Theorem ablfacrp 18465

Description: A finite abelian group whose order factors into relatively prime integers, itself "factors" into two subgroups K , L that have trivial intersection and whose product is the whole group. Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfacrp.b	|- B = ( Base ` G )
ablfacrp.o	|- O = ( od ` G )
ablfacrp.k	|- K = { x e. B | ( O ` x ) || M }
ablfacrp.l	|- L = { x e. B | ( O ` x ) || N }
ablfacrp.g	|- ( ph -> G e. Abel )
ablfacrp.m	|- ( ph -> M e. NN )
ablfacrp.n	|- ( ph -> N e. NN )
ablfacrp.1	|- ( ph -> ( M gcd N ) = 1 )
ablfacrp.2	|- ( ph -> ( # ` B ) = ( M x. N ) )
ablfacrp.z	|- .0. = ( 0g ` G )
ablfacrp.s	|- .(+) = ( LSSum ` G )

Assertion

Ref	Expression
ablfacrp	|- ( ph -> ( ( K i^i L ) = { .0. } /\ ( K .(+) L ) = B ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, G   x, O   x, M   x, N   ph, x   x, .0.

Allowed substitution hints:   .(+) ( x)   K( x)   L( x)

Proof of Theorem ablfacrp

Dummy variables a b g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablfacrp.k	. . . . . 6 |- K = { x e. B | ( O ` x ) || M }
2		ablfacrp.l	. . . . . 6 |- L = { x e. B | ( O ` x ) || N }
3	1, 2	ineq12i 3812	. . . . 5 |- ( K i^i L ) = ( { x e. B | ( O ` x ) || M } i^i { x e. B | ( O ` x ) || N } )
4		inrab 3899	. . . . 5 |- ( { x e. B | ( O ` x ) || M } i^i { x e. B | ( O ` x ) || N } ) = { x e. B | ( ( O ` x ) || M /\ ( O ` x ) || N ) }
5	3, 4	eqtri 2644	. . . 4 |- ( K i^i L ) = { x e. B | ( ( O ` x ) || M /\ ( O ` x ) || N ) }
6		ablfacrp.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B = ( Base ` G )
7		ablfacrp.o	. . . . . . . . . . . . . 14 |- O = ( od ` G )
8	6, 7	odcl 17955	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. B -> ( O ` x ) e. NN0 )
9	8	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( O ` x ) e. NN0 )
10	9	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( O ` x ) e. ZZ )
11		ablfacrp.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. NN )
12	11	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> M e. ZZ )
14		ablfacrp.n	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. NN )
15	14	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ZZ )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> N e. ZZ )
17		dvdsgcd 15261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( O ` x ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( O ` x ) || M /\ ( O ` x ) || N ) -> ( O ` x ) || ( M gcd N ) ) )
18	10, 13, 16, 17	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( ( O ` x ) || M /\ ( O ` x ) || N ) -> ( O ` x ) || ( M gcd N ) ) )
19	18	3impia 1261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ( ( O ` x ) || M /\ ( O ` x ) || N ) ) -> ( O ` x ) || ( M gcd N ) )
20		ablfacrp.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M gcd N ) = 1 )
21	20	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ( ( O ` x ) || M /\ ( O ` x ) || N ) ) -> ( M gcd N ) = 1 )
22	19, 21	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ( ( O ` x ) || M /\ ( O ` x ) || N ) ) -> ( O ` x ) || 1 )
23		simp2 1062	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ( ( O ` x ) || M /\ ( O ` x ) || N ) ) -> x e. B )
24		dvds1 15041	. . . . . . . . 9 |- ( ( O ` x ) e. NN0 -> ( ( O ` x ) || 1 <-> ( O ` x ) = 1 ) )
25	23, 8, 24	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ( ( O ` x ) || M /\ ( O ` x ) || N ) ) -> ( ( O ` x ) || 1 <-> ( O ` x ) = 1 ) )
26	22, 25	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ( ( O ` x ) || M /\ ( O ` x ) || N ) ) -> ( O ` x ) = 1 )
27		ablfacrp.g	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G e. Abel )
28		ablgrp 18198	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. Grp )
30	29	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ( ( O ` x ) || M /\ ( O ` x ) || N ) ) -> G e. Grp )
31		ablfacrp.z	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` G )
32	7, 31, 6	odeq1 17977	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( ( O ` x ) = 1 <-> x = .0. ) )
33	30, 23, 32	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ( ( O ` x ) || M /\ ( O ` x ) || N ) ) -> ( ( O ` x ) = 1 <-> x = .0. ) )
34	26, 33	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ( ( O ` x ) || M /\ ( O ` x ) || N ) ) -> x = .0. )
35		velsn 4193	. . . . . 6 |- ( x e. { .0. } <-> x = .0. )
36	34, 35	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ( ( O ` x ) || M /\ ( O ` x ) || N ) ) -> x e. { .0. } )
