Theorem carageniuncl 40737

Description: The Caratheodory's construction is closed under indexed countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carageniuncl.o	|- ( ph -> O e. OutMeas )
carageniuncl.s	|- S = (CaraGen ` O )
carageniuncl.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
carageniuncl.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
carageniuncl.e	|- ( ph -> E : Z --> S )

Assertion

Ref	Expression
carageniuncl	|- ( ph -> U_ n e. Z ( E ` n ) e. S )

Distinct variable groups:   n, E   n, M   n, O   n, Z   ph, n

Allowed substitution hint:   S( n)

Proof of Theorem carageniuncl

Dummy variables x a i m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carageniuncl.o	. 2 |- ( ph -> O e. OutMeas )
2		eqid 2622	. 2 |- U. dom O = U. dom O
3		carageniuncl.s	. 2 |- S = (CaraGen ` O )
4		carageniuncl.e	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E : Z --> S )
5	4	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( E ` n ) e. S )
6		elssuni 4467	. . . . . . 7 |- ( ( E ` n ) e. S -> ( E ` n ) C_ U. S )
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( E ` n ) C_ U. S )
8	1, 3	caragenuni 40725	. . . . . . 7 |- ( ph -> U. S = U. dom O )
9	8	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> U. S = U. dom O )
10	7, 9	sseqtrd 3641	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( E ` n ) C_ U. dom O )
11	10	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. Z ( E ` n ) C_ U. dom O )
12		iunss 4561	. . . 4 |- ( U_ n e. Z ( E ` n ) C_ U. dom O <-> A. n e. Z ( E ` n ) C_ U. dom O )
13	11, 12	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> U_ n e. Z ( E ` n ) C_ U. dom O )
14		carageniuncl.z	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
15		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
16	14, 15	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- Z e. _V
17		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( E ` n ) e. _V
18	16, 17	iunex 7147	. . . . 5 |- U_ n e. Z ( E ` n ) e. _V
19	18	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> U_ n e. Z ( E ` n ) e. _V )
20		elpwg 4166	. . . 4 |- ( U_ n e. Z ( E ` n ) e. _V -> ( U_ n e. Z ( E ` n ) e. ~P U. dom O <-> U_ n e. Z ( E ` n ) C_ U. dom O ) )
21	19, 20	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( U_ n e. Z ( E ` n ) e. ~P U. dom O <-> U_ n e. Z ( E ` n ) C_ U. dom O ) )
22	13, 21	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> U_ n e. Z ( E ` n ) e. ~P U. dom O )
23		iccssxr 12256	. . . . 5 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
24	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> O e. OutMeas )
25		elpwi 4168	. . . . . . . 8 |- ( a e. ~P U. dom O -> a C_ U. dom O )
26		ssinss1 3841	. . . . . . . 8 |- ( a C_ U. dom O -> ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) C_ U. dom O )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . 7 |- ( a e. ~P U. dom O -> ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) C_ U. dom O )
28	27	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) C_ U. dom O )
29	24, 2, 28	omecl 40717	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( O ` ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
30	23, 29	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( O ` ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) e. RR* )
31	25	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> a C_ U. dom O )
32	31	ssdifssd 3748	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( a \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) C_ U. dom O )
33	24, 2, 32	omecl 40717	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( O ` ( a \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
34	23, 33	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( O ` ( a \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) e. RR* )
35	30, 34	xaddcld 12131	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( ( O ` ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( a \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
36	24, 2, 31	omecl 40717	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( O ` a ) e. ( 0 [,] +oo ) )
37	23, 36	sseldi 3601	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( O ` a ) e. RR* )
38		pnfge 11964	. . . . . . 7 |- ( ( ( O ` ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( a \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) e. RR* -> ( ( O ` ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( a \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ +oo )
39	35, 38	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( ( O ` ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( a \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ +oo )
40	39	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ ( O ` a ) = +oo ) -> ( ( O ` ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( a \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ +oo )
41		id 22	. . . . . . 7 |- ( ( O ` a ) = +oo -> ( O ` a ) = +oo )
42	41	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( O ` a ) = +oo -> +oo = ( O ` a ) )
43	42	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ ( O ` a ) = +oo ) -> +oo = ( O ` a ) )
44	40, 43	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ ( O ` a ) = +oo ) -> ( ( O ` ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( a \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` a ) )
45		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ -. ( O ` a ) = +oo ) -> ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) )
46		rge0ssre 12280	. . . . . 6 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
47		0xr 10086	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
