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Theorem 4sqlem17 15665
Description: Lemma for 4sq 15668. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2 |- ( ph -> N e. NN )
4sq.3 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4 |- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7 |- M = inf ( T , RR , < )
4sq.m |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4sq.a |- ( ph -> A e. ZZ )
4sq.b |- ( ph -> B e. ZZ )
4sq.c |- ( ph -> C e. ZZ )
4sq.d |- ( ph -> D e. ZZ )
4sq.e |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.f |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.g |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.h |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.r |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
4sq.p |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem17 |- -. ph
Distinct variable groups:   w, n, x, y, z   B, n   n, E   n, G   n, H   A, n   C, n   D, n   n, F   i, n, M   n, N   P, i, n   ph, n   S, i, n   R, i
Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w, i)   A( x, y, z, w, i)   B( x, y, z, w, i)   C( x, y, z, w, i)   D( x, y, z, w, i)   P( x, y, z, w)   R( x, y, z, w, n)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, i, n)   E( x, y, z, w, i)   F( x, y, z, w, i)   G( x, y, z, w, i)   H( x, y, z, w, i)   M( x, y, z, w)   N( x, y, z, w, i)
Proof of Theorem 4sqlem17
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . . . . . 7 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
2 4sq.2 . . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN )
3 4sq.3 . . . . . . 7 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4 4sq.4 . . . . . . 7 |- ( ph -> P e. Prime )
5 4sq.5 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
6 4sq.6 . . . . . . 7 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
7 4sq.7 . . . . . . 7 |- M = inf ( T , RR , < )
8 4sq.m . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
9 4sq.a . . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ZZ )
10 4sq.b . . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ZZ )
11 4sq.c . . . . . . 7 |- ( ph -> C e. ZZ )
12 4sq.d . . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ZZ )
13 4sq.e . . . . . . 7 |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
14 4sq.f . . . . . . 7 |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
15 4sq.g . . . . . . 7 |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
16 4sq.h . . . . . . 7 |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
17 4sq.r . . . . . . 7 |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
18 4sq.p . . . . . . 7 |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 184sqlem16 15664 . . . . . 6 |- ( ph -> ( R <_ M /\ ( ( R = 0 \/ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) ) )
2019simpld 475 . . . . 5 |- ( ph -> R <_ M )
21 ssrab2 3687 . . . . . . . . 9 |- { i e. NN | ( i x. P ) e. S } C_ NN
226, 21eqsstri 3635 . . . . . . . 8 |- T C_ NN
23 nnuz 11723 . . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2422, 23sseqtri 3637 . . . . . . 7 |- T C_ ( ZZ>= ` 1 )
251, 2, 3, 4, 5, 6, 74sqlem13 15661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( T =/= (/) /\ M < P ) )
2625simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> T =/= (/) )
27 infssuzcl 11772 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ T =/= (/) ) -> inf ( T , RR , < ) e. T )
2824, 26, 27sylancr 695 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> inf ( T , RR , < ) e. T )
297, 28syl5eqel 2705 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. T )
3022, 29sseldi 3601 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN )
3130nnred 11035 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
3225simprd 479 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M < P )
3331, 32ltned 10173 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M =/= P )
3430nncnd 11036 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. CC )
3534sqvald 13005 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
3635breq1d 4663 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) <-> ( M x. M ) || ( M x. P ) ) )
3730nnzd 11481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ZZ )
38 prmz 15389 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
394, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. ZZ )
4030nnne0d 11065 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M =/= 0 )
41 dvdscmulr 15010 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ P e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) ) -> ( ( M x. M ) || ( M x. P ) <-> M || P ) )
4237, 39, 37, 40, 41syl112anc 1330 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( M x. M ) || ( M x. P ) <-> M || P ) )
43 dvdsprm 15415 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. Prime ) -> ( M || P <-> M = P ) )
448, 4, 43syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( M || P <-> M = P ) )
4536, 42, 443bitrd 294 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) <-> M = P ) )
4645necon3bbid 2831 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) <-> M =/= P ) )
4733, 46mpbird 247 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) )
481, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 184sqlem14 15662 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R e. NN0 )
49 elnn0 11294 . . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. NN0 <-> ( R e. NN \/ R = 0 ) )
5048, 49sylib 208 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( R e. NN \/ R = 0 ) )
