Theorem dcubic 24573

Description: Solutions to the depressed cubic, a special case of cubic 24576. (The definitions of M , N , G , T here differ from mcubic 24574 by scale factors of -u 9, 5 4, 5 4 and -u 2 7 respectively, to simplify the algebra and presentation.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dcubic.c	|- ( ph -> P e. CC )
dcubic.d	|- ( ph -> Q e. CC )
dcubic.x	|- ( ph -> X e. CC )
dcubic.t	|- ( ph -> T e. CC )
dcubic.3	|- ( ph -> ( T ^ 3 ) = ( G - N ) )
dcubic.g	|- ( ph -> G e. CC )
dcubic.2	|- ( ph -> ( G ^ 2 ) = ( ( N ^ 2 ) + ( M ^ 3 ) ) )
dcubic.m	|- ( ph -> M = ( P / 3 ) )
dcubic.n	|- ( ph -> N = ( Q / 2 ) )
dcubic.0	|- ( ph -> T =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
dcubic	|- ( ph -> ( ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 <-> E. r e. CC ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   M, r   P, r   ph, r   Q, r   T, r   X, r

Allowed substitution hints:   G( r)   N( r)

Proof of Theorem dcubic

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dcubic.0	. . . . . . 7 |- ( ph -> T =/= 0 )
2	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) -> T =/= 0 )
3		dcubic.t	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T e. CC )
4	3	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) -> T e. CC )
5		3z 11410	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. ZZ
6		expne0i 12892	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. CC /\ T =/= 0 /\ 3 e. ZZ ) -> ( T ^ 3 ) =/= 0 )
7	5, 6	mp3an3 1413	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. CC /\ T =/= 0 ) -> ( T ^ 3 ) =/= 0 )
8	7	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( T e. CC -> ( T =/= 0 -> ( T ^ 3 ) =/= 0 ) )
9	4, 8	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) -> ( T =/= 0 -> ( T ^ 3 ) =/= 0 ) )
10		dcubic.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( T ^ 3 ) = ( G - N ) )
11	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( T ^ 3 ) = ( G - N ) )
12		dcubic.g	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G e. CC )
13	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> G e. CC )
14		dcubic.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) = ( ( N ^ 2 ) + ( M ^ 3 ) ) )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( G ^ 2 ) = ( ( N ^ 2 ) + ( M ^ 3 ) ) )
16		dcubic.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> N = ( Q / 2 ) )
17	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> N = ( Q / 2 ) )
18		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> X = 0 )
19	18	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( P x. X ) = ( P x. 0 ) )
20		dcubic.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> P e. CC )
21	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> P e. CC )
22	21	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( P x. 0 ) = 0 )
23	19, 22	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( P x. X ) = 0 )
24	23	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( ( P x. X ) + Q ) = ( 0 + Q ) )
25	18	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( X ^ 3 ) = ( 0 ^ 3 ) )
26		3nn 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 3 e. NN
27		0exp 12895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 3 e. NN -> ( 0 ^ 3 ) = 0 )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 0 ^ 3 ) = 0
29	25, 28	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( X ^ 3 ) = 0 )
30	29	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = ( 0 + ( ( P x. X ) + Q ) ) )
31		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 )
32		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> 0 e. CC )
33	23, 32	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( P x. X ) e. CC )
34		dcubic.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> Q e. CC )
35	34	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> Q e. CC )
36	33, 35	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( ( P x. X ) + Q ) e. CC )
37	36	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( 0 + ( ( P x. X ) + Q ) ) = ( ( P x. X ) + Q ) )
38	30, 31, 37	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( ( P x. X ) + Q ) = 0 )
39	35	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( 0 + Q ) = Q )
40	24, 38, 39	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> Q = 0 )
41	40	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( Q / 2 ) = ( 0 / 2 ) )
42		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. CC
43		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 =/= 0
44	42, 43	div0i 10759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0 / 2 ) = 0
45	41, 44	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( Q / 2 ) = 0 )
46	17, 45	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> N = 0 )
47	46	sq0id 12957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( N ^ 2 ) = 0 )
48		dcubic.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> M = ( P / 3 ) )
49		3cn 11095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 3 e. CC
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> 3 e. CC )
51		3ne0 11115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 3 =/= 0
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> 3 =/= 0 )
53	20, 50, 52	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( P / 3 ) e. CC )
54	48, 53	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> M e. CC )
55	54	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> M e. CC )
56		4cn 11098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 4 e. CC
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> 4 e. CC )
58		4ne0 11117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 4 =/= 0
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> 4 =/= 0 )
60	18	sq0id 12957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( X ^ 2 ) = 0 )
61	60	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) = ( 0 + ( 4 x. M ) ) )
62		dcubic.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> X e. CC )
63	62	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( X ^ 2 ) e. CC )
64		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( 4 e. CC /\ M e. CC ) -> ( 4 x. M ) e. CC )