37	36	rabssdv 3682	. . . 4 |- ( ph -> { x e. B | ( ( O ` x ) || M /\ ( O ` x ) || N ) } C_ { .0. } )
38	5, 37	syl5eqss 3649	. . 3 |- ( ph -> ( K i^i L ) C_ { .0. } )
39	7, 6	oddvdssubg 18258	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Abel /\ M e. ZZ ) -> { x e. B | ( O ` x ) || M } e. (SubGrp ` G ) )
40	27, 12, 39	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. B | ( O ` x ) || M } e. (SubGrp ` G ) )
41	1, 40	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. (SubGrp ` G ) )
42	31	subg0cl 17602	. . . . . 6 |- ( K e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. K )
43	41, 42	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> .0. e. K )
44	7, 6	oddvdssubg 18258	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) -> { x e. B | ( O ` x ) || N } e. (SubGrp ` G ) )
45	27, 15, 44	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. B | ( O ` x ) || N } e. (SubGrp ` G ) )
46	2, 45	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. (SubGrp ` G ) )
47	31	subg0cl 17602	. . . . . 6 |- ( L e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. L )
48	46, 47	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> .0. e. L )
49	43, 48	elind 3798	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. ( K i^i L ) )
50	49	snssd 4340	. . 3 |- ( ph -> { .0. } C_ ( K i^i L ) )
51	38, 50	eqssd 3620	. 2 |- ( ph -> ( K i^i L ) = { .0. } )
52		ablfacrp.s	. . . . . 6 |- .(+) = ( LSSum ` G )
53	52	lsmsubg2 18262	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ K e. (SubGrp ` G ) /\ L e. (SubGrp ` G ) ) -> ( K .(+) L ) e. (SubGrp ` G ) )
54	27, 41, 46, 53	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( K .(+) L ) e. (SubGrp ` G ) )
55	6	subgss 17595	. . . 4 |- ( ( K .(+) L ) e. (SubGrp ` G ) -> ( K .(+) L ) C_ B )
56	54, 55	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( K .(+) L ) C_ B )
57		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
58	6, 57	mulg1 17548	. . . . . . 7 |- ( g e. B -> ( 1 (.g ` G ) g ) = g )
59	58	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> ( 1 (.g ` G ) g ) = g )
60		bezout 15260	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( M gcd N ) = ( ( M x. a ) + ( N x. b ) ) )
61	12, 15, 60	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( M gcd N ) = ( ( M x. a ) + ( N x. b ) ) )
62	61	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( M gcd N ) = ( ( M x. a ) + ( N x. b ) ) )
63	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( M gcd N ) = 1 )
64	63	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( M gcd N ) = ( ( M x. a ) + ( N x. b ) ) <-> 1 = ( ( M x. a ) + ( N x. b ) ) ) )
65	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
66		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> a e. ZZ )
67	65, 66	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( M x. a ) e. ZZ )
68	67	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( M x. a ) e. CC )
69	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
70		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> b e. ZZ )
71	69, 70	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( N x. b ) e. ZZ )
72	71	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( N x. b ) e. CC )
73	68, 72	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( M x. a ) + ( N x. b ) ) = ( ( N x. b ) + ( M x. a ) ) )
74	73	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( M x. a ) + ( N x. b ) ) (.g ` G ) g ) = ( ( ( N x. b ) + ( M x. a ) ) (.g ` G ) g ) )
75	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> G e. Grp )
76		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> g e. B )
77		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
78	6, 57, 77	mulgdir 17573	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( N x. b ) e. ZZ /\ ( M x. a ) e. ZZ /\ g e. B ) ) -> ( ( ( N x. b ) + ( M x. a ) ) (.g ` G ) g ) = ( ( ( N x. b ) (.g ` G ) g ) ( +g ` G ) ( ( M x. a ) (.g ` G ) g ) ) )
79	75, 71, 67, 76, 78	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( N x. b ) + ( M x. a ) ) (.g ` G ) g ) = ( ( ( N x. b ) (.g ` G ) g ) ( +g ` G ) ( ( M x. a ) (.g ` G ) g ) ) )
80	74, 79	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( M x. a ) + ( N x. b ) ) (.g ` G ) g ) = ( ( ( N x. b ) (.g ` G ) g ) ( +g ` G ) ( ( M x. a ) (.g ` G ) g ) ) )
81	41	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> K e. (SubGrp ` G ) )
