Theorem bfp 33623

Description: Banach fixed point theorem, also known as contraction mapping theorem. A contraction on a complete metric space has a unique fixed point. We show existence in the lemmas, and uniqueness here - if F has two fixed points, then the distance between them is less than K times itself, a contradiction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bfp.2	|- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )
bfp.3	|- ( ph -> X =/= (/) )
bfp.4	|- ( ph -> K e. RR+ )
bfp.5	|- ( ph -> K < 1 )
bfp.6	|- ( ph -> F : X --> X )
bfp.7	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( x D y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bfp	|- ( ph -> E! z e. X ( F ` z ) = z )

Distinct variable groups:   x, y, z, D   ph, x, y   x, F, y, z   x, K, y   x, X, y, z

Allowed substitution hints:   ph( z)   K( z)

Proof of Theorem bfp

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bfp.3	. . . 4 |- ( ph -> X =/= (/) )
2		n0 3931	. . . 4 |- ( X =/= (/) <-> E. w w e. X )
3	1, 2	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> E. w w e. X )
4		bfp.2	. . . . 5 |- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )
5	4	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> D e. ( CMet ` X ) )
6	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> X =/= (/) )
7		bfp.4	. . . . 5 |- ( ph -> K e. RR+ )
8	7	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> K e. RR+ )
9		bfp.5	. . . . 5 |- ( ph -> K < 1 )
10	9	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> K < 1 )
11		bfp.6	. . . . 5 |- ( ph -> F : X --> X )
12	11	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> F : X --> X )
13		bfp.7	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( x D y ) ) )
14	13	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( x D y ) ) )
15		eqid 2622	. . . 4 |- ( MetOpen ` D ) = ( MetOpen ` D )
16		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> w e. X )
17		eqid 2622	. . . 4 |- seq 1 ( ( F o. 1st ) , ( NN X. { w } ) ) = seq 1 ( ( F o. 1st ) , ( NN X. { w } ) )
18	5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17	bfplem2 33622	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> E. z e. X ( F ` z ) = z )
19	3, 18	exlimddv 1863	. 2 |- ( ph -> E. z e. X ( F ` z ) = z )
20		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) -> ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) = ( x D y ) )
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) = ( x D y ) )
22	13	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( x D y ) ) )
23	21, 22	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> ( x D y ) <_ ( K x. ( x D y ) ) )
24		cmetmet 23084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( Met ` X ) )
25	4, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
26	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
27		simplrl 800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> x e. X )
28		simplrr 801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> y e. X )
29		metcl 22137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x D y ) e. RR )
30	26, 27, 28, 29	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> ( x D y ) e. RR )
31	7	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> K e. RR )
32	31	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> K e. RR )
33	32, 30	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> ( K x. ( x D y ) ) e. RR )
34	30, 33	suble0d 10618	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( ( x D y ) - ( K x. ( x D y ) ) ) <_ 0 <-> ( x D y ) <_ ( K x. ( x D y ) ) ) )
35	23, 34	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( x D y ) - ( K x. ( x D y ) ) ) <_ 0 )
36		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> 1 e. CC )
37	32	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> K e. CC )
38	30	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> ( x D y ) e. CC )
39	36, 37, 38	subdird 10487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( 1 - K ) x. ( x D y ) ) = ( ( 1 x. ( x D y ) ) - ( K x. ( x D y ) ) ) )
40	38	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> ( 1 x. ( x D y ) ) = ( x D y ) )
41	40	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( 1 x. ( x D y ) ) - ( K x. ( x D y ) ) ) = ( ( x D y ) - ( K x. ( x D y ) ) ) )
42	39, 41	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( 1 - K ) x. ( x D y ) ) = ( ( x D y ) - ( K x. ( x D y ) ) ) )