65	56, 54, 64	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( 4 x. M ) e. CC )
66	63, 65	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) e. CC )
67	66	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) e. CC )
68		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 )
69	67, 68	sqr00d 14180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) = 0 )
70	65	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( 4 x. M ) e. CC )
71	70	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( 0 + ( 4 x. M ) ) = ( 4 x. M ) )
72	61, 69, 71	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( 4 x. M ) = 0 )
73	56	mul01i 10226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 4 x. 0 ) = 0
74	72, 73	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( 4 x. M ) = ( 4 x. 0 ) )
75	55, 32, 57, 59, 74	mulcanad 10662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> M = 0 )
76	75	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( M ^ 3 ) = ( 0 ^ 3 ) )
77	76, 28	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( M ^ 3 ) = 0 )
78	47, 77	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( ( N ^ 2 ) + ( M ^ 3 ) ) = ( 0 + 0 ) )
79		00id 10211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 + 0 ) = 0
80	78, 79	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( ( N ^ 2 ) + ( M ^ 3 ) ) = 0 )
81	15, 80	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( G ^ 2 ) = 0 )
82	13, 81	sqeq0d 13007	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> G = 0 )
83	82, 46	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( G - N ) = ( 0 - 0 ) )
84		0m0e0 11130	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 - 0 ) = 0
85	83, 84	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( G - N ) = 0 )
86	11, 85	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> ( T ^ 3 ) = 0 )
87	86	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) -> ( ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) -> ( T ^ 3 ) = 0 ) )
88	87	necon3ad 2807	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) -> ( ( T ^ 3 ) =/= 0 -> -. ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) )
89	9, 88	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) -> ( T =/= 0 -> -. ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) )
90	2, 89	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) -> -. ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) )
91		oveq12 6659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) = 0 /\ ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) = 0 ) -> ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) + ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) = ( 0 + 0 ) )
92	91, 79	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) = 0 /\ ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) = 0 ) -> ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) + ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) = 0 )
93		oveq12 6659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) = 0 /\ ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) = 0 ) -> ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) - ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) = ( 0 - 0 ) )
94	93, 84	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) = 0 /\ ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) = 0 ) -> ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) - ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) = 0 )
95	92, 94	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) = 0 /\ ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) = 0 ) -> ( ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) + ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) - ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) = 0 ) )
96	66	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) e. CC )
97		halfaddsub 11265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. CC /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) e. CC ) -> ( ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) + ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) = X /\ ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) - ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) = ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) )
98	62, 96, 97	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) + ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) = X /\ ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) - ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) = ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) )
99	98	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) + ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) = X )
100	99	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) + ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) = 0 <-> X = 0 ) )
101	98	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) - ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) = ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) )
102	101	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) - ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) = 0 <-> ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) )
103	100, 102	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) + ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) - ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) = 0 ) <-> ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) )
104	95, 103	syl5ib 234	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) = 0 /\ ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) = 0 ) -> ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) )
105	104	con3d 148	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -. ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) -> -. ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) = 0 /\ ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) = 0 ) ) )
106		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ( CC \ { 0 } ) -> u e. CC )
107	106	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> u e. CC )
108	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> M e. CC )
