛,𝑁,𝑢,𝑥 𝜑,𝑛,𝑢,𝑥 𝑅,𝑛,𝑢,𝑥 𝑈,𝑛,𝑢,𝑥 𝐵,𝑛 𝑛,𝑍,𝑥 𝐷,𝑛,𝑥 𝑛,𝐿,𝑢,𝑥 𝑛,𝑀,𝑢,𝑥 𝑛,𝑋,𝑢,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑢,𝑛) 𝐵(𝑥,𝑢) 𝐷(𝑢) 1 (𝑢) 𝐺(𝑥,𝑢,𝑛) 𝑍(𝑢)

Proof of Theorem dchrisumlem1 Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzodisj 12502	. . . . . 6 ⊢ ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∩ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)) = ∅
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∩ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)) = ∅)
3		rpvmasum.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
5	4	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
6		nn0re 11301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ ℕ₀ → 𝑈 ∈ ℝ)
7	6	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑈 ∈ ℝ)
8	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ)
9	7, 8	nndivred 11069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ)
10	8	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
11		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 𝑈)
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ 𝑈)
13	7, 10, 12	divge0d 11912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ (𝑈 / 𝑁))
14		flge0nn0 12621	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑈 / 𝑁)) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ₀)
15	9, 13, 14	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ₀)
16	5, 15	nn0mulcld 11356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ₀)
17		flle 12600	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁))
18	9, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁))
19		reflcl 12597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℝ)
20	9, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℝ)
21	20, 7, 10	lemuldiv2d 11922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈 ↔ (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁)))
22	18, 21	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)
23		fznn0 12432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ ℕ₀ → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) ↔ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)))
24	23	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) ↔ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)))
25	16, 22, 24	mpbir2and 957	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈))
26		fzosplit 12501	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) → (0..^𝑈) = ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∪ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)))
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (0..^𝑈) = ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∪ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)))
28		fzofi 12773	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑈) ∈ Fin
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (0..^𝑈) ∈ Fin)
30		rpvmasum.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
31		rpvmasum.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
32		rpvmasum.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
33		rpvmasum.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
34		dchrisum.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
35	34	ad2antrr 762	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐷)
36		elfzoelz 12470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑈) → 𝑛 ∈ ℤ)
37	36	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → 𝑛 ∈ ℤ)
38	30, 31, 32, 33, 35, 37	dchrzrhcl 24970	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
39	2, 27, 29, 38	fsumsplit 14471	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
40		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 0))
41	40	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · 0)))
42	41	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
43	42	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
44	43	imbi2d 330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
45		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 𝑚))
46	45	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · 𝑚)))
47	46	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
48	47	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
49	48	imbi2d 330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
50		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑚 + 1) → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · (𝑚 + 1)))
51	50	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑚 + 1) → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))))
52	51	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑚 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
53	52	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑚 + 1) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
54	53	imbi2d 330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
55		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))
56	55	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
57	56	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
58	57	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
59	58	imbi2d 330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
60	3	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
61	60	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
62	61	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 · 0)) = (0..^0))
63		fzo0 12492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^0) = ∅
64	62, 63	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 · 0)) = ∅)
65	64	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
66		sum0 14452	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0
67	65, 66	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
68		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
69		fzodisj 12502	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∩ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) = ∅
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∩ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) = ∅)
71		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → 𝑚 ∈ ℝ)
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑚 ∈ ℝ)
73	72	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑚 ≤ (𝑚 + 1))
74		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
75	72, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
76	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ)
77	76	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℝ)
78	76	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 0 < 𝑁)
79		lemul2 10876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑚 ≤ (𝑚 + 1) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
80	72, 75, 77, 78, 79	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑚 ≤ (𝑚 + 1) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
81	73, 80	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1)))
82		nn0mulcl 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℕ₀)
83	4, 82	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℕ₀)
84		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
85	83, 84	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ (ℤ_≥‘0))
86		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
87		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
88	3, 86, 87	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
89	88	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℤ)
90		elfz5 12334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 · 𝑚) ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
91	85, 89, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
92	81, 91	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))))
93		fzosplit 12501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∪ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))))
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∪ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))))
