Theorem nlmvscn 22491

Description: The scalar multiplication of a normed module is continuous. Lemma for nrgtrg 22494 and nlmtlm 22498. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmvscn.f	|- F = (Scalar ` W )
nlmvscn.sf	|- .x. = ( .sf ` W )
nlmvscn.j	|- J = ( TopOpen ` W )
nlmvscn.kf	|- K = ( TopOpen ` F )

Assertion

Ref	Expression
nlmvscn	|- ( W e. NrmMod -> .x. e. ( ( K tX J ) Cn J ) )

Proof of Theorem nlmvscn

Dummy variables r x y s w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmlmod 22482	. . . 4 |- ( W e. NrmMod -> W e. LMod )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
3		nlmvscn.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
4		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
5		nlmvscn.sf	. . . . 5 |- .x. = ( .sf ` W )
6	2, 3, 4, 5	lmodscaf 18885	. . . 4 |- ( W e. LMod -> .x. : ( ( Base ` F ) X. ( Base ` W ) ) --> ( Base ` W ) )
7	1, 6	syl 17	. . 3 |- ( W e. NrmMod -> .x. : ( ( Base ` F ) X. ( Base ` W ) ) --> ( Base ` W ) )
8		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( dist ` W ) = ( dist ` W )
9		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( dist ` F ) = ( dist ` F )
10		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( norm ` W ) = ( norm ` W )
11		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( norm ` F ) = ( norm ` F )
12		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
13		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( ( r / 2 ) / ( ( ( norm ` F ) ` x ) + 1 ) ) = ( ( r / 2 ) / ( ( ( norm ` F ) ` x ) + 1 ) )
14		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( ( r / 2 ) / ( ( ( norm ` W ) ` y ) + ( ( r / 2 ) / ( ( ( norm ` F ) ` x ) + 1 ) ) ) ) = ( ( r / 2 ) / ( ( ( norm ` W ) ` y ) + ( ( r / 2 ) / ( ( ( norm ` F ) ` x ) + 1 ) ) ) )
15		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ r e. RR+ ) -> W e. NrmMod )
16		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ r e. RR+ ) -> r e. RR+ )
17		simplrl 800	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ r e. RR+ ) -> x e. ( Base ` F ) )
18		simplrr 801	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ r e. RR+ ) -> y e. ( Base ` W ) )
19	3, 2, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	nlmvscnlem1 22490	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ r e. RR+ ) -> E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` F ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( dist ` F ) z ) < s /\ ( y ( dist ` W ) w ) < s ) -> ( ( x ( .s ` W ) y ) ( dist ` W ) ( z ( .s ` W ) w ) ) < r ) )
20	19	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` F ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( dist ` F ) z ) < s /\ ( y ( dist ` W ) w ) < s ) -> ( ( x ( .s ` W ) y ) ( dist ` W ) ( z ( .s ` W ) w ) ) < r ) )
21		simplrl 800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` F ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> x e. ( Base ` F ) )
22		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` F ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> z e. ( Base ` F ) )
23	21, 22	ovresd 6801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` F ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( x ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) z ) = ( x ( dist ` F ) z ) )
24	23	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` F ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( x ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) z ) < s <-> ( x ( dist ` F ) z ) < s ) )
25		simplrr 801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` F ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> y e. ( Base ` W ) )
26		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` F ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> w e. ( Base ` W ) )
27	25, 26	ovresd 6801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` F ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) = ( y ( dist ` W ) w ) )
28	27	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` F ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s <-> ( y ( dist ` W ) w ) < s ) )
29	24, 28	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` F ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( ( x ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) <-> ( ( x ( dist ` F ) z ) < s /\ ( y ( dist ` W ) w ) < s ) ) )
30	2, 3, 4, 5, 12	scafval 18882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( x .x. y ) = ( x ( .s ` W ) y ) )
31	30	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` F ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( x .x. y ) = ( x ( .s ` W ) y ) )
32	2, 3, 4, 5, 12	scafval 18882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ( Base ` F ) /\ w e. ( Base ` W ) ) -> ( z .x. w ) = ( z ( .s ` W ) w ) )
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` F ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( z .x. w ) = ( z ( .s ` W ) w ) )
34	31, 33	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` F ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( x .x. y ) ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ( z .x. w ) ) = ( ( x ( .s ` W ) y ) ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ( z ( .s ` W ) w ) ) )
35	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` F ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> W e. LMod )
36	2, 3, 12, 4	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( x ( .s ` W ) y ) e. ( Base ` W ) )
37	35, 21, 25, 36	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` F ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( x ( .s ` W ) y ) e. ( Base ` W ) )
38	2, 3, 12, 4	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ z e. ( Base ` F ) /\ w e. ( Base ` W ) ) -> ( z ( .s ` W ) w ) e. ( Base ` W ) )
39	35, 22, 26, 38	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` F ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( z ( .s ` W ) w ) e. ( Base ` W ) )
40	37, 39	ovresd 6801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` F ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( x ( .s ` W ) y ) ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ( z ( .s ` W ) w ) ) = ( ( x ( .s ` W ) y ) ( dist ` W ) ( z ( .s ` W ) w ) ) )
41	34, 40	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` F ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( x .x. y ) ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ( z .x. w ) ) = ( ( x ( .s ` W ) y ) ( dist ` W ) ( z ( .s ` W ) w ) ) )
