Theorem etransclem32 40483

Description: This is the proof for the last equation in the proof of the derivative calculated in [Juillerat] p. 12, just after equation *(6) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem32.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
etransclem32.x	|- ( ph -> X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
etransclem32.p	|- ( ph -> P e. NN )
etransclem32.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
etransclem32.f	|- F = ( x e. X |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) )
etransclem32.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
etransclem32.ngt	|- ( ph -> ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) ) < N )
etransclem32.h	|- H = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. X |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
etransclem32	|- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` N ) = ( x e. X |-> 0 ) )

Distinct variable groups:   j, H, x   j, M, x   j, N, x   P, j, x   S, j, x   j, X, x   ph, j, x

Allowed substitution hints:   F( x, j)

Proof of Theorem etransclem32

Dummy variables k A c n d m h y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem32.s	. . 3 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
2		etransclem32.x	. . 3 |- ( ph -> X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
3		etransclem32.p	. . 3 |- ( ph -> P e. NN )
4		etransclem32.m	. . 3 |- ( ph -> M e. NN0 )
5		etransclem32.f	. . 3 |- F = ( x e. X |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) )
6		etransclem32.n	. . 3 |- ( ph -> N e. NN0 )
7		etransclem32.h	. . 3 |- H = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. X |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
8		etransclem11 40462	. . 3 |- ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = n } )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	etransclem30 40481	. 2 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` N ) = ( x e. X |-> sum_ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) ) ) )
10		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) )
11	8, 6	etransclem12 40463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) = { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } )
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) = { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } )
13	10, 12	eleqtrd 2703	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } )
14	13	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } )
15		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } )
16		nfre1 3005	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k E. k e. ( 0 ... M ) if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k )
17	16	nfn 1784	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k -. E. k e. ( 0 ... M ) if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k )
18	15, 17	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ -. E. k e. ( 0 ... M ) if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) )
19		fzssre 39529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 ... N ) C_ RR
20		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } <-> ( c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) /\ sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N ) )
21	20	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } -> c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) )
22		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) -> c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } -> c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) -> c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
25	24	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` k ) e. ( 0 ... N ) )
26	19, 25	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` k ) e. RR )
27	26	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ -. E. k e. ( 0 ... M ) if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` k ) e. RR )
28		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
29	3, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. NN0 )
30	29	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. RR )
31	3	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> P e. RR )
32	30, 31	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. RR )
33	32	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ -. E. k e. ( 0 ... M ) if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. RR )
34		ralnex 2992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. k e. ( 0 ... M ) -. if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) <-> -. E. k e. ( 0 ... M ) if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) )
35	34	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. E. k e. ( 0 ... M ) if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) -> A. k e. ( 0 ... M ) -. if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) )
36	35	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -. E. k e. ( 0 ... M ) if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> -. if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) )
37	36	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ -. E. k e. ( 0 ... M ) if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> -. if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) )
38	27, 33, 37	nltled 10187	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ -. E. k e. ( 0 ... M ) if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` k ) <_ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) )
39	38	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ -. E. k e. ( 0 ... M ) if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) ) -> ( k e. ( 0 ... M ) -> ( c ` k ) <_ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) )
40	18, 39	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ -. E. k e. ( 0 ... M ) if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) ) -> A. k e. ( 0 ... M ) ( c ` k ) <_ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) )
41		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = k -> ( c ` j ) = ( c ` k ) )
42	41	cbvsumv 14426	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = sum_ k e. ( 0 ... M ) ( c ` k )
43	20	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N )
44	42, 43	syl5reqr 2671	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } -> N = sum_ k e. ( 0 ... M ) ( c ` k ) )
45	44	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ A. k e. ( 0 ... M ) ( c ` k ) <_ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) -> N = sum_ k e. ( 0 ... M ) ( c ` k ) )
46		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = h -> ( c ` k ) = ( c ` h ) )
47	46	cbvsumv 14426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- sum_ k e. ( 0 ... M ) ( c ` k ) = sum_ h e. ( 0 ... M ) ( c ` h )
48		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ A. k e. ( 0 ... M ) ( c ` k ) <_ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
49	24	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` h ) e. ( 0 ... N ) )
50	19, 49	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` h ) e. RR )
51	50	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ A. k e. ( 0 ... M ) ( c ` k ) <_ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` h ) e. RR )
52	30, 31	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. RR )
53	52	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ A. k e. ( 0 ... M ) ( c ` k ) <_ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. RR )
54		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = h -> ( k = 0 <-> h = 0 ) )
55	54	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = h -> if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) = if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) )
56	46, 55	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = h -> ( ( c ` k ) <_ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) <-> ( c ` h ) <_ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) )
57	56	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. k e. ( 0 ... M ) ( c ` k ) <_ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` h ) <_ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) )
58	57	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ A. k e. ( 0 ... M ) ( c ` k ) <_ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` h ) <_ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) )