95		fzofi 12773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) ∈ Fin
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) ∈ Fin)
97	34	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
98		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
99	98	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
100	30, 31, 32, 33, 97, 99	dchrzrhcl 24970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
101	70, 94, 96, 100	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
102	76	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℂ)
103	72	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑚 ∈ ℂ)
104		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℂ)
105	102, 103, 104	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + (𝑁 · 1)))
106	102	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
107	106	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚) + (𝑁 · 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
108	105, 107	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
109	108	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁)))
110	109	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
111	76	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
112	83	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
113	112	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
114		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → 𝑘 ∈ ℤ)
115		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ)
116	112, 114, 115	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ)
117		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
119	34	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
120		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
121	120	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
122	30, 31, 32, 33, 119, 121	dchrzrhcl 24970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
123		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) → (𝐿‘𝑛) = (𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))))
124	123	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
125	113, 113, 118, 122, 124	fsumshftm 14513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑖 ∈ (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)))(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
126		fzoval 12471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)))
127	116, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)))
128	127	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
129	114	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 𝑘 ∈ ℤ)
130		fzoval 12471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (0..^𝑘) = (0...(𝑘 − 1)))
131	129, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (0..^𝑘) = (0...(𝑘 − 1)))
132	113	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
133	132	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚)) = 0)
134	116	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℂ)
135		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℂ)
136	134, 135, 132	sub32d 10424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)) = ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) − 1))
137		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → 𝑘 ∈ ℂ)
138	137	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 𝑘 ∈ ℂ)
139	132, 138	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) = 𝑘)
140	139	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) − 1) = (𝑘 − 1))
141	136, 140	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)) = (𝑘 − 1))
142	133, 141	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚))) = (0...(𝑘 − 1)))
143	131, 142	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (0..^𝑘) = (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚))))
144	143	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑖 ∈ (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)))(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
145	125, 128, 144	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
146	3	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
147		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → 𝑚 ∈ ℤ)
148		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
149	146, 147, 148	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
150	149	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
151		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑘) → 𝑖 ∈ ℤ)
152	151	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑖 ∈ ℤ)
153	152	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑖 ∈ ℂ)
154	132	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
155	153, 154	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖) = (𝑁 · 𝑚))
156	150, 155	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖))
157	111	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
158		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ) → (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ)
159	151, 113, 158	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ)
160	31, 33	zndvds 19898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿‘𝑖) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖)))
161	157, 159, 152, 160	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → ((𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿‘𝑖) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖)))
162	156, 161	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿‘𝑖))
163	162	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = (𝑋‘(𝐿‘𝑖)))
164	163	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑖)))
165		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝐿‘𝑖) = (𝐿‘𝑛))
166	165	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿‘𝑖)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
167	166	cbvsumv 14426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑖)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))
168	164, 167	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
169	145, 168	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
170	169	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → ∀𝑘 ∈ ℕ₀ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
171		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
172	171	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁)))
173	172	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
174		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (0..^𝑘) = (0..^𝑁))
175	174	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
176	173, 175	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
177	176	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (∀𝑘 ∈ ℕ₀ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
178	111, 170, 177	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
179		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝐿‘𝑛) → (𝑋‘𝑘) = (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
180	3	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
181		ifnefalse 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
182	180, 181	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
183		fzofi 12773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
184	182, 183	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ∈ Fin)
185		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
186	33	reseq1i 5392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑍) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
187		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
188	31, 185, 186, 187	znf1o 19900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑍))
189	4, 188	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑍))
190		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))‘𝑛) = (𝐿‘𝑛))
191	190	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) → ((𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))‘𝑛) = (𝐿‘𝑛))
192	30, 31, 32, 185, 34	dchrf 24967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
