Theorem caragenunicl 40738

Description: The Caratheodory's construction is closed under countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenunicl.o	|- ( ph -> O e. OutMeas )
caragenunicl.s	|- S = (CaraGen ` O )
caragenunicl.y	|- ( ph -> X C_ S )
caragenunicl.ctb	|- ( ph -> X ~<_ om )

Assertion

Ref	Expression
caragenunicl	|- ( ph -> U. X e. S )

Proof of Theorem caragenunicl

Dummy variables n f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4444	. . . . 5 |- ( X = (/) -> U. X = U. (/) )
2		uni0 4465	. . . . 5 |- U. (/) = (/)
3	1, 2	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( X = (/) -> U. X = (/) )
4	3	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> U. X = (/) )
5		caragenunicl.o	. . . . 5 |- ( ph -> O e. OutMeas )
6		caragenunicl.s	. . . . 5 |- S = (CaraGen ` O )
7	5, 6	caragen0 40720	. . . 4 |- ( ph -> (/) e. S )
8	7	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> (/) e. S )
9	4, 8	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> U. X e. S )
10		simpl 473	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ph )
11		neqne 2802	. . . 4 |- ( -. X = (/) -> X =/= (/) )
12	11	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> X =/= (/) )
13		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> X =/= (/) )
14		caragenunicl.ctb	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X ~<_ om )
15		reldom 7961	. . . . . . . . . 10 |- Rel ~<_
16		brrelex 5156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Rel ~<_ /\ X ~<_ om ) -> X e. _V )
17	15, 16	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( X ~<_ om -> X e. _V )
18	14, 17	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. _V )
19	18	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> X e. _V )
20		0sdomg 8089	. . . . . . 7 |- ( X e. _V -> ( (/) ~< X <-> X =/= (/) ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( (/) ~< X <-> X =/= (/) ) )
22	13, 21	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> (/) ~< X )
23		nnenom 12779	. . . . . . . . 9 |- NN ~~ om
24	23	ensymi 8006	. . . . . . . 8 |- om ~~ NN
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> om ~~ NN )
26		domentr 8015	. . . . . . 7 |- ( ( X ~<_ om /\ om ~~ NN ) -> X ~<_ NN )
27	14, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> X ~<_ NN )
28	27	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> X ~<_ NN )
29		fodomr 8111	. . . . 5 |- ( ( (/) ~< X /\ X ~<_ NN ) -> E. f f : NN -onto-> X )
30	22, 28, 29	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> E. f f : NN -onto-> X )
31		founiiun 39360	. . . . . . . . 9 |- ( f : NN -onto-> X -> U. X = U_ n e. NN ( f ` n ) )
32	31	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f : NN -onto-> X ) -> U. X = U_ n e. NN ( f ` n ) )
33	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f : NN -onto-> X ) -> O e. OutMeas )
34		1zzd 11408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f : NN -onto-> X ) -> 1 e. ZZ )
35		nnuz 11723	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
36		fof 6115	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : NN -onto-> X -> f : NN --> X )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f : NN -onto-> X ) -> f : NN --> X )
38		caragenunicl.y	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X C_ S )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f : NN -onto-> X ) -> X C_ S )
40	37, 39	fssd 6057	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f : NN -onto-> X ) -> f : NN --> S )
41	33, 6, 34, 35, 40	carageniuncl 40737	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f : NN -onto-> X ) -> U_ n e. NN ( f ` n ) e. S )
42	32, 41	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f : NN -onto-> X ) -> U. X e. S )
43	42	ex 450	. . . . . 6 |- ( ph -> ( f : NN -onto-> X -> U. X e. S ) )
44	43	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( f : NN -onto-> X -> U. X e. S ) )
45	44	exlimdv 1861	. . . 4 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( E. f f : NN -onto-> X -> U. X e. S ) )
46	30, 45	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> U. X e. S )
47	10, 12, 46	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> U. X e. S )
48	9, 47	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> U. X e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   Rel wrel 5119   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   1c1 9937   NNcn 11020  OutMeascome 40703  CaraGenccaragen 40705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580  df-ome 40704  df-caragen 40706

This theorem is referenced by:  caragensal  40739