5150ord 392 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. R e. NN -> R = 0 ) )
52 orc 400 . . . . . . . . . . 11 |- ( R = 0 -> ( R = 0 \/ R = M ) )
5319simprd 479 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( R = 0 \/ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) )
5452, 53syl5 34 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R = 0 -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) )
5551, 54syld 47 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -. R e. NN -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) )
5647, 55mt3d 140 . . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. NN )
57 gzreim 15643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + ( _i x. B ) ) e. ZZ[_i] )
589, 10, 57syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A + ( _i x. B ) ) e. ZZ[_i] )
59 gzcn 15636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A + ( _i x. B ) ) e. ZZ[_i] -> ( A + ( _i x. B ) ) e. CC )
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A + ( _i x. B ) ) e. CC )
6160absvalsq2d 14182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) ) )
629zred 11482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A e. RR )
6310zred 11482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> B e. RR )
6462, 63crred 13971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Re ` ( A + ( _i x. B ) ) ) = A )
6564oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( Re ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
6662, 63crimd 13972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Im ` ( A + ( _i x. B ) ) ) = B )
6766oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( Im ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
6865, 67oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( Re ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
6961, 68eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
70 gzreim 15643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( C + ( _i x. D ) ) e. ZZ[_i] )
7111, 12, 70syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( C + ( _i x. D ) ) e. ZZ[_i] )
72 gzcn 15636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C + ( _i x. D ) ) e. ZZ[_i] -> ( C + ( _i x. D ) ) e. CC )
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( C + ( _i x. D ) ) e. CC )
7473absvalsq2d 14182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) )
7511zred 11482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> C e. RR )
7612zred 11482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> D e. RR )
7775, 76crred 13971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Re ` ( C + ( _i x. D ) ) ) = C )
7877oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( Re ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) = ( C ^ 2 ) )
7975, 76crimd 13972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Im ` ( C + ( _i x. D ) ) ) = D )
8079oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( Im ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) = ( D ^ 2 ) )
8178, 80oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( Re ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) )
8274, 81eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) = ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) )
8369, 82oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
8418, 83eqtr4d 2659 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) )
8584oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( M x. P ) / M ) = ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) )
86 prmnn 15388 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
874, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. NN )
8887nncnd 11036 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. CC )
8988, 34, 40divcan3d 10806 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( M x. P ) / M ) = P )
9085, 89eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) = P )
919, 30, 134sqlem5 15646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( E e. ZZ /\ ( ( A - E ) / M ) e. ZZ ) )
9291simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E e. ZZ )
9310, 30, 144sqlem5 15646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( F e. ZZ /\ ( ( B - F ) / M ) e. ZZ ) )
9493simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F e. ZZ )
95 gzreim 15643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( E e. ZZ /\ F e. ZZ ) -> ( E + ( _i x. F ) ) e. ZZ[_i] )
9692, 94, 95syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( E + ( _i x. F ) ) e. ZZ[_i] )
97 gzcn 15636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( E + ( _i x. F ) ) e. ZZ[_i] -> ( E + ( _i x. F ) ) e. CC )
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( E + ( _i x. F ) ) e. CC )
9998absvalsq2d 14182 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) ) )
10092zred 11482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E e. RR )
10194zred 11482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F e. RR )
102100, 101crred 13971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( Re ` ( E + ( _i x. F ) ) ) = E )
103102oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( Re ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) = ( E ^ 2 ) )
104100, 101crimd 13972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( Im ` ( E + ( _i x. F ) ) ) = F )
105104oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( Im ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) = ( F ^ 2 ) )