43		1re 10039	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR
44		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. RR /\ K e. RR ) -> ( 1 - K ) e. RR )
45	43, 31, 44	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 - K ) e. RR )
46	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> ( 1 - K ) e. RR )
47	46	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> ( 1 - K ) e. CC )
48	47	mul01d 10235	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( 1 - K ) x. 0 ) = 0 )
49	35, 42, 48	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( 1 - K ) x. ( x D y ) ) <_ ( ( 1 - K ) x. 0 ) )
50		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> 0 e. RR )
51		posdif 10521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( K < 1 <-> 0 < ( 1 - K ) ) )
52	31, 43, 51	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( K < 1 <-> 0 < ( 1 - K ) ) )
53	9, 52	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( 1 - K ) )
54	53	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> 0 < ( 1 - K ) )
55		lemul2 10876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x D y ) e. RR /\ 0 e. RR /\ ( ( 1 - K ) e. RR /\ 0 < ( 1 - K ) ) ) -> ( ( x D y ) <_ 0 <-> ( ( 1 - K ) x. ( x D y ) ) <_ ( ( 1 - K ) x. 0 ) ) )
56	30, 50, 46, 54, 55	syl112anc 1330	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( x D y ) <_ 0 <-> ( ( 1 - K ) x. ( x D y ) ) <_ ( ( 1 - K ) x. 0 ) ) )
57	49, 56	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> ( x D y ) <_ 0 )
58		metge0 22150	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> 0 <_ ( x D y ) )
59	26, 27, 28, 58	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> 0 <_ ( x D y ) )
60		0re 10040	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
61		letri3 10123	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x D y ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> ( ( x D y ) <_ 0 /\ 0 <_ ( x D y ) ) ) )
62	30, 60, 61	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> ( ( x D y ) <_ 0 /\ 0 <_ ( x D y ) ) ) )
63	57, 59, 62	mpbir2and 957	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> ( x D y ) = 0 )
64		meteq0 22144	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
65	26, 27, 28, 64	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
66	63, 65	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) ) -> x = y )
67	66	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) -> x = y ) )
68	67	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) -> x = y ) )
69		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
70		id 22	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> x = z )
71	69, 70	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) = x <-> ( F ` z ) = z ) )
72	71	anbi1d 741	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) <-> ( ( F ` z ) = z /\ ( F ` y ) = y ) ) )
73		equequ1 1952	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x = y <-> z = y ) )
74	72, 73	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) -> x = y ) <-> ( ( ( F ` z ) = z /\ ( F ` y ) = y ) -> z = y ) ) )
75	74	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( x = z -> ( A. y e. X ( ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) -> x = y ) <-> A. y e. X ( ( ( F ` z ) = z /\ ( F ` y ) = y ) -> z = y ) ) )
76	75	cbvralv 3171	. . 3 |- ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( F ` x ) = x /\ ( F ` y ) = y ) -> x = y ) <-> A. z e. X A. y e. X ( ( ( F ` z ) = z /\ ( F ` y ) = y ) -> z = y ) )
77	68, 76	sylib 208	. 2 |- ( ph -> A. z e. X A. y e. X ( ( ( F ` z ) = z /\ ( F ` y ) = y ) -> z = y ) )
78		fveq2 6191	. . . 4 |- ( z = y -> ( F ` z ) = ( F ` y ) )
79		id 22	. . . 4 |- ( z = y -> z = y )
80	78, 79	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( z = y -> ( ( F ` z ) = z <-> ( F ` y ) = y ) )
81	80	reu4 3400	. 2 |- ( E! z e. X ( F ` z ) = z <-> ( E. z e. X ( F ` z ) = z /\ A. z e. X A. y e. X ( ( ( F ` z ) = z /\ ( F ` y ) = y ) -> z = y ) ) )
82	19, 77, 81	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> E! z e. X ( F ` z ) = z )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   RR+crp 11832   seqcseq 12801   Metcme 19732   MetOpencmopn 19736   CMetcms 23052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-lm 21033  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055

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