59	48, 51, 53, 58	fsumle 14531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ A. k e. ( 0 ... M ) ( c ` k ) <_ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) -> sum_ h e. ( 0 ... M ) ( c ` h ) <_ sum_ h e. ( 0 ... M ) if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) )
60		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
61	4, 60	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
62	3	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> P e. NN0 )
63	29, 62	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. NN0 )
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. NN0 )
65	64	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. CC )
66		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h = 0 -> if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) = ( P - 1 ) )
67	61, 65, 66	fsum1p 14482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> sum_ h e. ( 0 ... M ) if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) = ( ( P - 1 ) + sum_ h e. ( ( 0 + 1 ) ... M ) if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) )
68		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 0 + 1 ) = 1
69	68	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 0 + 1 ) ... M ) = ( 1 ... M )
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( 0 + 1 ) ... M ) = ( 1 ... M ) )
71	70	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> sum_ h e. ( ( 0 + 1 ) ... M ) if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) = sum_ h e. ( 1 ... M ) if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) )
72		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( h e. ( 1 ... M ) -> 0 e. RR )
73		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( h e. ( 1 ... M ) -> 1 e. RR )
74		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( h e. ( 1 ... M ) -> h e. ZZ )
75	74	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( h e. ( 1 ... M ) -> h e. RR )
76		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 0 < 1
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( h e. ( 1 ... M ) -> 0 < 1 )
78		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( h e. ( 1 ... M ) -> 1 <_ h )
79	72, 73, 75, 77, 78	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( h e. ( 1 ... M ) -> 0 < h )
80	79	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( h e. ( 1 ... M ) -> h =/= 0 )
81	80	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( h e. ( 1 ... M ) -> -. h = 0 )
82	81	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h e. ( 1 ... M ) -> if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) = P )
83	82	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ h e. ( 1 ... M ) ) -> if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) = P )
84	83	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> sum_ h e. ( 1 ... M ) if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) = sum_ h e. ( 1 ... M ) P )
85		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
86	3	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> P e. CC )
87		fsumconst 14522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( 1 ... M ) e. Fin /\ P e. CC ) -> sum_ h e. ( 1 ... M ) P = ( ( # ` ( 1 ... M ) ) x. P ) )
88	85, 86, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> sum_ h e. ( 1 ... M ) P = ( ( # ` ( 1 ... M ) ) x. P ) )
89		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
90	4, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
91	90	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( # ` ( 1 ... M ) ) x. P ) = ( M x. P ) )
92	88, 91	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> sum_ h e. ( 1 ... M ) P = ( M x. P ) )
93	71, 84, 92	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> sum_ h e. ( ( 0 + 1 ) ... M ) if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) = ( M x. P ) )
94	93	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) + sum_ h e. ( ( 0 + 1 ) ... M ) if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) = ( ( P - 1 ) + ( M x. P ) ) )
95	29	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. CC )
96	4, 62	nn0mulcld 11356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( M x. P ) e. NN0 )
97	96	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( M x. P ) e. CC )
98	95, 97	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) + ( M x. P ) ) = ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) ) )
99	67, 94, 98	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> sum_ h e. ( 0 ... M ) if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) = ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) ) )
100	99	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ A. k e. ( 0 ... M ) ( c ` k ) <_ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) -> sum_ h e. ( 0 ... M ) if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) = ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) ) )
101	59, 100	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ A. k e. ( 0 ... M ) ( c ` k ) <_ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) -> sum_ h e. ( 0 ... M ) ( c ` h ) <_ ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) ) )
102	47, 101	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ A. k e. ( 0 ... M ) ( c ` k ) <_ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( c ` k ) <_ ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) ) )
103	45, 102	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ A. k e. ( 0 ... M ) ( c ` k ) <_ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) -> N <_ ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) ) )
104	40, 103	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ -. E. k e. ( 0 ... M ) if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) ) -> N <_ ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) ) )
105		etransclem32.ngt	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) ) < N )
106	96, 29	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) ) e. NN0 )
107	106	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) ) e. RR )
108	6	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. RR )
109	107, 108	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) ) < N <-> -. N <_ ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) ) ) )
110	105, 109	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. N <_ ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) ) )
111	110	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ -. E. k e. ( 0 ... M ) if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) ) -> -. N <_ ( ( M x. P ) + ( P - 1 ) ) )
112	104, 111	condan 835	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) -> E. k e. ( 0 ... M ) if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) )
113	112	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) -> E. k e. ( 0 ... M ) if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) )
114		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j ( ph /\ x e. X )
115		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ j ( 0 ... M )
116	115	nfsum1 14420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ j sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j )
117	116	nfeq1 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N
118		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ j ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) )
119	117, 118	nfrab 3123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N }
120	119	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N }
121	114, 120	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } )
122		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j k e. ( 0 ... M )
123		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k )
124	121, 122, 123	nf3an 1831	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ k e. ( 0 ... M ) /\ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) )
125		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j ( ( ( S Dn ( H ` k ) ) ` ( c ` k ) ) ` x )
126		fzfid 12772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ k e. ( 0 ... M ) /\ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
127	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> S e. { RR , CC } )
128	2	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
129	3	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> P e. NN )
130		etransclem5 40456	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. X |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
