Theorem fourierdlem65 40388

Description: The distance of two adjacent points in the moved partition is preserved in the original partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem65.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem65.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem65.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem65.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem65.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem65.d	|- ( ph -> D e. ( C (,) +oo ) )
fourierdlem65.o	|- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem65.n	|- N = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
fourierdlem65.s	|- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
fourierdlem65.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem65.l	|- L = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
fourierdlem65.z	|- Z = ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem65	|- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( L ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) )

Distinct variable groups:   x, k   A, f, k, y   A, i, x, k, y   A, m, p, i   B, f, k, y   B, i, x   B, m, p   C, f, y   C, i, m, p   x, C   D, f, y   D, i, m, p   x, D   i, E, k, x, y   i, M, m, p   f, N, y   i, N, m, p   x, N   Q, f, k, y   Q, i, x   Q, p   S, f, k, y   S, i, x   S, p   T, i, k, x, y   i, Z, k, y   ph, f, k, y   i, j, k, x, y   ph, i, x

Allowed substitution hints:   ph( j, m, p)   A( j)   B( j)   C( j, k)   D( j, k)   P( x, y, f, i, j, k, m, p)   Q( j, m)   S( j, m)   T( f, j, m, p)   E( f, j, m, p)   L( x, y, f, i, j, k, m, p)   M( x, y, f, j, k)   N( j, k)   O( x, y, f, i, j, k, m, p)   Z( x, f, j, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem65

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem65.l	. . . . . 6 |- L = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
2	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> L = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) ) )
3		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E ` ( S ` j ) ) = B /\ y = ( E ` ( S ` j ) ) ) -> y = ( E ` ( S ` j ) ) )
4		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E ` ( S ` j ) ) = B /\ y = ( E ` ( S ` j ) ) ) -> ( E ` ( S ` j ) ) = B )
5	3, 4	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( E ` ( S ` j ) ) = B /\ y = ( E ` ( S ` j ) ) ) -> y = B )
6	5	iftrued 4094	. . . . . 6 |- ( ( ( E ` ( S ` j ) ) = B /\ y = ( E ` ( S ` j ) ) ) -> if ( y = B , A , y ) = A )
7	6	adantll 750	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ y = ( E ` ( S ` j ) ) ) -> if ( y = B , A , y ) = A )
8		fourierdlem65.p	. . . . . . . . . . 11 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
9		fourierdlem65.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. NN )
10		fourierdlem65.q	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
11	8, 9, 10	fourierdlem11 40335	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) )
12	11	simp1d 1073	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
13	11	simp2d 1074	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR )
14	11	simp3d 1075	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A < B )
15		fourierdlem65.t	. . . . . . . . 9 |- T = ( B - A )
16		fourierdlem65.e	. . . . . . . . 9 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
17	12, 13, 14, 15, 16	fourierdlem4 40328	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E : RR --> ( A (,] B ) )
18	17	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> E : RR --> ( A (,] B ) )
19		fourierdlem65.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. RR )
20		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( C (,) +oo ) C_ RR
21		fourierdlem65.d	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> D e. ( C (,) +oo ) )
22	20, 21	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> D e. RR )
23	19	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> C e. RR* )
24		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- +oo e. RR*
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> +oo e. RR* )
26		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C e. RR* /\ +oo e. RR* /\ D e. ( C (,) +oo ) ) -> C < D )
27	23, 25, 21, 26	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C < D )
28		fourierdlem65.o	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
29		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = x -> y = x )
30	15	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B - A ) = T
31	30	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k x. ( B - A ) ) = ( k x. T )
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = x -> ( k x. ( B - A ) ) = ( k x. T ) )
33	29, 32	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = x -> ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) = ( x + ( k x. T ) ) )
34	33	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = x -> ( ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q <-> ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
35	34	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = x -> ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
36	35	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } = { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q }
37	36	uneq2i 3764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
38		fourierdlem65.n	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- N = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
39		fourierdlem65.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
40	15, 8, 9, 10, 19, 22, 27, 28, 37, 38, 39	fourierdlem54 40377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) /\ S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) ) )
41	40	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) )
42	41	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S e. ( O ` N ) )
43	41	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. NN )
44	28	fourierdlem2 40326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( S e. ( O ` N ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S e. ( O ` N ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
46	42, 45	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) )
47	46	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) )
48		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
50	49	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
51		elfzofz 12485	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> j e. ( 0 ... N ) )
52	51	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
53	50, 52	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( S ` j ) e. RR )
54	18, 53	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( E ` ( S ` j ) ) e. ( A (,] B ) )
55	54	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( E ` ( S ` j ) ) e. ( A (,] B ) )
56	12	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> A e. RR )
57	2, 7, 55, 56	fvmptd 6288	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( L ` ( E ` ( S ` j ) ) ) = A )
58	57	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( L ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - A ) )
59	13	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> B e. RR )
60	14	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> A < B )
61	53	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( S ` j ) e. RR )
62		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( E ` ( S ` j ) ) = B )