48	47	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ -. ( O ` a ) = +oo ) -> 0 e. RR* )
49		pnfxr 10092	. . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ -. ( O ` a ) = +oo ) -> +oo e. RR* )
51	45, 36	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ -. ( O ` a ) = +oo ) -> ( O ` a ) e. ( 0 [,] +oo ) )
52	41	necon3bi 2820	. . . . . . . 8 |- ( -. ( O ` a ) = +oo -> ( O ` a ) =/= +oo )
53	52	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ -. ( O ` a ) = +oo ) -> ( O ` a ) =/= +oo )
54	48, 50, 51, 53	eliccelicod 39757	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ -. ( O ` a ) = +oo ) -> ( O ` a ) e. ( 0 [,) +oo ) )
55	46, 54	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ -. ( O ` a ) = +oo ) -> ( O ` a ) e. RR )
56	24	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ ( O ` a ) e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> O e. OutMeas )
57	31	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ ( O ` a ) e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> a C_ U. dom O )
58		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ ( O ` a ) e. RR ) -> ( O ` a ) e. RR )
59	58	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ ( O ` a ) e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( O ` a ) e. RR )
60		carageniuncl.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
61	60	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ ( O ` a ) e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> M e. ZZ )
62	4	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ ( O ` a ) e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> E : Z --> S )
63		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ ( O ` a ) e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
64		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( n e. Z |-> U_ i e. ( M ... n ) ( E ` i ) ) = ( n e. Z |-> U_ i e. ( M ... n ) ( E ` i ) )
65		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( E ` m ) = ( E ` n ) )
66		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( M..^ m ) = ( M..^ n ) )
67	66	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> U_ i e. ( M..^ m ) ( E ` i ) = U_ i e. ( M..^ n ) ( E ` i ) )
68	65, 67	difeq12d 3729	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( ( E ` m ) \ U_ i e. ( M..^ m ) ( E ` i ) ) = ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( M..^ n ) ( E ` i ) ) )
69	68	cbvmptv 4750	. . . . . . . 8 |- ( m e. Z |-> ( ( E ` m ) \ U_ i e. ( M..^ m ) ( E ` i ) ) ) = ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( M..^ n ) ( E ` i ) ) )
70	56, 3, 2, 57, 59, 61, 14, 62, 63, 64, 69	carageniuncllem2 40736	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ ( O ` a ) e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( O ` ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( a \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( O ` a ) + x ) )
71	70	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ ( O ` a ) e. RR ) -> A. x e. RR+ ( ( O ` ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( a \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( O ` a ) + x ) )
72	35	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ ( O ` a ) e. RR ) -> ( ( O ` ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( a \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
73		xralrple 12036	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( O ` ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( a \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) e. RR* /\ ( O ` a ) e. RR ) -> ( ( ( O ` ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( a \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` a ) <-> A. x e. RR+ ( ( O ` ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( a \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( O ` a ) + x ) ) )
74	72, 58, 73	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ ( O ` a ) e. RR ) -> ( ( ( O ` ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( a \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` a ) <-> A. x e. RR+ ( ( O ` ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( a \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( O ` a ) + x ) ) )
75	71, 74	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ ( O ` a ) e. RR ) -> ( ( O ` ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( a \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` a ) )
76	45, 55, 75	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) /\ -. ( O ` a ) = +oo ) -> ( ( O ` ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( a \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` a ) )
77	44, 76	pm2.61dan 832	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( ( O ` ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( a \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` a ) )
78	24, 2, 31	omelesplit 40732	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( O ` a ) <_ ( ( O ` ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( a \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) )
79	35, 37, 77, 78	xrletrid 11986	. 2 |- ( ( ph /\ a e. ~P U. dom O ) -> ( ( O ` ( a i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( a \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) = ( O ` a ) )
80	1, 2, 3, 22, 79	carageneld 40716	1 |- ( ph -> U_ n e. Z ( E ` n ) e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   +ecxad 11944   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  OutMeascome 40703  CaraGenccaragen 40705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580  df-ome 40704  df-caragen 40706

This theorem is referenced by:  caragenunicl  40738