109		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. ( CC \ { 0 } ) -> u =/= 0 )
110	109	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> u =/= 0 )
111	108, 107, 110	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( M / u ) e. CC )
112	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> X e. CC )
113	107, 111, 112	subaddd 10410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( u - ( M / u ) ) = X <-> ( ( M / u ) + X ) = u ) )
114		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X = ( u - ( M / u ) ) <-> ( u - ( M / u ) ) = X )
115		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( ( M / u ) + X ) <-> ( ( M / u ) + X ) = u )
116	113, 114, 115	3bitr4g 303	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( X = ( u - ( M / u ) ) <-> u = ( ( M / u ) + X ) ) )
117	107	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( u ^ 2 ) e. CC )
118	112, 107	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( X x. u ) e. CC )
119	118, 108	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( X x. u ) + M ) e. CC )
120	117, 119	subeq0ad 10402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( ( u ^ 2 ) - ( ( X x. u ) + M ) ) = 0 <-> ( u ^ 2 ) = ( ( X x. u ) + M ) ) )
121	107	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( u ^ 2 ) = ( u x. u ) )
122	111, 112, 107	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( ( M / u ) + X ) x. u ) = ( ( ( M / u ) x. u ) + ( X x. u ) ) )
123	108, 107, 110	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( M / u ) x. u ) = M )
124	123	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( ( M / u ) x. u ) + ( X x. u ) ) = ( M + ( X x. u ) ) )
125	108, 118	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( M + ( X x. u ) ) = ( ( X x. u ) + M ) )
126	122, 124, 125	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( X x. u ) + M ) = ( ( ( M / u ) + X ) x. u ) )
127	121, 126	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( u ^ 2 ) = ( ( X x. u ) + M ) <-> ( u x. u ) = ( ( ( M / u ) + X ) x. u ) ) )
128	111, 112	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( M / u ) + X ) e. CC )
129	107, 128, 107, 110	mulcan2d 10661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( u x. u ) = ( ( ( M / u ) + X ) x. u ) <-> u = ( ( M / u ) + X ) ) )
130	120, 127, 129	3bitrd 294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( ( u ^ 2 ) - ( ( X x. u ) + M ) ) = 0 <-> u = ( ( M / u ) + X ) ) )
131		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> 1 e. CC )
132		ax-1ne0 10005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 =/= 0
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> 1 =/= 0 )
134	62	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -u X e. CC )
135	134	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> -u X e. CC )
136	54	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -u M e. CC )
137	136	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> -u M e. CC )
138		sqneg 12923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> ( -u X ^ 2 ) = ( X ^ 2 ) )
139	112, 138	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( -u X ^ 2 ) = ( X ^ 2 ) )
140	137	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( 1 x. -u M ) = -u M )
141	140	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( 4 x. ( 1 x. -u M ) ) = ( 4 x. -u M ) )
142		mulneg2 10467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 4 e. CC /\ M e. CC ) -> ( 4 x. -u M ) = -u ( 4 x. M ) )
143	56, 108, 142	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( 4 x. -u M ) = -u ( 4 x. M ) )
144	141, 143	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( 4 x. ( 1 x. -u M ) ) = -u ( 4 x. M ) )
145	139, 144	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( -u X ^ 2 ) - ( 4 x. ( 1 x. -u M ) ) ) = ( ( X ^ 2 ) - -u ( 4 x. M ) ) )
146	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( X ^ 2 ) e. CC )
147	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( 4 x. M ) e. CC )
148	146, 147	subnegd 10399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( X ^ 2 ) - -u ( 4 x. M ) ) = ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) )
149	145, 148	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) = ( ( -u X ^ 2 ) - ( 4 x. ( 1 x. -u M ) ) ) )
150	131, 133, 135, 137, 107, 149	quad 24567	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( ( 1 x. ( u ^ 2 ) ) + ( ( -u X x. u ) + -u M ) ) = 0 <-> ( u = ( ( -u -u X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / ( 2 x. 1 ) ) \/ u = ( ( -u -u X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / ( 2 x. 1 ) ) ) ) )
151	117	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( 1 x. ( u ^ 2 ) ) = ( u ^ 2 ) )
152	112, 107	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( -u X x. u ) = -u ( X x. u ) )
153	152	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( -u X x. u ) + -u M ) = ( -u ( X x. u ) + -u M ) )
154	118, 108	negdid 10405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> -u ( ( X x. u ) + M ) = ( -u ( X x. u ) + -u M ) )
155	153, 154	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( -u X x. u ) + -u M ) = -u ( ( X x. u ) + M ) )
156	151, 155	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( 1 x. ( u ^ 2 ) ) + ( ( -u X x. u ) + -u M ) ) = ( ( u ^ 2 ) + -u ( ( X x. u ) + M ) ) )
157	117, 119	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( u ^ 2 ) + -u ( ( X x. u ) + M ) ) = ( ( u ^ 2 ) - ( ( X x. u ) + M ) ) )
158	156, 157	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( 1 x. ( u ^ 2 ) ) + ( ( -u X x. u ) + -u M ) ) = ( ( u ^ 2 ) - ( ( X x. u ) + M ) ) )
159	158	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( ( 1 x. ( u ^ 2 ) ) + ( ( -u X x. u ) + -u M ) ) = 0 <-> ( ( u ^ 2 ) - ( ( X x. u ) + M ) ) = 0 ) )
160	112	negnegd 10383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> -u -u X = X )
161	160	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( -u -u X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) = ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) )
162		2t1e2 11176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. 1 ) = 2