63		fzofzp1 12565	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
64	63	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
65	50, 64	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR )
66	65	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR )
67		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> j e. ZZ )
68	67	zred 11482	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> j e. RR )
69	68	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> j e. RR )
70	69	ltp1d 10954	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> j < ( j + 1 ) )
71	40	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
73		isorel 6576	. . . . . . . . 9 |- ( ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( j < ( j + 1 ) <-> ( S ` j ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
74	72, 52, 64, 73	syl12anc 1324	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j < ( j + 1 ) <-> ( S ` j ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
75	70, 74	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( S ` j ) < ( S ` ( j + 1 ) ) )
76	75	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( S ` j ) < ( S ` ( j + 1 ) ) )
77		isof1o 6573	. . . . . . . . . . 11 |- ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) -> S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) )
78		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . 11 |- ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) -> S : ( 0 ... N ) -onto-> ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) )
79	71, 77, 78	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) -onto-> ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) )
80	79	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> S : ( 0 ... N ) -onto-> ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) )
81	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> C e. RR )
82	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> D e. RR )
83	13, 12	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
84	15, 83	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> T e. RR )
85	84	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> T e. RR )
86	53, 85	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( S ` j ) + T ) e. RR )
87	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> ( ( S ` j ) + T ) e. RR )
88	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> C e. RR )
89	28, 43, 42	fourierdlem15 40339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D ) )
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D ) )
91	90, 52	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( S ` j ) e. ( C [,] D ) )
92	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> D e. RR )
93		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( S ` j ) e. ( C [,] D ) <-> ( ( S ` j ) e. RR /\ C <_ ( S ` j ) /\ ( S ` j ) <_ D ) ) )
94	88, 92, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( S ` j ) e. ( C [,] D ) <-> ( ( S ` j ) e. RR /\ C <_ ( S ` j ) /\ ( S ` j ) <_ D ) ) )
95	91, 94	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( S ` j ) e. RR /\ C <_ ( S ` j ) /\ ( S ` j ) <_ D ) )
96	95	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> C <_ ( S ` j ) )
97	12, 13	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
98	14, 97	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
99	98, 15	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 < T )
100	84, 99	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> T e. RR+ )
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> T e. RR+ )
102	53, 101	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( S ` j ) < ( ( S ` j ) + T ) )
103	88, 53, 86, 96, 102	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> C < ( ( S ` j ) + T ) )
104	88, 86, 103	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> C <_ ( ( S ` j ) + T ) )
105	104	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> C <_ ( ( S ` j ) + T ) )
106	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR )
107		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) )
108	87, 106	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> ( ( ( S ` j ) + T ) < ( S ` ( j + 1 ) ) <-> -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) )
109	107, 108	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> ( ( S ` j ) + T ) < ( S ` ( j + 1 ) ) )
110	90, 64	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( C [,] D ) )
111		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( C [,] D ) <-> ( ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR /\ C <_ ( S ` ( j + 1 ) ) /\ ( S ` ( j + 1 ) ) <_ D ) ) )
112	88, 92, 111	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( C [,] D ) <-> ( ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR /\ C <_ ( S ` ( j + 1 ) ) /\ ( S ` ( j + 1 ) ) <_ D ) ) )
113	110, 112	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR /\ C <_ ( S ` ( j + 1 ) ) /\ ( S ` ( j + 1 ) ) <_ D ) )
114	113	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) <_ D )
115	114	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) <_ D )
116	87, 106, 82, 109, 115	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> ( ( S ` j ) + T ) < D )
117	87, 82, 116	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> ( ( S ` j ) + T ) <_ D )
118	81, 82, 87, 105, 117	eliccd 39726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> ( ( S ` j ) + T ) e. ( C [,] D ) )
119	118	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> ( ( S ` j ) + T ) e. ( C [,] D ) )
120	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) )
121		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( S ` j ) -> x = ( S ` j ) )
122		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = ( S ` j ) -> ( B - x ) = ( B - ( S ` j ) ) )
123	122	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = ( S ` j ) -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) )
124	123	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( S ` j ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) )
125	124	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( S ` j ) -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) )
126	121, 125	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( S ` j ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` j ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) )
127	126	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x = ( S ` j ) ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` j ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) )
128	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> B e. RR )
129	128, 53	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( B - ( S ` j ) ) e. RR )
130	129, 101	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) e. RR )
131	130	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) e. ZZ )
132	131	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) e. RR )
133	132, 85	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) e. RR )
134	53, 133	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( S ` j ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
135	120, 127, 53, 134	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( E ` ( S ` j ) ) = ( ( S ` j ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) )
136	135	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) = ( ( ( S ` j ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) - ( S ` j ) ) )
