pellex - Mathbox for Stefan O'Rear

	Mathbox for Stefan O'Rear		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > pellex		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem pellex 37399

Description: Every Pell equation has a nontrivial solution. Theorem 62 in [vandenDries] p. 43. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pellex	$/\$

Distinct variable group:

Proof of Theorem pellex Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 12771	. . . . . . . 8
2		xpfi 8231	. . . . . . . 8 $/\$
3	1, 1, 2	mp2an 708	. . . . . . 7
4		isfinite 8549	. . . . . . 7
5	3, 4	mpbi 220	. . . . . 6
6		nnenom 12779	. . . . . . 7
7	6	ensymi 8006	. . . . . 6
8		sdomentr 8094	. . . . . 6 $/\$
9	5, 7, 8	mp2an 708	. . . . 5
10		ensym 8005	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	10	ad2antll 765	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		sdomentr 8094	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13	9, 11, 12	sylancr 695	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		opabssxp 5193	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
15	14	sseli 3599	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
16		simprrl 804	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17	16	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		nnabscl 14065	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
21	18, 19, 20	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22		zmodfz 12692	. . . . . . . . . . 11 $/\$
23	17, 21, 22	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24		simprrr 805	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25	24	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26		zmodfz 12692	. . . . . . . . . . 11 $/\$
27	25, 21, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	23, 27	jca 554	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	28	ex 450	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		elxp7 7201	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
31		opelxp 5146	. . . . . . . 8 $/\$
32	29, 30, 31	3imtr4g 285	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
33	15, 32	syl5 34	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	33	imp 445	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	34	adantlrr 757	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36		fveq2 6191	. . . . . 6
37	36	oveq1d 6665	. . . . 5
38		fveq2 6191	. . . . . 6
39	38	oveq1d 6665	. . . . 5
40	37, 39	opeq12d 4410	. . . 4
41	13, 35, 40	fphpd 37380	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12
43		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12
44	42, 43	bi2anan9 917	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
45		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13
46		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14
47	46	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
48	45, 47	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
49	48	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 $/\$
50	44, 49	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	cbvopabv 4722	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	51	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52	biimpi 206	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54		elopab 4983	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		elopab 4983	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56		simp3ll 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	56	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		simp3lr 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		simp1lr 1125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	62	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	66	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		simp2ll 1128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	68	3adant2l 1320	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		simp2lr 1129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	70	3adant2l 1320	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		simp1rl 1126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
76		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
77		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
78	75, 76, 77	3netr3d 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
79		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
80		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
81	79, 80	opth 4945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
82	81	necon3abii 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
83	78, 82	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
84	72, 73, 74, 83	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85		simp1lr 1125	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86		simp1rr 1127	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	86	3adant1l 1318	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		simp2rr 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
91		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
92		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
93	91, 92	opth 4945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
94	90, 93	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
95		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
96		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
97	96	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
98	79, 80	op1st 7176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
99	97, 98	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
101		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
102	101	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
103		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
104		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
105	103, 104	op1st 7176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
106	102, 105	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
107	106	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
108	95, 100, 107	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
109		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
110	96	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
111	79, 80	op2nd 7177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
112	110, 111	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
113	112	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
114	101	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
115	103, 104	op2nd 7177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
116	114, 115	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
118	109, 113, 117	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
119	108, 118	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	119	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
121	120	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	94, 121	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
123	73, 72, 89, 122	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	123	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	123	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	58, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 84, 85, 87, 88, 124, 125	pellexlem6 37398	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	126	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	127	exlimdvv 1862	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	55, 128	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	ex 450	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	130	exlimdvv 1862	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	54, 131	syl5bi 232	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	132	impd 447	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	53, 133	sylan2i 687	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	134	rexlimdvv 3037	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	135	imp 445	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	136	adantlrr 757	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	41, 137	mpdan 702	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139		pellexlem5 37397	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	138, 139	r19.29a 3078	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913

cvv 3200

cop 4183 class class class wbr 4653

copab 4712

cxp 5112

cfv 5888 (class class class)co 6650

com 7065

c1st 7166

c2nd 7167

cen 7952

csdm 7954

cfn 7955

cc0 9936

c1 9937

cmul 9941

cmin 10266

cn 11020

c2 11070

cz 11377

cq 11788

cfz 12326

cmo 12668

cexp 12860

csqrt 13973

cabs 13974

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-omul 7565 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-acn 8768 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-numer 15443 df-denom 15444

This theorem is referenced by: pellqrex 37443

W3C validator