163	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( 2 x. 1 ) = 2 )
164	161, 163	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( -u -u X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / ( 2 x. 1 ) ) = ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) )
165	164	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( u = ( ( -u -u X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / ( 2 x. 1 ) ) <-> u = ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) )
166	160	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( -u -u X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) = ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) )
167	166, 163	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( -u -u X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / ( 2 x. 1 ) ) = ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) )
168	167	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( u = ( ( -u -u X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / ( 2 x. 1 ) ) <-> u = ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) )
169	165, 168	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( u = ( ( -u -u X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / ( 2 x. 1 ) ) \/ u = ( ( -u -u X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / ( 2 x. 1 ) ) ) <-> ( u = ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) \/ u = ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) ) )
170	150, 159, 169	3bitr3d 298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( ( u ^ 2 ) - ( ( X x. u ) + M ) ) = 0 <-> ( u = ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) \/ u = ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) ) )
171	116, 130, 170	3bitr2d 296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( X = ( u - ( M / u ) ) <-> ( u = ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) \/ u = ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) ) )
172	171	rexbidva 3049	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. u e. ( CC \ { 0 } ) X = ( u - ( M / u ) ) <-> E. u e. ( CC \ { 0 } ) ( u = ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) \/ u = ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) ) )
173		r19.43 3093	. . . . . . . . 9 |- ( E. u e. ( CC \ { 0 } ) ( u = ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) \/ u = ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) <-> ( E. u e. ( CC \ { 0 } ) u = ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) \/ E. u e. ( CC \ { 0 } ) u = ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) )
174	172, 173	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. u e. ( CC \ { 0 } ) X = ( u - ( M / u ) ) <-> ( E. u e. ( CC \ { 0 } ) u = ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) \/ E. u e. ( CC \ { 0 } ) u = ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) ) )
175		risset 3062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) e. ( CC \ { 0 } ) <-> E. u e. ( CC \ { 0 } ) u = ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) )
176	62, 96	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) e. CC )
177	176	halfcld 11277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) e. CC )
178		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) e. CC /\ ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) =/= 0 ) )
179	178	baib 944	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) e. CC -> ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) =/= 0 ) )
180	177, 179	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) =/= 0 ) )
181	175, 180	syl5bbr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E. u e. ( CC \ { 0 } ) u = ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) <-> ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) =/= 0 ) )
182		risset 3062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) e. ( CC \ { 0 } ) <-> E. u e. ( CC \ { 0 } ) u = ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) )
183	62, 96	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) e. CC )
184	183	halfcld 11277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) e. CC )
185		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) e. CC /\ ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) =/= 0 ) )
186	185	baib 944	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) e. CC -> ( ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) =/= 0 ) )
187	184, 186	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) =/= 0 ) )
188	182, 187	syl5bbr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E. u e. ( CC \ { 0 } ) u = ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) <-> ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) =/= 0 ) )
189	181, 188	orbi12d 746	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E. u e. ( CC \ { 0 } ) u = ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) \/ E. u e. ( CC \ { 0 } ) u = ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) <-> ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) =/= 0 \/ ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) =/= 0 ) ) )
190		neorian 2888	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) =/= 0 \/ ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) =/= 0 ) <-> -. ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) = 0 /\ ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) = 0 ) )
191	189, 190	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E. u e. ( CC \ { 0 } ) u = ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) \/ E. u e. ( CC \ { 0 } ) u = ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) ) <-> -. ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) = 0 /\ ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) = 0 ) ) )
192	174, 191	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. u e. ( CC \ { 0 } ) X = ( u - ( M / u ) ) <-> -. ( ( ( X + ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) = 0 /\ ( ( X - ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) ) / 2 ) = 0 ) ) )
193	105, 192	sylibrd 249	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -. ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) -> E. u e. ( CC \ { 0 } ) X = ( u - ( M / u ) ) ) )