137	136	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) = ( ( ( ( S ` j ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) - ( S ` j ) ) / T ) )
138	53	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( S ` j ) e. CC )
139	133	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) e. CC )
140	138, 139	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( S ` j ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) - ( S ` j ) ) = ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) )
141	140	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( S ` j ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) - ( S ` j ) ) / T ) = ( ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) / T ) )
142	132	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) e. CC )
143	85	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> T e. CC )
144	101	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> T =/= 0 )
145	142, 143, 144	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) )
146	137, 141, 145	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) )
147	146, 131	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) e. ZZ )
148		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) e. ZZ -> ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) e. ZZ )
149	147, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) e. ZZ )
150	149	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) e. ZZ )
151	30	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) x. ( B - A ) ) = ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) x. T )
152	151	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S ` j ) + T ) + ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) x. ( B - A ) ) ) = ( ( ( S ` j ) + T ) + ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) x. T ) )
153	152	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( ( S ` j ) + T ) + ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) x. ( B - A ) ) ) = ( ( ( S ` j ) + T ) + ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) x. T ) ) )
154	135	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( E ` ( S ` j ) ) = ( ( S ` j ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) )
155		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( E ` ( S ` j ) ) = B -> ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) = ( B - ( S ` j ) ) )
156	155	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( E ` ( S ` j ) ) = B -> ( B - ( S ` j ) ) = ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) )
157	156	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( E ` ( S ` j ) ) = B -> ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) = ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) )
158	157	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( E ` ( S ` j ) ) = B -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) ) )
159	158	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( E ` ( S ` j ) ) = B -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) )
160	159	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( E ` ( S ` j ) ) = B -> ( ( S ` j ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` j ) + ( ( |_ ` ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) )
161	160	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( S ` j ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` j ) + ( ( |_ ` ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) )
162	146, 142	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) e. CC )
163		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> 1 e. CC )
164	162, 163, 143	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) x. T ) = ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. T ) - ( 1 x. T ) ) )
165	84	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> T e. CC )
166	165	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( 1 x. T ) = T )
167	166	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. T ) - ( 1 x. T ) ) = ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. T ) - T ) )
168	167	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. T ) - ( 1 x. T ) ) = ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. T ) - T ) )
169	164, 168	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) x. T ) = ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. T ) - T ) )
170	169	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( S ` j ) + T ) + ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) x. T ) ) = ( ( ( S ` j ) + T ) + ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. T ) - T ) ) )
171	162, 143	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. T ) e. CC )
172	138, 143, 171	ppncand 10432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( S ` j ) + T ) + ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. T ) - T ) ) = ( ( S ` j ) + ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. T ) ) )
173		flid 12609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) e. ZZ -> ( |_ ` ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) ) = ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) )
174	147, 173	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( |_ ` ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) ) = ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) )
175	174	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) = ( |_ ` ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) ) )
176	175	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) )
177	176	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( S ` j ) + ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. T ) ) = ( ( S ` j ) + ( ( |_ ` ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) )
178	170, 172, 177	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( S ` j ) + ( ( |_ ` ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( ( S ` j ) + T ) + ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) x. T ) ) )
179	178	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( S ` j ) + ( ( |_ ` ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( ( S ` j ) + T ) + ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) x. T ) ) )
180	154, 161, 179	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( ( S ` j ) + T ) + ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) x. T ) ) = ( E ` ( S ` j ) ) )
181	153, 180, 62	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( ( S ` j ) + T ) + ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) x. ( B - A ) ) ) = B )
182	8	fourierdlem2 40326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
183	9, 182	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
184	10, 183	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
185	184	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
186	185	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) )
187	186	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( Q ` M ) = B )
188	187	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B = ( Q ` M ) )
189	8, 9, 10	fourierdlem15 40339	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
190		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) -> Q Fn ( 0 ... M ) )
191	189, 190	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Q Fn ( 0 ... M ) )
192	9	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> M e. NN0 )
193		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
194	192, 193	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