106103, 105oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( Re ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) )
10799, 106eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) = ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) )
10811, 30, 154sqlem5 15646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( G e. ZZ /\ ( ( C - G ) / M ) e. ZZ ) )
109108simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> G e. ZZ )
11012, 30, 164sqlem5 15646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( H e. ZZ /\ ( ( D - H ) / M ) e. ZZ ) )
111110simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> H e. ZZ )
112 gzreim 15643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G e. ZZ /\ H e. ZZ ) -> ( G + ( _i x. H ) ) e. ZZ[_i] )
113109, 111, 112syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( G + ( _i x. H ) ) e. ZZ[_i] )
114 gzcn 15636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G + ( _i x. H ) ) e. ZZ[_i] -> ( G + ( _i x. H ) ) e. CC )
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( G + ( _i x. H ) ) e. CC )
116115absvalsq2d 14182 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) )
117109zred 11482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> G e. RR )
118111zred 11482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> H e. RR )
119117, 118crred 13971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( Re ` ( G + ( _i x. H ) ) ) = G )
120119oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( Re ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) = ( G ^ 2 ) )
121117, 118crimd 13972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( Im ` ( G + ( _i x. H ) ) ) = H )
122121oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( Im ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) = ( H ^ 2 ) )
123120, 122oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( Re ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) )
124116, 123eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) = ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) )
125107, 124oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
126125oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) )
127126, 17syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) = R )
12890, 127oveq12d 6668 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) x. ( ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) ) = ( P x. R ) )
12956nncnd 11036 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. CC )
13088, 129mulcomd 10061 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P x. R ) = ( R x. P ) )
131128, 130eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) x. ( ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) ) = ( R x. P ) )
132 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) )
133 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) )
1349zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. CC )
135 ax-icn 9995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _i e. CC
13610zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B e. CC )
137 mulcl 10020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. B ) e. CC )
138135, 136, 137sylancr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( _i x. B ) e. CC )
13992zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> E e. CC )
14094zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F e. CC )
141 mulcl 10020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i e. CC /\ F e. CC ) -> ( _i x. F ) e. CC )
142135, 140, 141sylancr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( _i x. F ) e. CC )
143134, 138, 139, 142addsub4d 10439 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( A + ( _i x. B ) ) - ( E + ( _i x. F ) ) ) = ( ( A - E ) + ( ( _i x. B ) - ( _i x. F ) ) ) )
144135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> _i e. CC )
145144, 136, 140subdid 10486 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( _i x. ( B - F ) ) = ( ( _i x. B ) - ( _i x. F ) ) )
146145oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( A - E ) + ( _i x. ( B - F ) ) ) = ( ( A - E ) + ( ( _i x. B ) - ( _i x. F ) ) ) )
147143, 146eqtr4d 2659 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A + ( _i x. B ) ) - ( E + ( _i x. F ) ) ) = ( ( A - E ) + ( _i x. ( B - F ) ) ) )
148147oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( A + ( _i x. B ) ) - ( E + ( _i x. F ) ) ) / M ) = ( ( ( A - E ) + ( _i x. ( B - F ) ) ) / M ) )
149134, 139subcld 10392 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A - E ) e. CC )
150136, 140subcld 10392 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B - F ) e. CC )
151 mulcl 10020 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( _i e. CC /\ ( B - F ) e. CC ) -> ( _i x. ( B - F ) ) e. CC )
152135, 150, 151sylancr 695 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( _i x. ( B - F ) ) e. CC )
153149, 152, 34, 40divdird 10839 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( A - E ) + ( _i x. ( B - F ) ) ) / M ) = ( ( ( A - E ) / M ) + ( ( _i x. ( B - F ) ) / M ) ) )
154144, 150, 34, 40divassd 10836 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( _i x. ( B - F ) ) / M ) = ( _i x. ( ( B - F ) / M ) ) )
155154oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( A - E ) / M ) + ( ( _i x. ( B - F ) ) / M ) ) = ( ( ( A - E ) / M ) + ( _i x. ( ( B - F ) / M ) ) ) )
156148, 153, 1553eqtrd 2660 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( A + ( _i x. B ) ) - ( E + ( _i x. F ) ) ) / M ) = ( ( ( A - E ) / M ) + ( _i x. ( ( B - F ) / M ) ) ) )
