Theorem etransclem33 40484

Description: F is smooth. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem33.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
etransclem33.x	|- ( ph -> X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
etransclem33.p	|- ( ph -> P e. NN )
etransclem33.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
etransclem33.f	|- F = ( x e. X |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) )
etransclem33.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
etransclem33	|- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` N ) : X --> CC )

Distinct variable groups:   j, M, x   j, N, x   P, j, x   S, j, x   j, X, x   ph, j, x

Allowed substitution hints:   F( x, j)

Proof of Theorem etransclem33

Dummy variables k c d m n w z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) = ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) )
2		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( m = N -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... N ) )
3	2	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( m = N -> ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) = ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) )
4		eqeq2 2633	. . . . . . . . 9 |- ( m = N -> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m <-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = N ) )
5	3, 4	rabeqbidv 3195	. . . . . . . 8 |- ( m = N -> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } = { d e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = N } )
6	5	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m = N ) -> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } = { d e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = N } )
7		etransclem33.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
8		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) e. _V
9	8	rabex 4813	. . . . . . . 8 |- { d e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = N } e. _V
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> { d e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = N } e. _V )
11	1, 6, 7, 10	fvmptd 6288	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) = { d e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = N } )
12		fzfi 12771	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... N ) e. Fin
13		fzfi 12771	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... M ) e. Fin
14		mapfi 8262	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 ... N ) e. Fin /\ ( 0 ... M ) e. Fin ) -> ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) e. Fin )
15	12, 13, 14	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) e. Fin
16		ssrab2 3687	. . . . . . 7 |- { d e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = N } C_ ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) )
17		ssfi 8180	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) e. Fin /\ { d e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = N } C_ ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) ) -> { d e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = N } e. Fin )
18	15, 16, 17	mp2an 708	. . . . . 6 |- { d e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = N } e. Fin
19	11, 18	syl6eqel 2709	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) e. Fin )
20	19	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) e. Fin )
21	7	faccld 13071	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ! ` N ) e. NN )
22	21	nncnd 11036	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` N ) e. CC )
23	22	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> ( ! ` N ) e. CC )
24	13	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
25		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) )
26	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) = { d e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = N } )
27	25, 26	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> c e. { d e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = N } )
28	16, 27	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) )
29		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) -> c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
31	30	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` j ) e. ( 0 ... N ) )
32	31	adantllr 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` j ) e. ( 0 ... N ) )
33		elfznn0 12433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c ` j ) e. ( 0 ... N ) -> ( c ` j ) e. NN0 )
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` j ) e. NN0 )
35	34	faccld 13071	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ! ` ( c ` j ) ) e. NN )
36	35	nncnd 11036	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ! ` ( c ` j ) ) e. CC )
37	24, 36	fprodcl 14682	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) e. CC )
38	35	nnne0d 11065	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ! ` ( c ` j ) ) =/= 0 )
39	24, 36, 38	fprodn0 14709	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) =/= 0 )
40	23, 37, 39	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) e. CC )
41		etransclem33.s	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
42	41	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> S e. { RR , CC } )
43		etransclem33.x	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
44	43	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
45		etransclem33.p	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. NN )
46	45	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> P e. NN )
47		etransclem5 40456	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) = ( w e. ( 0 ... M ) |-> ( z e. X |-> ( ( z - w ) ^ if ( w = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
48		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
49	42, 44, 46, 47, 48, 34	etransclem20 40471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) ` j ) ) ` ( c ` j ) ) : X --> CC )
50		simpllr 799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> x e. X )
51	49, 50	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( S Dn ( ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) e. CC )
52	24, 51	fprodcl 14682	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) e. CC )
53	40, 52	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ) -> ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) ) e. CC )
54	20, 53	fsumcl 14464	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) ) e. CC )
55		eqid 2622	. . 3 |- ( x e. X |-> sum_ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) ) ) = ( x e. X |-> sum_ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) ) )
56	54, 55	fmptd 6385	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) ) ) : X --> CC )
57		etransclem33.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN0 )
58		etransclem33.f	. . . 4 |- F = ( x e. X |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) )
59		etransclem5 40456	. . . 4 |- ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. X |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
60		etransclem11 40462	. . . 4 |- ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = n } )
61	41, 43, 45, 57, 58, 7, 59, 60	etransclem30 40481	. . 3 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` N ) = ( x e. X |-> sum_ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) ) ) )
62	61	feq1d 6030	. 2 |- ( ph -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) : X --> CC <-> ( x e. X |-> sum_ c e. ( ( m e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( d ` k ) = m } ) ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) ) ) : X --> CC ) )
63	56, 62	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` N ) : X --> CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   {cpr 4179   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   ^cexp 12860   !cfa 13060   sum_csu 14416   prod_cprod 14635   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   Dncdvn 23628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-prod 14636  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-dvn 23632

This theorem is referenced by:  etransclem39  40490  etransclem43  40494  etransclem45  40496  etransclem46  40497  etransclem47  40498