131	7, 130	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- H = ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
132		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
133	23	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
134		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
135	133, 134	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` j ) e. ( 0 ... N ) )
136	135	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` j ) e. ( 0 ... N ) )
137		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c ` j ) e. ( 0 ... N ) -> ( c ` j ) e. NN0 )
138	136, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` j ) e. NN0 )
139	127, 128, 129, 131, 132, 138	etransclem20 40471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) : X --> CC )
140		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> x e. X )
141	139, 140	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) e. CC )
142	141	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ k e. ( 0 ... M ) /\ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) e. CC )
143		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> ( H ` j ) = ( H ` k ) )
144	143	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = k -> ( S Dn ( H ` j ) ) = ( S Dn ( H ` k ) ) )
145	144, 41	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) = ( ( S Dn ( H ` k ) ) ` ( c ` k ) ) )
146	145	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) = ( ( ( S Dn ( H ` k ) ) ` ( c ` k ) ) ` x ) )
147		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ k e. ( 0 ... M ) /\ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) ) -> k e. ( 0 ... M ) )
148	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) -> S e. { RR , CC } )
149	148	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ k e. ( 0 ... M ) /\ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) ) -> S e. { RR , CC } )
150	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) -> X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
151	150	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ k e. ( 0 ... M ) /\ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) ) -> X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
152	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) -> P e. NN )
153	152	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ k e. ( 0 ... M ) /\ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) ) -> P e. NN )
154		etransclem5 40456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. X |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) = ( h e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - h ) ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
155	7, 154	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 |- H = ( h e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - h ) ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
156		fzssz 12343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 ... N ) C_ ZZ
157	156, 25	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` k ) e. ZZ )
158	157	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` k ) e. ZZ )
159	158	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ k e. ( 0 ... M ) /\ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) ) -> ( c ` k ) e. ZZ )
160		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ k e. ( 0 ... M ) /\ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) ) -> if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) )
161	149, 151, 153, 155, 147, 159, 160	etransclem19 40470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ k e. ( 0 ... M ) /\ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) ) -> ( ( S Dn ( H ` k ) ) ` ( c ` k ) ) = ( y e. X |-> 0 ) )
162		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ k e. ( 0 ... M ) /\ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) ) /\ y = x ) -> 0 = 0 )
163		simp1lr 1125	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ k e. ( 0 ... M ) /\ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) ) -> x e. X )
164		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ k e. ( 0 ... M ) /\ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) ) -> 0 e. RR )
165	161, 162, 163, 164	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ k e. ( 0 ... M ) /\ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) ) -> ( ( ( S Dn ( H ` k ) ) ` ( c ` k ) ) ` x ) = 0 )
166	124, 125, 126, 142, 146, 147, 165	fprod0 39828	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) /\ k e. ( 0 ... M ) /\ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) ) -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) = 0 )
167	166	rexlimdv3a 3033	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) -> ( E. k e. ( 0 ... M ) if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` k ) -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) = 0 ) )
168	113, 167	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } ) -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) = 0 )
169	14, 168	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) = 0 )
170	169	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) ) = ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. 0 ) )
171	6	faccld 13071	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ! ` N ) e. NN )
172	171	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ! ` N ) e. CC )
173	172	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> ( ! ` N ) e. CC )
174		fzfid 12772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
175		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ph )
176	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } )
177		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
178	175, 176, 177, 135	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` j ) e. ( 0 ... N ) )
179	178, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` j ) e. NN0 )
180	179	faccld 13071	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ! ` ( c ` j ) ) e. NN )
181	180	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ! ` ( c ` j ) ) e. CC )
182	174, 181	fprodcl 14682	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) e. CC )
183	180	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ! ` ( c ` j ) ) =/= 0 )
184	174, 181, 183	fprodn0 14709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) =/= 0 )
185	173, 182, 184	divcld 10801	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) e. CC )
186	185	mul01d 10235	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. 0 ) = 0 )
187	186	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. 0 ) = 0 )
188	170, 187	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) ) = 0 )
189	188	sumeq2dv 14433	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) ) = sum_ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) 0 )
190		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) = ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } )
191	190, 6	etransclem16 40467	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) e. Fin )
192	191	olcd 408	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) C_ ( ZZ>= ` A ) \/ ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) e. Fin ) )
193	192	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) C_ ( ZZ>= ` A ) \/ ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) e. Fin ) )
194		sumz 14453	. . . . 5 |- ( ( ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) C_ ( ZZ>= ` A ) \/ ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) e. Fin ) -> sum_ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) 0 = 0 )
195	193, 194	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) 0 = 0 )
196	189, 195	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) ) = 0 )
197	196	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) ) ) = ( x e. X |-> 0 ) )
198	9, 197	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` N ) = ( x e. X |-> 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   ifcif 4086   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   !cfa 13060   #chash 13117   sum_csu 14416   prod_cprod 14635   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   Dncdvn 23628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-prod 14636  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-dvn 23632

This theorem is referenced by:  etransclem46  40497