194	193	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( X = 0 /\ ( sqr ` ( ( X ^ 2 ) + ( 4 x. M ) ) ) = 0 ) ) -> E. u e. ( CC \ { 0 } ) X = ( u - ( M / u ) ) )
195	90, 194	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) -> E. u e. ( CC \ { 0 } ) X = ( u - ( M / u ) ) )
196	20	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( u e. ( CC \ { 0 } ) /\ X = ( u - ( M / u ) ) ) ) -> P e. CC )
197	34	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( u e. ( CC \ { 0 } ) /\ X = ( u - ( M / u ) ) ) ) -> Q e. CC )
198	62	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( u e. ( CC \ { 0 } ) /\ X = ( u - ( M / u ) ) ) ) -> X e. CC )
199	3	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( u e. ( CC \ { 0 } ) /\ X = ( u - ( M / u ) ) ) ) -> T e. CC )
200	10	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( u e. ( CC \ { 0 } ) /\ X = ( u - ( M / u ) ) ) ) -> ( T ^ 3 ) = ( G - N ) )
201	12	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( u e. ( CC \ { 0 } ) /\ X = ( u - ( M / u ) ) ) ) -> G e. CC )
202	14	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( u e. ( CC \ { 0 } ) /\ X = ( u - ( M / u ) ) ) ) -> ( G ^ 2 ) = ( ( N ^ 2 ) + ( M ^ 3 ) ) )
203	48	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( u e. ( CC \ { 0 } ) /\ X = ( u - ( M / u ) ) ) ) -> M = ( P / 3 ) )
204	16	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( u e. ( CC \ { 0 } ) /\ X = ( u - ( M / u ) ) ) ) -> N = ( Q / 2 ) )
205	1	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( u e. ( CC \ { 0 } ) /\ X = ( u - ( M / u ) ) ) ) -> T =/= 0 )
206	106	ad2antrl 764	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( u e. ( CC \ { 0 } ) /\ X = ( u - ( M / u ) ) ) ) -> u e. CC )
207	109	ad2antrl 764	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( u e. ( CC \ { 0 } ) /\ X = ( u - ( M / u ) ) ) ) -> u =/= 0 )
208		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( u e. ( CC \ { 0 } ) /\ X = ( u - ( M / u ) ) ) ) -> X = ( u - ( M / u ) ) )
209		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( u e. ( CC \ { 0 } ) /\ X = ( u - ( M / u ) ) ) ) -> ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 )
210	196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209	dcubic2 24571	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) /\ ( u e. ( CC \ { 0 } ) /\ X = ( u - ( M / u ) ) ) ) -> E. r e. CC ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) )
211	195, 210	rexlimddv 3035	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) -> E. r e. CC ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) )
212	211	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 -> E. r e. CC ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) )
213	20	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> P e. CC )
214	34	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> Q e. CC )
215	62	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> X e. CC )
216		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> r e. CC )
217	3	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> T e. CC )
218	216, 217	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> ( r x. T ) e. CC )
219		3nn0 11310	. . . . . . . 8 |- 3 e. NN0
220	219	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> 3 e. NN0 )
221	216, 217, 220	mulexpd 13023	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> ( ( r x. T ) ^ 3 ) = ( ( r ^ 3 ) x. ( T ^ 3 ) ) )
222		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> ( r ^ 3 ) = 1 )
223	222	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> ( ( r ^ 3 ) x. ( T ^ 3 ) ) = ( 1 x. ( T ^ 3 ) ) )
224		expcl 12878	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( T ^ 3 ) e. CC )
225	3, 219, 224	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T ^ 3 ) e. CC )
226	225	mulid2d 10058	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 x. ( T ^ 3 ) ) = ( T ^ 3 ) )
227	226, 10	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 x. ( T ^ 3 ) ) = ( G - N ) )
228	227	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> ( 1 x. ( T ^ 3 ) ) = ( G - N ) )
229	221, 223, 228	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> ( ( r x. T ) ^ 3 ) = ( G - N ) )
230	12	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> G e. CC )
231	14	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> ( G ^ 2 ) = ( ( N ^ 2 ) + ( M ^ 3 ) ) )
232	48	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> M = ( P / 3 ) )
233	16	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> N = ( Q / 2 ) )
234	132	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> 1 =/= 0 )
235	222, 234	eqnetrd 2861	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> ( r ^ 3 ) =/= 0 )
236		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( r = 0 -> ( r ^ 3 ) = ( 0 ^ 3 ) )
237	236, 28	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( r = 0 -> ( r ^ 3 ) = 0 )
238	237	necon3i 2826	. . . . . . 7 |- ( ( r ^ 3 ) =/= 0 -> r =/= 0 )
239	235, 238	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> r =/= 0 )
240	1	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> T =/= 0 )
241	216, 217, 239, 240	mulne0d 10679	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> ( r x. T ) =/= 0 )
242		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) )
243	213, 214, 215, 218, 229, 230, 231, 232, 233, 241, 242	dcubic1 24572	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) -> ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 )
244	243	ex 450	. . 3 |- ( ( ph /\ r e. CC ) -> ( ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) -> ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) )
245	244	rexlimdva 3031	. 2 |- ( ph -> ( E. r e. CC ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) -> ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 ) )
246	212, 245	impbid 202	1 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 3 ) + ( ( P x. X ) + Q ) ) = 0 <-> E. r e. CC ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = ( ( r x. T ) - ( M / ( r x. T ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  mcubic  24574