82	46	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> L e. (SubGrp ` G ) )
83	6, 57	mulgcl 17559	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ ( N x. b ) e. ZZ /\ g e. B ) -> ( ( N x. b ) (.g ` G ) g ) e. B )
84	75, 71, 76, 83	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( N x. b ) (.g ` G ) g ) e. B )
85		ablfacrp.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( # ` B ) = ( M x. N ) )
86	11, 14	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( M x. N ) e. NN )
87	86	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( M x. N ) e. NN0 )
88	85, 87	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( # ` B ) e. NN0 )
89		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Base ` G ) e. _V
90	6, 89	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- B e. _V
91		hashclb 13149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( B e. _V -> ( B e. Fin <-> ( # ` B ) e. NN0 ) )
92	90, 91	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. Fin <-> ( # ` B ) e. NN0 )
93	88, 92	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> B e. Fin )
94	93	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> B e. Fin )
95	6, 7	oddvds2 17983	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G e. Grp /\ B e. Fin /\ g e. B ) -> ( O ` g ) || ( # ` B ) )
96	75, 94, 76, 95	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( O ` g ) || ( # ` B ) )
97	85	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( # ` B ) = ( M x. N ) )
98	96, 97	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( O ` g ) || ( M x. N ) )
99	6, 7	odcl 17955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( g e. B -> ( O ` g ) e. NN0 )
100	99	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( O ` g ) e. NN0 )
101	100	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( O ` g ) e. ZZ )
102	65, 69	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
103		dvdsmultr1 15019	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( O ` g ) e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( O ` g ) || ( M x. N ) -> ( O ` g ) || ( ( M x. N ) x. b ) ) )
104	101, 102, 70, 103	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( O ` g ) || ( M x. N ) -> ( O ` g ) || ( ( M x. N ) x. b ) ) )
105	98, 104	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( O ` g ) || ( ( M x. N ) x. b ) )
106	65	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> M e. CC )
107	69	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> N e. CC )
108	70	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> b e. CC )
109	106, 107, 108	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( M x. N ) x. b ) = ( M x. ( N x. b ) ) )
110	105, 109	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( O ` g ) || ( M x. ( N x. b ) ) )
111	6, 7, 57	odmulgid 17971	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. Grp /\ g e. B /\ ( N x. b ) e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> ( ( O ` ( ( N x. b ) (.g ` G ) g ) ) || M <-> ( O ` g ) || ( M x. ( N x. b ) ) ) )
112	75, 76, 71, 65, 111	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( O ` ( ( N x. b ) (.g ` G ) g ) ) || M <-> ( O ` g ) || ( M x. ( N x. b ) ) ) )
113	110, 112	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( O ` ( ( N x. b ) (.g ` G ) g ) ) || M )
114		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( ( N x. b ) (.g ` G ) g ) -> ( O ` x ) = ( O ` ( ( N x. b ) (.g ` G ) g ) ) )
115	114	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( ( N x. b ) (.g ` G ) g ) -> ( ( O ` x ) || M <-> ( O ` ( ( N x. b ) (.g ` G ) g ) ) || M ) )
116	115, 1	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N x. b ) (.g ` G ) g ) e. K <-> ( ( ( N x. b ) (.g ` G ) g ) e. B /\ ( O ` ( ( N x. b ) (.g ` G ) g ) ) || M ) )
117	84, 113, 116	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( N x. b ) (.g ` G ) g ) e. K )
118	6, 57	mulgcl 17559	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ ( M x. a ) e. ZZ /\ g e. B ) -> ( ( M x. a ) (.g ` G ) g ) e. B )
119	75, 67, 76, 118	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( M x. a ) (.g ` G ) g ) e. B )
120		dvdsmultr1 15019	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( O ` g ) e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ /\ a e. ZZ ) -> ( ( O ` g ) || ( M x. N ) -> ( O ` g ) || ( ( M x. N ) x. a ) ) )