195		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> M e. ( 0 ... M ) )
196	194, 195	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
197		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ M e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` M ) e. ran Q )
198	191, 196, 197	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. ran Q )
199	188, 198	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. ran Q )
200	199	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> B e. ran Q )
201	181, 200	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( ( S ` j ) + T ) + ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
202	201	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> ( ( ( S ` j ) + T ) + ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
203		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) -> ( k x. ( B - A ) ) = ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) x. ( B - A ) ) )
204	203	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) -> ( ( ( S ` j ) + T ) + ( k x. ( B - A ) ) ) = ( ( ( S ` j ) + T ) + ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) x. ( B - A ) ) ) )
205	204	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) -> ( ( ( ( S ` j ) + T ) + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q <-> ( ( ( S ` j ) + T ) + ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) x. ( B - A ) ) ) e. ran Q ) )
206	205	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( ( S ` j ) + T ) + ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) - 1 ) x. ( B - A ) ) ) e. ran Q ) -> E. k e. ZZ ( ( ( S ` j ) + T ) + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
207	150, 202, 206	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> E. k e. ZZ ( ( ( S ` j ) + T ) + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
208		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( ( S ` j ) + T ) -> ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) = ( ( ( S ` j ) + T ) + ( k x. ( B - A ) ) ) )
209	208	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( S ` j ) + T ) -> ( ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q <-> ( ( ( S ` j ) + T ) + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q ) )
210	209	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( S ` j ) + T ) -> ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( ( ( S ` j ) + T ) + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q ) )
211	210	elrab 3363	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S ` j ) + T ) e. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } <-> ( ( ( S ` j ) + T ) e. ( C [,] D ) /\ E. k e. ZZ ( ( ( S ` j ) + T ) + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q ) )
212	119, 207, 211	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> ( ( S ` j ) + T ) e. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } )
213		elun2 3781	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S ` j ) + T ) e. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } -> ( ( S ` j ) + T ) e. ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) )
214	212, 213	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> ( ( S ` j ) + T ) e. ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) )
215		foelrn 6378	. . . . . . . . 9 |- ( ( S : ( 0 ... N ) -onto-> ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) /\ ( ( S ` j ) + T ) e. ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) -> E. i e. ( 0 ... N ) ( ( S ` j ) + T ) = ( S ` i ) )
216	80, 214, 215	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> E. i e. ( 0 ... N ) ( ( S ` j ) + T ) = ( S ` i ) )
217		eqcom 2629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S ` j ) + T ) = ( S ` i ) <-> ( S ` i ) = ( ( S ` j ) + T ) )
218	217	rexbii 3041	. . . . . . . 8 |- ( E. i e. ( 0 ... N ) ( ( S ` j ) + T ) = ( S ` i ) <-> E. i e. ( 0 ... N ) ( S ` i ) = ( ( S ` j ) + T ) )
219	216, 218	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> E. i e. ( 0 ... N ) ( S ` i ) = ( ( S ` j ) + T ) )
220	102	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) /\ ( S ` i ) = ( ( S ` j ) + T ) ) -> ( S ` j ) < ( ( S ` j ) + T ) )
221	217	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S ` i ) = ( ( S ` j ) + T ) -> ( ( S ` j ) + T ) = ( S ` i ) )
222	221	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) /\ ( S ` i ) = ( ( S ` j ) + T ) ) -> ( ( S ` j ) + T ) = ( S ` i ) )
223	220, 222	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) /\ ( S ` i ) = ( ( S ` j ) + T ) ) -> ( S ` j ) < ( S ` i ) )
224	109	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) /\ ( S ` i ) = ( ( S ` j ) + T ) ) -> ( ( S ` j ) + T ) < ( S ` ( j + 1 ) ) )
225	222, 224	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) /\ ( S ` i ) = ( ( S ` j ) + T ) ) -> ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) )
226	223, 225	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) /\ ( S ` i ) = ( ( S ` j ) + T ) ) -> ( ( S ` j ) < ( S ` i ) /\ ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
227	226	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` i ) = ( ( S ` j ) + T ) ) -> ( ( S ` j ) < ( S ` i ) /\ ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
228		simplll 798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` i ) = ( ( S ` j ) + T ) ) -> ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) )
229		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` i ) = ( ( S ` j ) + T ) ) -> i e. ( 0 ... N ) )
230		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... N ) -> i e. ZZ )
231	230	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( S ` j ) < ( S ` i ) /\ ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> i e. ZZ )
232	67	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( S ` j ) < ( S ` i ) /\ ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> j e. ZZ )
233		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` i ) ) -> ( S ` j ) < ( S ` i ) )
234	72	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` i ) ) -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
235	52	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` i ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
236		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` i ) ) -> i e. ( 0 ... N ) )
237		isorel 6576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( j < i <-> ( S ` j ) < ( S ` i ) ) )
238	234, 235, 236, 237	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` i ) ) -> ( j < i <-> ( S ` j ) < ( S ` i ) ) )
239	233, 238	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` i ) ) -> j < i )
240	239	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( S ` j ) < ( S ` i ) /\ ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> j < i )
241		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) -> ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) )
242	72	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
243		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) -> i e. ( 0 ... N ) )
244	64	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
245		isorel 6576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) /\ ( i e. ( 0 ... N ) /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( i < ( j + 1 ) <-> ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
246	242, 243, 244, 245	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) -> ( i < ( j + 1 ) <-> ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
