Theorem ablfac1b 18469

Description: Any abelian group is the direct product of factors of prime power order (with the exact order further matching the prime factorization of the group order). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac1.b	|- B = ( Base ` G )
ablfac1.o	|- O = ( od ` G )
ablfac1.s	|- S = ( p e. A |-> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } )
ablfac1.g	|- ( ph -> G e. Abel )
ablfac1.f	|- ( ph -> B e. Fin )
ablfac1.1	|- ( ph -> A C_ Prime )

Assertion

Ref	Expression
ablfac1b	|- ( ph -> G dom DProd S )

Distinct variable groups:   x, p, B   ph, p, x   A, p, x   O, p, x   G, p, x

Allowed substitution hints:   S( x, p)

Proof of Theorem ablfac1b

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. 2 |- (Cntz ` G ) = (Cntz ` G )
2		eqid 2622	. 2 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
3		eqid 2622	. 2 |- (mrCls ` (SubGrp ` G ) ) = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )
4		ablfac1.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Abel )
5		ablgrp 18198	. . 3 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
6	4, 5	syl 17	. 2 |- ( ph -> G e. Grp )
7		ablfac1.1	. . 3 |- ( ph -> A C_ Prime )
8		nnex 11026	. . . . 5 |- NN e. _V
9		prmnn 15388	. . . . . 6 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
10	9	ssriv 3607	. . . . 5 |- Prime C_ NN
11	8, 10	ssexi 4803	. . . 4 |- Prime e. _V
12	11	ssex 4802	. . 3 |- ( A C_ Prime -> A e. _V )
13	7, 12	syl 17	. 2 |- ( ph -> A e. _V )
14	4	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> G e. Abel )
15	7	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> p e. Prime )
16	15, 9	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> p e. NN )
17		ablfac1.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` G )
18	17	grpbn0 17451	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Grp -> B =/= (/) )
19	6, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B =/= (/) )
20		ablfac1.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. Fin )
21		hashnncl 13157	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. Fin -> ( ( # ` B ) e. NN <-> B =/= (/) ) )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( # ` B ) e. NN <-> B =/= (/) ) )
23	19, 22	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` B ) e. NN )
24	23	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> ( # ` B ) e. NN )
25	15, 24	pccld 15555	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> ( p pCnt ( # ` B ) ) e. NN0 )
26	16, 25	nnexpcld 13030	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) e. NN )
27	26	nnzd 11481	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) e. ZZ )
28		ablfac1.o	. . . . 5 |- O = ( od ` G )
29	28, 17	oddvdssubg 18258	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) e. ZZ ) -> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } e. (SubGrp ` G ) )
30	14, 27, 29	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } e. (SubGrp ` G ) )
31		ablfac1.s	. . 3 |- S = ( p e. A |-> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } )
32	30, 31	fmptd 6385	. 2 |- ( ph -> S : A --> (SubGrp ` G ) )
33	4	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. A /\ a =/= b ) ) -> G e. Abel )
34	32	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. A /\ a =/= b ) ) -> S : A --> (SubGrp ` G ) )
35		simpr1 1067	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. A /\ a =/= b ) ) -> a e. A )
36	34, 35	ffvelrnd 6360	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. A /\ a =/= b ) ) -> ( S ` a ) e. (SubGrp ` G ) )
37		simpr2 1068	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. A /\ a =/= b ) ) -> b e. A )
38	34, 37	ffvelrnd 6360	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. A /\ a =/= b ) ) -> ( S ` b ) e. (SubGrp ` G ) )
39	1, 33, 36, 38	ablcntzd 18260	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. A /\ a =/= b ) ) -> ( S ` a ) C_ ( (Cntz ` G ) ` ( S ` b ) ) )
40		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( p = a -> p = a )
41		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( p = a -> ( p pCnt ( # ` B ) ) = ( a pCnt ( # ` B ) ) )
42	40, 41	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( p = a -> ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) = ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) )
43	42	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( p = a -> ( ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) <-> ( O ` x ) || ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) )
44	43	rabbidv 3189	. . . . . . 7 |- ( p = a -> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } = { x e. B | ( O ` x ) || ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) } )
45		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` G ) e. _V
46	17, 45	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 |- B e. _V
47	46	rabex 4813	. . . . . . 7 |- { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } e. _V
48	44, 31, 47	fvmpt3i 6287	. . . . . 6 |- ( a e. A -> ( S ` a ) = { x e. B | ( O ` x ) || ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) } )
49	48	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( S ` a ) = { x e. B | ( O ` x ) || ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) } )
50		eqimss 3657	. . . . 5 |- ( ( S ` a ) = { x e. B | ( O ` x ) || ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) } -> ( S ` a ) C_ { x e. B | ( O ` x ) || ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) } )
51	49, 50	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( S ` a ) C_ { x e. B | ( O ` x ) || ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) } )
52	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> G e. Abel )
53		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
54	53	subgacs 17629	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> (SubGrp ` G ) e. (ACS ` ( Base ` G ) ) )
55		acsmre 16313	. . . . . 6 |- ( (SubGrp ` G ) e. (ACS ` ( Base ` G ) ) -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) )
56	52, 5, 54, 55	4syl 19	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) )
57		df-ima 5127	. . . . . . 7 |- ( S " ( A \ { a } ) ) = ran ( S |` ( A \ { a } ) )
58	7	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. Prime )
59	58	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> a e. Prime )
60	23	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( # ` B ) e. NN )
61		pcdvds 15568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. Prime /\ ( # ` B ) e. NN ) -> ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` B ) )
