Theorem dvmptim 23733

Description: Function-builder for derivative, imaginary part. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptcj.a	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptcj.b	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. V )
dvmptcj.da	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )

Assertion

Ref	Expression
dvmptim	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. X |-> ( Im ` A ) ) ) = ( x e. X |-> ( Im ` B ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, V   x, X

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem dvmptim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 10028	. . . 4 |- RR e. { RR , CC }
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
3		dvmptcj.a	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
4	3	cjcld 13936	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( * ` A ) e. CC )
5	3, 4	subcld 10392	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A - ( * ` A ) ) e. CC )
6		dvmptcj.b	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. V )
7		dvmptcj.da	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
8	2, 3, 6, 7	dvmptcl 23722	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )
9	8	cjcld 13936	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( * ` B ) e. CC )
10	8, 9	subcld 10392	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( B - ( * ` B ) ) e. CC )
11	3, 6, 7	dvmptcj 23731	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. X |-> ( * ` A ) ) ) = ( x e. X |-> ( * ` B ) ) )
12	2, 3, 6, 7, 4, 9, 11	dvmptsub 23730	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. X |-> ( A - ( * ` A ) ) ) ) = ( x e. X |-> ( B - ( * ` B ) ) ) )
13		2mulicn 11255	. . . . 5 |- ( 2 x. _i ) e. CC
14		2muline0 11256	. . . . 5 |- ( 2 x. _i ) =/= 0
15	13, 14	reccli 10755	. . . 4 |- ( 1 / ( 2 x. _i ) ) e. CC
16	15	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 x. _i ) ) e. CC )
17	2, 5, 10, 12, 16	dvmptcmul 23727	. 2 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. X |-> ( ( 1 / ( 2 x. _i ) ) x. ( A - ( * ` A ) ) ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( 1 / ( 2 x. _i ) ) x. ( B - ( * ` B ) ) ) ) )
18		imval2 13891	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( ( A - ( * ` A ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
19	3, 18	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( Im ` A ) = ( ( A - ( * ` A ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
20		divrec2 10702	. . . . . . 7 |- ( ( ( A - ( * ` A ) ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) =/= 0 ) -> ( ( A - ( * ` A ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( 1 / ( 2 x. _i ) ) x. ( A - ( * ` A ) ) ) )
21	13, 14, 20	mp3an23 1416	. . . . . 6 |- ( ( A - ( * ` A ) ) e. CC -> ( ( A - ( * ` A ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( 1 / ( 2 x. _i ) ) x. ( A - ( * ` A ) ) ) )
22	5, 21	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( A - ( * ` A ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( 1 / ( 2 x. _i ) ) x. ( A - ( * ` A ) ) ) )
23	19, 22	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( Im ` A ) = ( ( 1 / ( 2 x. _i ) ) x. ( A - ( * ` A ) ) ) )
24	23	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( Im ` A ) ) = ( x e. X |-> ( ( 1 / ( 2 x. _i ) ) x. ( A - ( * ` A ) ) ) ) )
25	24	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. X |-> ( Im ` A ) ) ) = ( RR _D ( x e. X |-> ( ( 1 / ( 2 x. _i ) ) x. ( A - ( * ` A ) ) ) ) ) )
26		imval2 13891	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) = ( ( B - ( * ` B ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
27	8, 26	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( Im ` B ) = ( ( B - ( * ` B ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
28		divrec2 10702	. . . . . 6 |- ( ( ( B - ( * ` B ) ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) =/= 0 ) -> ( ( B - ( * ` B ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( 1 / ( 2 x. _i ) ) x. ( B - ( * ` B ) ) ) )
29	13, 14, 28	mp3an23 1416	. . . . 5 |- ( ( B - ( * ` B ) ) e. CC -> ( ( B - ( * ` B ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( 1 / ( 2 x. _i ) ) x. ( B - ( * ` B ) ) ) )
30	10, 29	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( B - ( * ` B ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( 1 / ( 2 x. _i ) ) x. ( B - ( * ` B ) ) ) )
31	27, 30	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( Im ` B ) = ( ( 1 / ( 2 x. _i ) ) x. ( B - ( * ` B ) ) ) )
32	31	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( Im ` B ) ) = ( x e. X |-> ( ( 1 / ( 2 x. _i ) ) x. ( B - ( * ` B ) ) ) ) )
33	17, 25, 32	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. X |-> ( Im ` A ) ) ) = ( x e. X |-> ( Im ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {cpr 4179   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   x. cmul 9941   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   *ccj 13836   Imcim 13838   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by: (None)