247	241, 246	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) -> i < ( j + 1 ) )
248	247	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( S ` j ) < ( S ` i ) /\ ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> i < ( j + 1 ) )
249		btwnnz 11453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. ZZ /\ j < i /\ i < ( j + 1 ) ) -> -. i e. ZZ )
250	232, 240, 248, 249	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( S ` j ) < ( S ` i ) /\ ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> -. i e. ZZ )
251	231, 250	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> -. ( ( S ` j ) < ( S ` i ) /\ ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
252	228, 229, 251	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` i ) = ( ( S ` j ) + T ) ) -> -. ( ( S ` j ) < ( S ` i ) /\ ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
253	227, 252	pm2.65da 600	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) /\ i e. ( 0 ... N ) ) -> -. ( S ` i ) = ( ( S ` j ) + T ) )
254	253	nrexdv 3001	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> -. E. i e. ( 0 ... N ) ( S ` i ) = ( ( S ` j ) + T ) )
255	254	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) -> -. E. i e. ( 0 ... N ) ( S ` i ) = ( ( S ` j ) + T ) )
256	219, 255	condan 835	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) )
257	61	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( S ` j ) e. RR* )
258	84	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> T e. RR )
259	61, 258	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( S ` j ) + T ) e. RR )
260		elioc2 12236	. . . . . . 7 |- ( ( ( S ` j ) e. RR* /\ ( ( S ` j ) + T ) e. RR ) -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( ( S ` j ) (,] ( ( S ` j ) + T ) ) <-> ( ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR /\ ( S ` j ) < ( S ` ( j + 1 ) ) /\ ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) ) )
261	257, 259, 260	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( ( S ` j ) (,] ( ( S ` j ) + T ) ) <-> ( ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR /\ ( S ` j ) < ( S ` ( j + 1 ) ) /\ ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( ( S ` j ) + T ) ) ) )
262	66, 76, 256, 261	mpbir3and 1245	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( ( S ` j ) (,] ( ( S ` j ) + T ) ) )
263	56, 59, 60, 15, 16, 61, 62, 262	fourierdlem26 40350	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) = ( A + ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) ) )
264	263	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - A ) = ( ( A + ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) ) - A ) )
265	56	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> A e. CC )
266	65	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. CC )
267	266, 138	subcld 10392	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) e. CC )
268	267	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) e. CC )
269	265, 268	pncan2d 10394	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( A + ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) ) - A ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) )
270	58, 264, 269	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( L ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) )
271	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> L = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) ) )
272		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( E ` ( S ` j ) ) <-> ( E ` ( S ` j ) ) = y )
273	272	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( E ` ( S ` j ) ) -> ( E ` ( S ` j ) ) = y )
274	273	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. ( E ` ( S ` j ) ) = B /\ y = ( E ` ( S ` j ) ) ) -> ( E ` ( S ` j ) ) = y )
275		neqne 2802	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( E ` ( S ` j ) ) = B -> ( E ` ( S ` j ) ) =/= B )
276	275	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. ( E ` ( S ` j ) ) = B /\ y = ( E ` ( S ` j ) ) ) -> ( E ` ( S ` j ) ) =/= B )
277	274, 276	eqnetrrd 2862	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. ( E ` ( S ` j ) ) = B /\ y = ( E ` ( S ` j ) ) ) -> y =/= B )
278	277	neneqd 2799	. . . . . . . 8 |- ( ( -. ( E ` ( S ` j ) ) = B /\ y = ( E ` ( S ` j ) ) ) -> -. y = B )
279	278	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( ( -. ( E ` ( S ` j ) ) = B /\ y = ( E ` ( S ` j ) ) ) -> if ( y = B , A , y ) = y )
280		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( -. ( E ` ( S ` j ) ) = B /\ y = ( E ` ( S ` j ) ) ) -> y = ( E ` ( S ` j ) ) )
281	279, 280	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( -. ( E ` ( S ` j ) ) = B /\ y = ( E ` ( S ` j ) ) ) -> if ( y = B , A , y ) = ( E ` ( S ` j ) ) )
282	281	adantll 750	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ y = ( E ` ( S ` j ) ) ) -> if ( y = B , A , y ) = ( E ` ( S ` j ) ) )
283	54	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( E ` ( S ` j ) ) e. ( A (,] B ) )
284	271, 282, 283, 283	fvmptd 6288	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( L ` ( E ` ( S ` j ) ) ) = ( E ` ( S ` j ) ) )
285	284	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( L ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( E ` ( S ` j ) ) ) )
286		id 22	. . . . . . . 8 |- ( x = ( S ` ( j + 1 ) ) -> x = ( S ` ( j + 1 ) ) )
287		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( S ` ( j + 1 ) ) -> ( B - x ) = ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
288	287	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( S ` ( j + 1 ) ) -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) )
289	288	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( S ` ( j + 1 ) ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) )
290	289	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( x = ( S ` ( j + 1 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) )
291	286, 290	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( x = ( S ` ( j + 1 ) ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
292	291	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x = ( S ` ( j + 1 ) ) ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
293	128, 65	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
294	293, 101	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) e. RR )
295	294	flcld 12599	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) e. ZZ )
296	295	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) e. RR )
297	296, 85	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) e. RR )
298	65, 297	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
299	120, 292, 65, 298	fvmptd 6288	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
300	299, 135	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( E ` ( S ` j ) ) ) = ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) - ( ( S ` j ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) ) )
301	300	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( E ` ( S ` j ) ) ) = ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) - ( ( S ` j ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) ) )
302		flle 12600	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) e. RR -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) <_ ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) )
303	294, 302	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) <_ ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) )
