Theorem bfplem2 33622

Description: Lemma for bfp 33623. Using the point found in bfplem1 33621, we show that this convergent point is a fixed point of F. Since for any positive x, the sequence G is in B ( x / 2 , P ) for all k e. ( ZZ>= ` j ) (where P = ( ( ~~> t ` J ) ` G )), we have D ( G ( j + 1 ) , F ( P ) ) <_ D ( G ( j ) , P ) < x / 2 and D ( G ( j + 1 ) , P ) < x / 2, so F ( P ) is in every neighborhood of P and P is a fixed point of F. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bfp.2	|- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )
bfp.3	|- ( ph -> X =/= (/) )
bfp.4	|- ( ph -> K e. RR+ )
bfp.5	|- ( ph -> K < 1 )
bfp.6	|- ( ph -> F : X --> X )
bfp.7	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( x D y ) ) )
bfp.8	|- J = ( MetOpen ` D )
bfp.9	|- ( ph -> A e. X )
bfp.10	|- G = seq 1 ( ( F o. 1st ) , ( NN X. { A } ) )

Assertion

Ref	Expression
bfplem2	|- ( ph -> E. z e. X ( F ` z ) = z )

Distinct variable groups:   x, y, z, D   x, G, y, z   x, J, y, z   ph, x, y   x, F, y, z   x, K, y   x, X, y, z

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( x, y, z)   K( z)