62	59, 60, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` B ) )
63	7	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> A C_ Prime )
64		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. ( A \ { a } ) -> p e. A )
65	64	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> p e. A )
66	63, 65	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> p e. Prime )
67		pcdvds 15568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p e. Prime /\ ( # ` B ) e. NN ) -> ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` B ) )
68	66, 60, 67	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` B ) )
69		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) = ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) )
70		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) = ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) )
71	17, 28, 31, 4, 20, 7, 69, 70	ablfac1lem 18467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) e. NN /\ ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) e. NN ) /\ ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) gcd ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) ) = 1 /\ ( # ` B ) = ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) ) ) )
72	71	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) e. NN /\ ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) e. NN ) )
73	72	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) e. NN )
74	73	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) e. NN )
75	74	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) e. ZZ )
76	66, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> p e. NN )
77	66, 60	pccld 15555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( p pCnt ( # ` B ) ) e. NN0 )
78	76, 77	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) e. NN )
79	78	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) e. ZZ )
80	60	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( # ` B ) e. ZZ )
81		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p e. ( A \ { a } ) -> p =/= a )
82	81	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> p =/= a )
83	82	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> a =/= p )
84		prmrp 15424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a e. Prime /\ p e. Prime ) -> ( ( a gcd p ) = 1 <-> a =/= p ) )
85	59, 66, 84	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( ( a gcd p ) = 1 <-> a =/= p ) )
86	83, 85	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( a gcd p ) = 1 )
87		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a e. Prime -> a e. ZZ )
88	59, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> a e. ZZ )
89		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
90	66, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> p e. ZZ )
91	59, 60	pccld 15555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( a pCnt ( # ` B ) ) e. NN0 )
92		rpexp12i 15434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. ZZ /\ p e. ZZ /\ ( ( a pCnt ( # ` B ) ) e. NN0 /\ ( p pCnt ( # ` B ) ) e. NN0 ) ) -> ( ( a gcd p ) = 1 -> ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) gcd ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) ) = 1 ) )
93	88, 90, 91, 77, 92	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( ( a gcd p ) = 1 -> ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) gcd ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) ) = 1 ) )
94	86, 93	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) gcd ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) ) = 1 )
95		coprmdvds2 15368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) e. ZZ /\ ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) e. ZZ /\ ( # ` B ) e. ZZ ) /\ ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) gcd ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) ) = 1 ) -> ( ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` B ) /\ ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` B ) ) -> ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) ) || ( # ` B ) ) )
96	75, 79, 80, 94, 95	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` B ) /\ ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` B ) ) -> ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) ) || ( # ` B ) ) )
97	62, 68, 96	mp2and 715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) ) || ( # ` B ) )
98	71	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( # ` B ) = ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) ) )
99	98	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( # ` B ) = ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) ) )
100	97, 99	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) ) || ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) ) )
101	72	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) e. NN )
102	101	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) e. NN )
103	102	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) e. ZZ )
104	74	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) =/= 0 )
105		dvdscmulr 15010	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) e. ZZ /\ ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) e. ZZ /\ ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) e. ZZ /\ ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) ) || ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) ) <-> ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) ) )
106	79, 103, 75, 104, 105	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) ) || ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) ) <-> ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) ) )
107	100, 106	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) )
108	17, 28	odcl 17955	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. B -> ( O ` x ) e. NN0 )
109	108	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( O ` x ) e. NN0 )
110	109	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( O ` x ) e. ZZ )
111		dvdstr 15018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( O ` x ) e. ZZ /\ ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) e. ZZ /\ ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) /\ ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) ) )
112	110, 79, 103, 111	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( ( ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) /\ ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) ) )
113	107, 112	mpan2d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) /\ x e. B ) -> ( ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) -> ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) ) )