121	101, 102, 66, 120	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( O ` g ) || ( M x. N ) -> ( O ` g ) || ( ( M x. N ) x. a ) ) )
122	98, 121	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( O ` g ) || ( ( M x. N ) x. a ) )
123		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. ZZ -> a e. CC )
124	123	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> a e. CC )
125		mulass 10024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC /\ a e. CC ) -> ( ( M x. N ) x. a ) = ( M x. ( N x. a ) ) )
126		mul12 10202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC /\ a e. CC ) -> ( M x. ( N x. a ) ) = ( N x. ( M x. a ) ) )
127	125, 126	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC /\ a e. CC ) -> ( ( M x. N ) x. a ) = ( N x. ( M x. a ) ) )
128	106, 107, 124, 127	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( M x. N ) x. a ) = ( N x. ( M x. a ) ) )
129	122, 128	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( O ` g ) || ( N x. ( M x. a ) ) )
130	6, 7, 57	odmulgid 17971	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. Grp /\ g e. B /\ ( M x. a ) e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( O ` ( ( M x. a ) (.g ` G ) g ) ) || N <-> ( O ` g ) || ( N x. ( M x. a ) ) ) )
131	75, 76, 67, 69, 130	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( O ` ( ( M x. a ) (.g ` G ) g ) ) || N <-> ( O ` g ) || ( N x. ( M x. a ) ) ) )
132	129, 131	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( O ` ( ( M x. a ) (.g ` G ) g ) ) || N )
133		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( ( M x. a ) (.g ` G ) g ) -> ( O ` x ) = ( O ` ( ( M x. a ) (.g ` G ) g ) ) )
134	133	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( ( M x. a ) (.g ` G ) g ) -> ( ( O ` x ) || N <-> ( O ` ( ( M x. a ) (.g ` G ) g ) ) || N ) )
135	134, 2	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M x. a ) (.g ` G ) g ) e. L <-> ( ( ( M x. a ) (.g ` G ) g ) e. B /\ ( O ` ( ( M x. a ) (.g ` G ) g ) ) || N ) )
136	119, 132, 135	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( M x. a ) (.g ` G ) g ) e. L )
137	77, 52	lsmelvali 18065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. (SubGrp ` G ) /\ L e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( ( N x. b ) (.g ` G ) g ) e. K /\ ( ( M x. a ) (.g ` G ) g ) e. L ) ) -> ( ( ( N x. b ) (.g ` G ) g ) ( +g ` G ) ( ( M x. a ) (.g ` G ) g ) ) e. ( K .(+) L ) )
138	81, 82, 117, 136, 137	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( N x. b ) (.g ` G ) g ) ( +g ` G ) ( ( M x. a ) (.g ` G ) g ) ) e. ( K .(+) L ) )
139	80, 138	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( M x. a ) + ( N x. b ) ) (.g ` G ) g ) e. ( K .(+) L ) )
140		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 = ( ( M x. a ) + ( N x. b ) ) -> ( 1 (.g ` G ) g ) = ( ( ( M x. a ) + ( N x. b ) ) (.g ` G ) g ) )
141	140	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 = ( ( M x. a ) + ( N x. b ) ) -> ( ( 1 (.g ` G ) g ) e. ( K .(+) L ) <-> ( ( ( M x. a ) + ( N x. b ) ) (.g ` G ) g ) e. ( K .(+) L ) ) )
142	139, 141	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( 1 = ( ( M x. a ) + ( N x. b ) ) -> ( 1 (.g ` G ) g ) e. ( K .(+) L ) ) )
143	64, 142	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ g e. B ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( M gcd N ) = ( ( M x. a ) + ( N x. b ) ) -> ( 1 (.g ` G ) g ) e. ( K .(+) L ) ) )
144	143	rexlimdvva 3038	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( M gcd N ) = ( ( M x. a ) + ( N x. b ) ) -> ( 1 (.g ` G ) g ) e. ( K .(+) L ) ) )
145	62, 144	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> ( 1 (.g ` G ) g ) e. ( K .(+) L ) )
146	59, 145	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> g e. ( K .(+) L ) )
147	146	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( g e. B -> g e. ( K .(+) L ) ) )
148	147	ssrdv 3609	. . 3 |- ( ph -> B C_ ( K .(+) L ) )
149	56, 148	eqssd 3620	. 2 |- ( ph -> ( K .(+) L ) = B )
150	51, 149	jca 554	1 |- ( ph -> ( ( K i^i L ) = { .0. } /\ ( K .(+) L ) = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   #chash 13117   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540  SubGrpcsubg 17588   odcod 17944   LSSumclsm 18049   Abelcabl 18194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-eqg 17593  df-cntz 17750  df-od 17948  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196

This theorem is referenced by:  ablfacrp2  18466  ablfac1b  18469