304	53, 65, 75	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( S ` j ) <_ ( S ` ( j + 1 ) ) )
305	53, 65, 128, 304	lesub2dd 10644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( B - ( S ` j ) ) )
306	293, 129, 101, 305	lediv1dd 11930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) )
307	296, 294, 130, 303, 306	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) )
308	307	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) )
309	296	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) < ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) ) -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) e. RR )
310		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) < ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) ) -> 1 e. RR )
311	309, 310	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) < ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) e. RR )
312	130	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) < ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) ) -> ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) e. RR )
313		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) < ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) ) -> -. ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) < ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) )
314	311, 312, 313	nltled 10187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) < ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) )
315	314	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ -. ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) < ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) )
316	79	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> S : ( 0 ... N ) -onto-> ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) )
317	88	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> C e. RR )
318	92	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> D e. RR )
319		fourierdlem65.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- Z = ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) )
320	135, 134	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( E ` ( S ` j ) ) e. RR )
321	128, 320	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) e. RR )
322	53, 321	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) e. RR )
323	319, 322	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> Z e. RR )
324	323	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> Z e. RR )
325	12	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> A e. RR* )
326	325	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> A e. RR* )
327		elioc2 12236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( E ` ( S ` j ) ) e. ( A (,] B ) <-> ( ( E ` ( S ` j ) ) e. RR /\ A < ( E ` ( S ` j ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) <_ B ) ) )
328	326, 128, 327	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` j ) ) e. ( A (,] B ) <-> ( ( E ` ( S ` j ) ) e. RR /\ A < ( E ` ( S ` j ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) <_ B ) ) )
329	54, 328	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` j ) ) e. RR /\ A < ( E ` ( S ` j ) ) /\ ( E ` ( S ` j ) ) <_ B ) )
330	329	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( E ` ( S ` j ) ) <_ B )
331	128, 320	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( 0 <_ ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) <-> ( E ` ( S ` j ) ) <_ B ) )
332	330, 331	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> 0 <_ ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) )
333	53, 321	addge01d 10615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( 0 <_ ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) <-> ( S ` j ) <_ ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) ) )
334	332, 333	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( S ` j ) <_ ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) )
335	88, 53, 322, 96, 334	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> C <_ ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) )
336	335, 319	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> C <_ Z )
337	336	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> C <_ Z )
338	65	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR )
339	294	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) e. RR )
340		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) e. RR -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) e. RR )
341		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) e. RR -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) e. RR )
342	339, 340, 341	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) e. RR )
343	128	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> B e. RR )
344	343, 324	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( B - Z ) e. RR )
345	101	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> T e. RR+ )
346	344, 345	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( ( B - Z ) / T ) e. RR )
347		flltp1 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) e. RR -> ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) < ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) )
348	294, 347	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) < ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) )
349	348	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) < ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) )
350	295	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) e. ZZ )
351	350	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) e. ZZ )
352	130	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) e. RR )
353		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) )
354	321, 101	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) / T ) e. RR )
355	354	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) / T ) e. RR )
356	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> A e. RR )
357	329	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> A < ( E ` ( S ` j ) ) )
358	356, 320, 128, 357	ltsub2dd 10640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) < ( B - A ) )
359	358, 15	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) < T )
360	321, 85, 101, 359	ltdiv1dd 11929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) / T ) < ( T / T ) )
361	143, 144	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( T / T ) = 1 )
362	360, 361	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) / T ) < 1 )
363	362	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) / T ) < 1 )
364	129	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( B - ( S ` j ) ) e. CC )
365	321	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) e. CC )
366	364, 365, 143, 144	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( B - ( S ` j ) ) - ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) / T ) = ( ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) - ( ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) / T ) ) )
367	366	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) - ( ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) / T ) ) = ( ( ( B - ( S ` j ) ) - ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) / T ) )
368	128	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> B e. CC )
369	320	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( E ` ( S ` j ) ) e. CC )
