Theorem itggt0cn 33482

Description: itggt0 23608 holds for continuous functions in the absence of ax-cc 9257. (Contributed by Brendan Leahy, 16-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
itggt0cn.1	|- ( ph -> X < Y )
itggt0cn.2	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. L^1 )
itggt0cn.3	|- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> B e. RR+ )
itggt0cn.cn	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )

Assertion

Ref	Expression
itggt0cn	|- ( ph -> 0 < S. ( X (,) Y ) B _d x )

Distinct variable groups:   x, X   x, Y   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem itggt0cn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itggt0cn.1	. . 3 |- ( ph -> X < Y )
2		itggt0cn.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> B e. RR+ )
3	2	rpred 11872	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> B e. RR )
4	2	rpge0d 11876	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> 0 <_ B )
5		elrege0 12278	. . . . . . 7 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
6	3, 4, 5	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
7		0e0icopnf 12282	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
8	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. x e. ( X (,) Y ) ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
9	6, 8	ifclda 4120	. . . . 5 |- ( ph -> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
10	9	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
11		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) )
12	10, 11	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
13	2	rpgt0d 11875	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> 0 < B )
14		elioore 12205	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( X (,) Y ) -> x e. RR )
15	14	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> x e. RR )
16		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( X (,) Y ) -> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) = B )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) = B )
18	17, 2	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) e. RR+ )
19	11	fvmpt2 6291	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) e. RR+ ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) ` x ) = if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) )
20	15, 18, 19	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) ` x ) = if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) )
21	20, 17	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) ` x ) = B )
22	13, 21	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> 0 < ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) ` x ) )
23	22	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( X (,) Y ) 0 < ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) ` x ) )
24		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x 0
25		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x <
26		nffvmpt1 6199	. . . . . . 7 |- F/_ x ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) ` y )
27	24, 25, 26	nfbr 4699	. . . . . 6 |- F/ x 0 < ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) ` y )
28		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ y 0 < ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) ` x )
29		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) ` y ) = ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) ` x ) )
30	29	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( 0 < ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) ` y ) <-> 0 < ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) ` x ) ) )
31	27, 28, 30	cbvral 3167	. . . . 5 |- ( A. y e. ( X (,) Y ) 0 < ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) ` y ) <-> A. x e. ( X (,) Y ) 0 < ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) ` x ) )
32	23, 31	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. ( X (,) Y ) 0 < ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) ` y ) )
33	32	r19.21bi 2932	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ( X (,) Y ) ) -> 0 < ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) ` y ) )
34		ioossre 12235	. . . . . 6 |- ( X (,) Y ) C_ RR
35		resmpt 5449	. . . . . 6 |- ( ( X (,) Y ) C_ RR -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) )
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) )
37	16	mpteq2ia 4740	. . . . 5 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B )
38	36, 37	eqtri 2644	. . . 4 |- ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B )
39		itggt0cn.cn	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
40	38, 39	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
41	1, 12, 33, 40	itg2gt0cn 33465	. 2 |- ( ph -> 0 < ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) ) )
42		itggt0cn.2	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. L^1 )
43	3, 42, 4	itgposval 23562	. 2 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) B _d x = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( X (,) Y ) , B , 0 ) ) ) )
44	41, 43	breqtrrd 4681	1 |- ( ph -> 0 < S. ( X (,) Y ) B _d x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   -cn->ccncf 22679   S.2citg2 23385   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  ftc1cnnclem  33483