42	41	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` F ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( ( x .x. y ) ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ( z .x. w ) ) < r <-> ( ( x ( .s ` W ) y ) ( dist ` W ) ( z ( .s ` W ) w ) ) < r ) )
43	29, 42	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` F ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( ( ( x ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x .x. y ) ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ( z .x. w ) ) < r ) <-> ( ( ( x ( dist ` F ) z ) < s /\ ( y ( dist ` W ) w ) < s ) -> ( ( x ( .s ` W ) y ) ( dist ` W ) ( z ( .s ` W ) w ) ) < r ) ) )
44	43	2ralbidva 2988	. . . . . . 7 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> ( A. z e. ( Base ` F ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x .x. y ) ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ( z .x. w ) ) < r ) <-> A. z e. ( Base ` F ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( dist ` F ) z ) < s /\ ( y ( dist ` W ) w ) < s ) -> ( ( x ( .s ` W ) y ) ( dist ` W ) ( z ( .s ` W ) w ) ) < r ) ) )
45	44	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> ( E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` F ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x .x. y ) ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ( z .x. w ) ) < r ) <-> E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` F ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( dist ` F ) z ) < s /\ ( y ( dist ` W ) w ) < s ) -> ( ( x ( .s ` W ) y ) ( dist ` W ) ( z ( .s ` W ) w ) ) < r ) ) )
46	45	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` F ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x .x. y ) ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ( z .x. w ) ) < r ) <-> A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` F ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( dist ` F ) z ) < s /\ ( y ( dist ` W ) w ) < s ) -> ( ( x ( .s ` W ) y ) ( dist ` W ) ( z ( .s ` W ) w ) ) < r ) ) )
47	20, 46	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` F ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x .x. y ) ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ( z .x. w ) ) < r ) )
48	47	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( W e. NrmMod -> A. x e. ( Base ` F ) A. y e. ( Base ` W ) A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` F ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x .x. y ) ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ( z .x. w ) ) < r ) )
49	3	nlmngp2 22484	. . . . . 6 |- ( W e. NrmMod -> F e. NrmGrp )
50		ngpms 22404	. . . . . 6 |- ( F e. NrmGrp -> F e. MetSp )
51	49, 50	syl 17	. . . . 5 |- ( W e. NrmMod -> F e. MetSp )
52		msxms 22259	. . . . 5 |- ( F e. MetSp -> F e. *MetSp )
53		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) = ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) )
54	4, 53	xmsxmet 22261	. . . . 5 |- ( F e. *MetSp -> ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` F ) ) )
55	51, 52, 54	3syl 18	. . . 4 |- ( W e. NrmMod -> ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` F ) ) )
56		nlmngp 22481	. . . . . 6 |- ( W e. NrmMod -> W e. NrmGrp )
57		ngpms 22404	. . . . . 6 |- ( W e. NrmGrp -> W e. MetSp )
58	56, 57	syl 17	. . . . 5 |- ( W e. NrmMod -> W e. MetSp )
59		msxms 22259	. . . . 5 |- ( W e. MetSp -> W e. *MetSp )
60		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) = ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) )
61	2, 60	xmsxmet 22261	. . . . 5 |- ( W e. *MetSp -> ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` W ) ) )
62	58, 59, 61	3syl 18	. . . 4 |- ( W e. NrmMod -> ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` W ) ) )
63		eqid 2622	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) )
64		eqid 2622	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) )
65	63, 64, 64	txmetcn 22353	. . . 4 |- ( ( ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` F ) ) /\ ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` W ) ) /\ ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` W ) ) ) -> ( .x. e. ( ( ( MetOpen ` ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) ) <-> ( .x. : ( ( Base ` F ) X. ( Base ` W ) ) --> ( Base ` W ) /\ A. x e. ( Base ` F ) A. y e. ( Base ` W ) A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` F ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x .x. y ) ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ( z .x. w ) ) < r ) ) ) )
66	55, 62, 62, 65	syl3anc 1326	. . 3 |- ( W e. NrmMod -> ( .x. e. ( ( ( MetOpen ` ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) ) <-> ( .x. : ( ( Base ` F ) X. ( Base ` W ) ) --> ( Base ` W ) /\ A. x e. ( Base ` F ) A. y e. ( Base ` W ) A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` F ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x .x. y ) ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ( z .x. w ) ) < r ) ) ) )
67	7, 48, 66	mpbir2and 957	. 2 |- ( W e. NrmMod -> .x. e. ( ( ( MetOpen ` ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) ) )
68		nlmvscn.kf	. . . . . 6 |- K = ( TopOpen ` F )
69	68, 4, 53	mstopn 22257	. . . . 5 |- ( F e. MetSp -> K = ( MetOpen ` ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) ) )
70	51, 69	syl 17	. . . 4 |- ( W e. NrmMod -> K = ( MetOpen ` ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) ) )
71		nlmvscn.j	. . . . . 6 |- J = ( TopOpen ` W )
72	71, 2, 60	mstopn 22257	. . . . 5 |- ( W e. MetSp -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) )
73	58, 72	syl 17	. . . 4 |- ( W e. NrmMod -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) )
74	70, 73	oveq12d 6668	. . 3 |- ( W e. NrmMod -> ( K tX J ) = ( ( MetOpen ` ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) ) )
75	74, 73	oveq12d 6668	. 2 |- ( W e. NrmMod -> ( ( K tX J ) Cn J ) = ( ( ( MetOpen ` ( ( dist ` F ) |` ( ( Base ` F ) X. ( Base ` F ) ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) ) )
76	67, 75	eleqtrrd 2704	1 |- ( W e. NrmMod -> .x. e. ( ( K tX J ) Cn J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   distcds 15950   TopOpenctopn 16082   LModclmod 18863   .sfcscaf 18864   *Metcxmt 19731   MetOpencmopn 19736   Cn ccn 21028   tX ctx 21363   *MetSpcxme 22122   MetSpcmt 22123   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382  NrmModcnlm 22385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391

This theorem is referenced by:  nrgtrg  22494  nlmtlm  22498