15791simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A - E ) / M ) e. ZZ )
15893simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( B - F ) / M ) e. ZZ )
159 gzreim 15643 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A - E ) / M ) e. ZZ /\ ( ( B - F ) / M ) e. ZZ ) -> ( ( ( A - E ) / M ) + ( _i x. ( ( B - F ) / M ) ) ) e. ZZ[_i] )
160157, 158, 159syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( A - E ) / M ) + ( _i x. ( ( B - F ) / M ) ) ) e. ZZ[_i] )
161156, 160eqeltrd 2701 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( A + ( _i x. B ) ) - ( E + ( _i x. F ) ) ) / M ) e. ZZ[_i] )
16211zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. CC )
16312zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> D e. CC )
164 mulcl 10020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i e. CC /\ D e. CC ) -> ( _i x. D ) e. CC )
165135, 163, 164sylancr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( _i x. D ) e. CC )
166109zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G e. CC )
167111zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> H e. CC )
168 mulcl 10020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i e. CC /\ H e. CC ) -> ( _i x. H ) e. CC )
169135, 167, 168sylancr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( _i x. H ) e. CC )
170162, 165, 166, 169addsub4d 10439 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( C + ( _i x. D ) ) - ( G + ( _i x. H ) ) ) = ( ( C - G ) + ( ( _i x. D ) - ( _i x. H ) ) ) )
171144, 163, 167subdid 10486 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( _i x. ( D - H ) ) = ( ( _i x. D ) - ( _i x. H ) ) )
172171oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( C - G ) + ( _i x. ( D - H ) ) ) = ( ( C - G ) + ( ( _i x. D ) - ( _i x. H ) ) ) )
173170, 172eqtr4d 2659 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( C + ( _i x. D ) ) - ( G + ( _i x. H ) ) ) = ( ( C - G ) + ( _i x. ( D - H ) ) ) )
174173oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( C + ( _i x. D ) ) - ( G + ( _i x. H ) ) ) / M ) = ( ( ( C - G ) + ( _i x. ( D - H ) ) ) / M ) )
175162, 166subcld 10392 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C - G ) e. CC )
176163, 167subcld 10392 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( D - H ) e. CC )
177 mulcl 10020 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( _i e. CC /\ ( D - H ) e. CC ) -> ( _i x. ( D - H ) ) e. CC )
178135, 176, 177sylancr 695 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( _i x. ( D - H ) ) e. CC )
179175, 178, 34, 40divdird 10839 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( C - G ) + ( _i x. ( D - H ) ) ) / M ) = ( ( ( C - G ) / M ) + ( ( _i x. ( D - H ) ) / M ) ) )
180144, 176, 34, 40divassd 10836 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( _i x. ( D - H ) ) / M ) = ( _i x. ( ( D - H ) / M ) ) )
181180oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( C - G ) / M ) + ( ( _i x. ( D - H ) ) / M ) ) = ( ( ( C - G ) / M ) + ( _i x. ( ( D - H ) / M ) ) ) )
182174, 179, 1813eqtrd 2660 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( C + ( _i x. D ) ) - ( G + ( _i x. H ) ) ) / M ) = ( ( ( C - G ) / M ) + ( _i x. ( ( D - H ) / M ) ) ) )
183108simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( C - G ) / M ) e. ZZ )
184110simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( D - H ) / M ) e. ZZ )
185 gzreim 15643 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C - G ) / M ) e. ZZ /\ ( ( D - H ) / M ) e. ZZ ) -> ( ( ( C - G ) / M ) + ( _i x. ( ( D - H ) / M ) ) ) e. ZZ[_i] )
186183, 184, 185syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( C - G ) / M ) + ( _i x. ( ( D - H ) / M ) ) ) e. ZZ[_i] )
187182, 186eqeltrd 2701 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( C + ( _i x. D ) ) - ( G + ( _i x. H ) ) ) / M ) e. ZZ[_i] )
18887nnnn0d 11351 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. NN0 )
18990, 188eqeltrd 2701 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) e. NN0 )
1901, 58, 71, 96, 113, 132, 133, 30, 161, 187, 189mul4sqlem 15657 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) x. ( ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) ) e. S )
191131, 190eqeltrrd 2702 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R x. P ) e. S )
192 oveq1 6657 . . . . . . . . . 10 |- ( i = R -> ( i x. P ) = ( R x. P ) )
193192eleq1d 2686 . . . . . . . . 9 |- ( i = R -> ( ( i x. P ) e. S <-> ( R x. P ) e. S ) )
194193, 6elrab2 3366 . . . . . . . 8 |- ( R e. T <-> ( R e. NN /\ ( R x. P ) e. S ) )
19556, 191, 194sylanbrc 698 . . . . . . 7 |- ( ph -> R e. T )
196 infssuzle 11771 . . . . . . 7 |- ( ( T C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ R e. T ) -> inf ( T , RR , < ) <_ R )
19724, 195, 196sylancr 695 . . . . . 6 |- ( ph -> inf ( T , RR , < ) <_ R )
1987, 197syl5eqbr 4688 . . . . 5 |- ( ph -> M <_ R )
19956nnred 11035 . . . . . 6 |- ( ph -> R e. RR )
200199, 31letri3d 10179 . . . . 5 |- ( ph -> ( R = M <-> ( R <_ M /\ M <_ R ) ) )
20120, 198, 200mpbir2and 957 . . . 4 |- ( ph -> R = M )
202201olcd 408 . . 3 |- ( ph -> ( R = 0 \/ R = M ) )
203202, 53mpd 15 . 2 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) )
204203, 47pm2.65i 185 1 |- -. ph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   mod cmo 12668   ^cexp 12860   Recre 13837   Imcim 13838   abscabs 13974   || cdvds 14983   Primecprime 15385   ZZ[_i]cgz 15633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-gz 15634
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