Proof of Theorem bfplem2

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bfp.2	. . . . 5 |- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )
2		cmetmet 23084	. . . . 5 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( Met ` X ) )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
4		metxmet 22139	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
5		bfp.8	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` D )
6	5	mopntopon 22244	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
7	3, 4, 6	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
8		bfp.3	. . . 4 |- ( ph -> X =/= (/) )
9		bfp.4	. . . 4 |- ( ph -> K e. RR+ )
10		bfp.5	. . . 4 |- ( ph -> K < 1 )
11		bfp.6	. . . 4 |- ( ph -> F : X --> X )
12		bfp.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( x D y ) ) )
13		bfp.9	. . . 4 |- ( ph -> A e. X )
14		bfp.10	. . . 4 |- G = seq 1 ( ( F o. 1st ) , ( NN X. { A } ) )
15	1, 8, 9, 10, 11, 12, 5, 13, 14	bfplem1 33621	. . 3 |- ( ph -> G ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` J ) ` G ) )
16		lmcl 21101	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ G ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) -> ( ( ~~> t ` J ) ` G ) e. X )
17	7, 15, 16	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` J ) ` G ) e. X )
18	3	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> D e. ( Met ` X ) )
19	18, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> D e. ( *Met ` X ) )
20		nnuz 11723	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
21		1zzd 11408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 1 e. ZZ )
22		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
23	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> G ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` J ) ` G ) )
24		rphalfcl 11858	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( x / 2 ) e. RR+ )
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x / 2 ) e. RR+ )
26	5, 19, 20, 21, 22, 23, 25	lmmcvg 23059	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) ) )
27		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( G ` k ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) )
28	27	ralimi 2952	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) )
29		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> j e. ZZ )
31		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
32		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = j -> ( G ` k ) = ( G ` j ) )
33	32	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = j -> ( ( G ` k ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) = ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) )
34	33	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = j -> ( ( ( G ` k ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) <-> ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) ) )
35	34	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) -> ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) ) )
36	30, 31, 35	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) -> ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) ) )
37	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
38		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) )
39		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( j + 1 ) ) )
40	39	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( G ` k ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) = ( ( G ` ( j + 1 ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) )
41	40	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( ( G ` k ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) <-> ( ( G ` ( j + 1 ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) ) )
42	41	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) -> ( ( G ` ( j + 1 ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) ) )
43	37, 38, 42	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) -> ( ( G ` ( j + 1 ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) ) )
44		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
45	20, 14, 44, 13, 11	algrp1 15287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( G ` ( j + 1 ) ) = ( F ` ( G ` j ) ) )
46	45	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( G ` ( j + 1 ) ) = ( F ` ( G ` j ) ) )
47	46	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( G ` ( j + 1 ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) = ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) )
48	47	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( G ` ( j + 1 ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) <-> ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) ) )
49	43, 48	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) -> ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) ) )
50	36, 49	jcad 555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) -> ( ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) /\ ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
51	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> D e. ( Met ` X ) )
52	20, 14, 44, 13, 11	algrf 15286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> G : NN --> X )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> G : NN --> X )
54	53	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( G ` j ) e. X )
55	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( ~~> t ` J ) ` G ) e. X )
56		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( G ` j ) e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` G ) e. X ) -> ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) e. RR )
57	51, 54, 55, 56	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) e. RR )
58	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> F : X --> X )
59	58, 54	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( F ` ( G ` j ) ) e. X )
60		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( F ` ( G ` j ) ) e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` G ) e. X ) -> ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) e. RR )
61	51, 59, 55, 60	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) e. RR )
62		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
63	62	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> x e. RR )
64		lt2halves 11267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) e. RR /\ ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) /\ ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) + ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) < x ) )
65	57, 61, 63, 64	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) /\ ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) + ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) < x ) )
66	11, 17	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) e. X )
67		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` G ) e. X ) -> ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) e. RR )
68	3, 66, 17, 67	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) e. RR )
69	68	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) e. RR )
70	58, 55	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) e. X )
71		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( F ` ( G ` j ) ) e. X /\ ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) e. X ) -> ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) e. RR )
72	51, 59, 70, 71	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) e. RR )
73	72, 61	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) + ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) e. RR )
74	57, 61	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) + ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) e. RR )
75		mettri2 22146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( ( F ` ( G ` j ) ) e. X /\ ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` G ) e. X ) ) -> ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) <_ ( ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) + ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) )
76	51, 59, 70, 55, 75	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) <_ ( ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) + ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) )
77	9	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> K e. RR )
78	77	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> K e. RR )
79	78, 57	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( K x. ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) e. RR )
80	54, 55	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( G ` j ) e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` G ) e. X ) )
81	12	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( x D y ) ) )
82	81	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> A. x e. X A. y e. X ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( x D y ) ) )
83		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( G ` j ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( G ` j ) ) )
84	83	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = ( G ` j ) -> ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) = ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( F ` y ) ) )
85		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( G ` j ) -> ( x D y ) = ( ( G ` j ) D y ) )
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = ( G ` j ) -> ( K x. ( x D y ) ) = ( K x. ( ( G ` j ) D y ) ) )
87	84, 86	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( G ` j ) -> ( ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( x D y ) ) <-> ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( ( G ` j ) D y ) ) ) )
88		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( ( ~~> t ` J ) ` G ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) )
89	88	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( ( ~~> t ` J ) ` G ) -> ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( F ` y ) ) = ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) )
90		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( ( ~~> t ` J ) ` G ) -> ( ( G ` j ) D y ) = ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) )
91	90	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( ( ~~> t ` J ) ` G ) -> ( K x. ( ( G ` j ) D y ) ) = ( K x. ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) )
92	89, 91	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( ( ~~> t ` J ) ` G ) -> ( ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( ( G ` j ) D y ) ) <-> ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) <_ ( K x. ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) ) )
93	87, 92	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( G ` j ) e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` G ) e. X ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( x D y ) ) -> ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) <_ ( K x. ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) ) )
94	80, 82, 93	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) <_ ( K x. ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) )
95		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> 1 e. RR )
96		metge0 22150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( G ` j ) e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` G ) e. X ) -> 0 <_ ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) )
97	51, 54, 55, 96	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> 0 <_ ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) )
98		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. RR
99		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( K < 1 -> K <_ 1 ) )
100	77, 98, 99	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( K < 1 -> K <_ 1 ) )
101	10, 100	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> K <_ 1 )
102	101	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> K <_ 1 )
103	78, 95, 57, 97, 102	lemul1ad 10963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( K x. ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) <_ ( 1 x. ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) )
104	57	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) e. CC )
105	104	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( 1 x. ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) = ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) )
106	103, 105	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( K x. ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) <_ ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) )
107	72, 79, 57, 94, 106	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) <_ ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) )
108	72, 57, 61, 107	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) + ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) <_ ( ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) + ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) )
109	69, 73, 74, 76, 108	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) <_ ( ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) + ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) )
110		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) e. RR /\ ( ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) + ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) <_ ( ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) + ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) /\ ( ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) + ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) < x ) -> ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < x ) )
111	69, 74, 63, 110	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) <_ ( ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) + ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) /\ ( ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) + ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) < x ) -> ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < x ) )
112	109, 111	mpand 711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( ( G ` j ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) + ( ( F ` ( G ` j ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) < x -> ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < x ) )
113	50, 65, 112	3syld 60	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) -> ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < x ) )
114	28, 113	syl5 34	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < x ) )
115	114	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < x ) )
116	26, 115	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < x )
117		ltle 10126	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < x -> ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) <_ x ) )
118	68, 62, 117	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) < x -> ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) <_ x ) )
119	116, 118	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) <_ x )
120	62	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
121	120	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
122	121	addid2d 10237	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 0 + x ) = x )
123	119, 122	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) <_ ( 0 + x ) )
124	123	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. RR+ ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) <_ ( 0 + x ) )
125		0re 10040	. . . . . 6 |- 0 e. RR
126		alrple 12037	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) <_ 0 <-> A. x e. RR+ ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) <_ ( 0 + x ) ) )
127	68, 125, 126	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) <_ 0 <-> A. x e. RR+ ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) <_ ( 0 + x ) ) )
128	124, 127	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) <_ 0 )
129		metge0 22150	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` G ) e. X ) -> 0 <_ ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) )
130	3, 66, 17, 129	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) )
131		letri3 10123	. . . . 5 |- ( ( ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) = 0 <-> ( ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) ) )
132	68, 125, 131	sylancl 694	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) = 0 <-> ( ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) ) ) )
133	128, 130, 132	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) = 0 )
134		meteq0 22144	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) e. X /\ ( ( ~~> t ` J ) ` G ) e. X ) -> ( ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) = 0 <-> ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) = ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) )
135	3, 66, 17, 134	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) D ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) = 0 <-> ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) = ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) )
136	133, 135	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) = ( ( ~~> t ` J ) ` G ) )
137		fveq2 6191	. . . 4 |- ( z = ( ( ~~> t ` J ) ` G ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) )
138		id 22	. . . 4 |- ( z = ( ( ~~> t ` J ) ` G ) -> z = ( ( ~~> t ` J ) ` G ) )
139	137, 138	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( z = ( ( ~~> t ` J ) ` G ) -> ( ( F ` z ) = z <-> ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) = ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) )
140	139	rspcev 3309	. 2 |- ( ( ( ( ~~> t ` J ) ` G ) e. X /\ ( F ` ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) = ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) -> E. z e. X ( F ` z ) = z )
141	17, 136, 140	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. z e. X ( F ` z ) = z )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   seqcseq 12801   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   MetOpencmopn 19736  TopOnctopon 20715   ~~> tclm 21030   CMetcms 23052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-lm 21033  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055

This theorem is referenced by:  bfp  33623