370	368, 138, 369	nnncan1d 10426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( B - ( S ` j ) ) - ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) )
371	370	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( B - ( S ` j ) ) - ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) / T ) = ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) )
372	367, 371	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) - ( ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) / T ) ) = ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) )
373	372, 147	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) - ( ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) / T ) ) e. ZZ )
374	373	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) - ( ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) / T ) ) e. ZZ )
375	351, 352, 353, 355, 363, 374	zltlesub 39497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) - ( ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) / T ) ) )
376	319	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> Z = ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) )
377	376	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( B - Z ) = ( B - ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) ) )
378	138, 368, 369	addsub12d 10415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( B + ( ( S ` j ) - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) )
379	368, 369, 138	subsub2d 10421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( B - ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) ) = ( B + ( ( S ` j ) - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) )
380	378, 379	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( B - ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) ) )
381	380	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( B - ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) ) = ( B - ( B - ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) ) ) )
382	369, 138	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) e. CC )
383	368, 382	nncand 10397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( B - ( B - ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) ) ) = ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) )
384	377, 381, 383	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( B - Z ) = ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) )
385	384	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( B - Z ) / T ) = ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) )
386	371, 367, 385	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) - ( ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) / T ) ) = ( ( B - Z ) / T ) )
387	386	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) - ( ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) / T ) ) = ( ( B - Z ) / T ) )
388	375, 387	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - Z ) / T ) )
389	339, 342, 346, 349, 388	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) < ( ( B - Z ) / T ) )
390	293	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
391	390, 344, 345	ltdiv1d 11917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) < ( B - Z ) <-> ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) < ( ( B - Z ) / T ) ) )
392	389, 391	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) < ( B - Z ) )
393	324, 338, 343	ltsub2d 10637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( Z < ( S ` ( j + 1 ) ) <-> ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) < ( B - Z ) ) )
394	392, 393	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> Z < ( S ` ( j + 1 ) ) )
395	114	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) <_ D )
396	324, 338, 318, 394, 395	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> Z < D )
397	324, 318, 396	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> Z <_ D )
398	317, 318, 324, 337, 397	eliccd 39726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> Z e. ( C [,] D ) )
399	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( B - A ) = T )
400	399	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. ( B - A ) ) = ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. T ) )
401	382, 143, 144	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. T ) = ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) )
402	400, 401	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. ( B - A ) ) = ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) )
403	376, 402	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( Z + ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. ( B - A ) ) ) = ( ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) + ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) ) )
404	138, 365	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) + ( S ` j ) ) )
405	404	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) + ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) ) = ( ( ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) + ( S ` j ) ) + ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) ) )
406	365, 138, 369	ppncand 10432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) + ( S ` j ) ) + ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) ) = ( ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) + ( E ` ( S ` j ) ) ) )
407	368, 369	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) + ( E ` ( S ` j ) ) ) = B )
408	406, 407	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) + ( S ` j ) ) + ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) ) = B )
409	403, 405, 408	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( Z + ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. ( B - A ) ) ) = B )
410	199	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> B e. ran Q )
411	409, 410	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( Z + ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
412		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) -> ( k x. ( B - A ) ) = ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. ( B - A ) ) )
413	412	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) -> ( Z + ( k x. ( B - A ) ) ) = ( Z + ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. ( B - A ) ) ) )
414	413	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) -> ( ( Z + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q <-> ( Z + ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. ( B - A ) ) ) e. ran Q ) )
415	414	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) e. ZZ /\ ( Z + ( ( ( ( E ` ( S ` j ) ) - ( S ` j ) ) / T ) x. ( B - A ) ) ) e. ran Q ) -> E. k e. ZZ ( Z + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
416	147, 411, 415	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> E. k e. ZZ ( Z + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
417	416	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> E. k e. ZZ ( Z + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
418		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = Z -> ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) = ( Z + ( k x. ( B - A ) ) ) )
419	418	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = Z -> ( ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q <-> ( Z + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q ) )