193	192	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋‘𝑘) ∈ ℂ)
194	179, 184, 189, 191, 193	fsumf1o 14454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋‘𝑘) = Σ𝑛 ∈ if (𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
195		rpvmasum.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 = (0_g‘𝐺)
196	30, 31, 32, 195, 34, 185	dchrsum 24994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋‘𝑘) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
197		dchrisum.n1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
198		ifnefalse 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ≠ 1 → if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) = 0)
199	197, 198	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) = 0)
200	196, 199	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋‘𝑘) = 0)
201	182	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ if (𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
202	194, 200, 201	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
203	202	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
204	110, 178, 203	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
205	204	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (0 + 0))
206		00id 10211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 0) = 0
207	205, 206	syl6req 2673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → 0 = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
208	101, 207	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))))
209	68, 208	syl5ibr 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
210	209	expcom 451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
211	210	a2d 29	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0) → (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)))
212	44, 49, 54, 59, 67, 211	nn0ind 11472	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ₀ → (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0))
213	212	impcom 446	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
214	15, 213	syldan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
215		modval 12670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → (𝑈 mod 𝑁) = (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
216	7, 10, 215	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑈 mod 𝑁) = (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
217	216	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))))
218	16	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℂ)
219		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ ℕ₀ → 𝑈 ∈ ℂ)
220	219	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑈 ∈ ℂ)
221	218, 220	pncan3d 10395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))) = 𝑈)
222	217, 221	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → 𝑈 = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))
223	222	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁))))
224	223	sumeq1d 14431	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
225		nn0z 11400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ ℕ₀ → 𝑈 ∈ ℤ)
226		zmodcl 12690	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
227	225, 3, 226	syl2anr 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
228	170	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ₀ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
229	228	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ∀𝑚 ∈ ℕ₀ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
230		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (𝑁 · 𝑚) = (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))
231	230	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))
232	230, 231	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘)))
233	232	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
234	233	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
235		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))
236	235	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁))))
237	236	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
238		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → (0..^𝑘) = (0..^(𝑈 mod 𝑁)))
239	238	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
240	237, 239	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
241	234, 240	rspc2va 3323	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ₀ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
242	15, 227, 229, 241	syl21anc 1325	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
243	224, 242	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
244	214, 243	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
245		fzofi 12773	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(𝑈 mod 𝑁)) ∈ Fin
246	245	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (0..^(𝑈 mod 𝑁)) ∈ Fin)
247	34	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
248		elfzoelz 12470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
249	248	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
250	30, 31, 32, 33, 247, 249	dchrzrhcl 24970	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
251	246, 250	fsumcl 14464	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
252	251	addid2d 10237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (0 + Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
253	39, 244, 252	3eqtrd 2660	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
254	253	fveq2d 6195	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
255		zmodfzo 12693	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
256	225, 3, 255	syl2anr 495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
257		dchrisum.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
258	257	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
259		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → (0..^𝑢) = (0..^(𝑈 mod 𝑁)))
260	259	sumeq1d 14431	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
261	260	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
262	261	breq1d 4663	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅))
263	262	rspcv 3305	. . 3 ⊢ ((𝑈 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁) → (∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅))
264	256, 258, 263	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
265	254, 264	eqbrtrd 4675	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ ℕ₀) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 ∪ cun 3572 ∩ cin 3573 ∅c0 3915 ifcif 4086 class class class wbr 4653 ↦ cmpt 4729 ↾ cres 5116 –1-1-onto→wf1o 5887 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 Fincfn 7955 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 · cmul 9941 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 / cdiv 10684 ℕcn 11020 ℕ₀cn0 11292 ℤcz 11377 ℤ_≥cuz 11687 ℝ⁺crp 11832 ...cfz 12326 ..^cfzo 12465 ⌊cfl 12591 mod cmo 12668 abscabs 13974 ⇝_𝑟 crli 14216 Σcsu 14416 ∥ cdvds 14983 ϕcphi 15469 Basecbs 15857 0_gc0g 16100 ℤRHomczrh 19848 ℤ/nℤczn 19851 DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-tpos 7352 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-ec 7744 df-qs 7748 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-phi 15471 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-0g 16102 df-imas 16168 df-qus 16169 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-mhm 17335 df-grp 17425 df-minusg 17426 df-sbg 17427 df-mulg 17541 df-subg 17591 df-nsg 17592 df-eqg 17593 df-ghm 17658 df-cmn 18195 df-abl 18196 df-mgp 18490 df-ur 18502 df-ring 18549 df-cring 18550 df-oppr 18623 df-dvdsr 18641 df-unit 18642 df-invr 18672 df-rnghom 18715 df-subrg 18778 df-lmod 18865 df-lss 18933 df-lsp 18972 df-sra 19172 df-rgmod 19173 df-lidl 19174 df-rsp 19175 df-2idl 19232 df-cnfld 19747 df-zring 19819 df-zrh 19852 df-zn 19855 df-dchr 24958

This theorem is referenced by: dchrisumlem2 25179

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