114	113	ss2rabdv 3683	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) -> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } C_ { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } )
115	47	elpw 4164	. . . . . . . . . 10 |- ( { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } e. ~P { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } <-> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } C_ { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } )
116	114, 115	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. A ) /\ p e. ( A \ { a } ) ) -> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } e. ~P { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } )
117	31	reseq1i 5392	. . . . . . . . . 10 |- ( S |` ( A \ { a } ) ) = ( ( p e. A |-> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } ) |` ( A \ { a } ) )
118		difss 3737	. . . . . . . . . . 11 |- ( A \ { a } ) C_ A
119		resmpt 5449	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A \ { a } ) C_ A -> ( ( p e. A |-> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } ) |` ( A \ { a } ) ) = ( p e. ( A \ { a } ) |-> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } ) )
120	118, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. A |-> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } ) |` ( A \ { a } ) ) = ( p e. ( A \ { a } ) |-> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } )
121	117, 120	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- ( S |` ( A \ { a } ) ) = ( p e. ( A \ { a } ) |-> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } )
122	116, 121	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( S |` ( A \ { a } ) ) : ( A \ { a } ) --> ~P { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } )
123		frn 6053	. . . . . . . 8 |- ( ( S |` ( A \ { a } ) ) : ( A \ { a } ) --> ~P { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } -> ran ( S |` ( A \ { a } ) ) C_ ~P { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } )
124	122, 123	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ran ( S |` ( A \ { a } ) ) C_ ~P { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } )
125	57, 124	syl5eqss 3649	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( S " ( A \ { a } ) ) C_ ~P { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } )
126		sspwuni 4611	. . . . . 6 |- ( ( S " ( A \ { a } ) ) C_ ~P { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } <-> U. ( S " ( A \ { a } ) ) C_ { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } )
127	125, 126	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> U. ( S " ( A \ { a } ) ) C_ { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } )
128	101	nnzd 11481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) e. ZZ )
129	28, 17	oddvdssubg 18258	. . . . . 6 |- ( ( G e. Abel /\ ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) e. ZZ ) -> { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } e. (SubGrp ` G ) )
130	52, 128, 129	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } e. (SubGrp ` G ) )
131	3	mrcsscl 16280	. . . . 5 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ U. ( S " ( A \ { a } ) ) C_ { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } /\ { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } e. (SubGrp ` G ) ) -> ( (mrCls ` (SubGrp ` G ) ) ` U. ( S " ( A \ { a } ) ) ) C_ { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } )
132	56, 127, 130, 131	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( (mrCls ` (SubGrp ` G ) ) ` U. ( S " ( A \ { a } ) ) ) C_ { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } )
133		ss2in 3840	. . . 4 |- ( ( ( S ` a ) C_ { x e. B | ( O ` x ) || ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) } /\ ( (mrCls ` (SubGrp ` G ) ) ` U. ( S " ( A \ { a } ) ) ) C_ { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } ) -> ( ( S ` a ) i^i ( (mrCls ` (SubGrp ` G ) ) ` U. ( S " ( A \ { a } ) ) ) ) C_ ( { x e. B | ( O ` x ) || ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) } i^i { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } ) )
134	51, 132, 133	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( ( S ` a ) i^i ( (mrCls ` (SubGrp ` G ) ) ` U. ( S " ( A \ { a } ) ) ) ) C_ ( { x e. B | ( O ` x ) || ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) } i^i { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } ) )
135		eqid 2622	. . . . 5 |- { x e. B | ( O ` x ) || ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) } = { x e. B | ( O ` x ) || ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) }
136		eqid 2622	. . . . 5 |- { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } = { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) }
137	71	simp2d 1074	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) gcd ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) ) = 1 )
138		eqid 2622	. . . . 5 |- ( LSSum ` G ) = ( LSSum ` G )
139	17, 28, 135, 136, 52, 73, 101, 137, 98, 2, 138	ablfacrp 18465	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( ( { x e. B | ( O ` x ) || ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) } i^i { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } ) = { ( 0g ` G ) } /\ ( { x e. B | ( O ` x ) || ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) } ( LSSum ` G ) { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } ) = B ) )
140	139	simpld 475	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( { x e. B | ( O ` x ) || ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) } i^i { x e. B | ( O ` x ) || ( ( # ` B ) / ( a ^ ( a pCnt ( # ` B ) ) ) ) } ) = { ( 0g ` G ) } )
141	134, 140	sseqtrd 3641	. 2 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> ( ( S ` a ) i^i ( (mrCls ` (SubGrp ` G ) ) ` U. ( S " ( A \ { a } ) ) ) ) C_ { ( 0g ` G ) } )
142	1, 2, 3, 6, 13, 32, 39, 141	dmdprdd 18398	1 |- ( ph -> G dom DProd S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ^cexp 12860   #chash 13117   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541   Basecbs 15857   0gc0g 16100  Moorecmre 16242  mrClscmrc 16243  ACScacs 16245   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588  Cntzccntz 17748   odcod 17944   LSSumclsm 18049   Abelcabl 18194   DProd cdprd 18392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-eqg 17593  df-cntz 17750  df-od 17948  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-dprd 18394

This theorem is referenced by:  ablfac1c  18470  ablfac1eu  18472  ablfaclem2  18485  ablfaclem3  18486