420	419	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = Z -> ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( Z + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q ) )
421	420	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Z e. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } <-> ( Z e. ( C [,] D ) /\ E. k e. ZZ ( Z + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q ) )
422	398, 417, 421	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> Z e. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } )
423		elun2 3781	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Z e. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } -> Z e. ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) )
424	422, 423	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> Z e. ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) )
425		foelrn 6378	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S : ( 0 ... N ) -onto-> ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) /\ Z e. ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) -> E. i e. ( 0 ... N ) Z = ( S ` i ) )
426	316, 424, 425	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> E. i e. ( 0 ... N ) Z = ( S ` i ) )
427	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( S ` j ) e. RR )
428	321	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) e. RR )
429	320	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( E ` ( S ` j ) ) e. RR )
430	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> B e. RR )
431	330	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( E ` ( S ` j ) ) <_ B )
432	275	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( -. ( E ` ( S ` j ) ) = B -> B =/= ( E ` ( S ` j ) ) )
433	432	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> B =/= ( E ` ( S ` j ) ) )
434	429, 430, 431, 433	leneltd 10191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( E ` ( S ` j ) ) < B )
435	429, 430	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( E ` ( S ` j ) ) < B <-> 0 < ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) )
436	434, 435	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> 0 < ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) )
437	428, 436	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) e. RR+ )
438	427, 437	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( S ` j ) < ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) )
439	438, 319	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( S ` j ) < Z )
440	439	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) /\ Z = ( S ` i ) ) -> ( S ` j ) < Z )
441		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) /\ Z = ( S ` i ) ) -> Z = ( S ` i ) )
442	440, 441	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) /\ Z = ( S ` i ) ) -> ( S ` j ) < ( S ` i ) )
443	394	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) /\ Z = ( S ` i ) ) -> Z < ( S ` ( j + 1 ) ) )
444	441, 443	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) /\ Z = ( S ` i ) ) -> ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) )
445	442, 444	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) /\ Z = ( S ` i ) ) -> ( ( S ` j ) < ( S ` i ) /\ ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
446	445	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( Z = ( S ` i ) -> ( ( S ` j ) < ( S ` i ) /\ ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) )
447	446	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> ( E. i e. ( 0 ... N ) Z = ( S ` i ) -> E. i e. ( 0 ... N ) ( ( S ` j ) < ( S ` i ) /\ ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) )
448	426, 447	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) -> E. i e. ( 0 ... N ) ( ( S ` j ) < ( S ` i ) /\ ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
449	315, 448	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ -. ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) < ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) ) -> E. i e. ( 0 ... N ) ( ( S ` j ) < ( S ` i ) /\ ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
450	251	nrexdv 3001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> -. E. i e. ( 0 ... N ) ( ( S ` j ) < ( S ` i ) /\ ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
451	450	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) /\ -. ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) < ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) ) -> -. E. i e. ( 0 ... N ) ( ( S ` j ) < ( S ` i ) /\ ( S ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
452	449, 451	condan 835	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) < ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) )
453	308, 452	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) /\ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) < ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) ) )
454	130	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) e. RR )
455	295	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) e. ZZ )
456		flbi 12617	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) e. RR /\ ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) <-> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) /\ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) < ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) ) ) )
457	454, 455, 456	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) <-> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) <_ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) /\ ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) < ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) + 1 ) ) ) )
458	453, 457	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) )
459	458	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) )
460	459	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) )
461	460	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) )
462	461	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) - ( ( S ` j ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) - ( ( S ` j ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) ) )
463	266	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. CC )
464	138	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( S ` j ) e. CC )
465	139	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) e. CC )
466	463, 464, 465	pnpcan2d 10430	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) - ( ( S ` j ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) )
467	462, 466	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( j + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) - ( ( S ` j ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` j ) ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) )
468	285, 301, 467	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ -. ( E ` ( S ` j ) ) = B ) -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( L ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) )
469	270, 468	pm2.61dan 832	1 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( L ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   u. cun 3572   ifcif 4086   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   iotacio 5849   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   |_cfl 12591   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-cmp 21190

This theorem is referenced by:  fourierdlem89  40412  fourierdlem90  40413  fourierdlem91  40414