Theorem pjhthlem2 28251

Description: Lemma for pjhth 28252. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjhth.1	|- H e. CH
pjhth.2	|- ( ph -> A e. ~H )

Assertion

Ref	Expression
pjhthlem2	|- ( ph -> E. x e. H E. y e. ( _|_ ` H ) A = ( x +h y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, H, y   ph, x, y

Proof of Theorem pjhthlem2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhth.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ~H )
2	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. H /\ A. z e. H ( normh ` ( A -h x ) ) <_ ( normh ` ( A -h z ) ) ) ) -> A e. ~H )
3		pjhth.1	. . . . . . 7 |- H e. CH
4	3	cheli 28089	. . . . . 6 |- ( x e. H -> x e. ~H )
5	4	ad2antrl 764	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. H /\ A. z e. H ( normh ` ( A -h x ) ) <_ ( normh ` ( A -h z ) ) ) ) -> x e. ~H )
6		hvsubcl 27874	. . . . 5 |- ( ( A e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( A -h x ) e. ~H )
7	2, 5, 6	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. H /\ A. z e. H ( normh ` ( A -h x ) ) <_ ( normh ` ( A -h z ) ) ) ) -> ( A -h x ) e. ~H )
8	2	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. H /\ A. z e. H ( normh ` ( A -h x ) ) <_ ( normh ` ( A -h z ) ) ) ) /\ y e. H ) -> A e. ~H )
9		simplrl 800	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. H /\ A. z e. H ( normh ` ( A -h x ) ) <_ ( normh ` ( A -h z ) ) ) ) /\ y e. H ) -> x e. H )
10		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. H /\ A. z e. H ( normh ` ( A -h x ) ) <_ ( normh ` ( A -h z ) ) ) ) /\ y e. H ) -> y e. H )
11		simplrr 801	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. H /\ A. z e. H ( normh ` ( A -h x ) ) <_ ( normh ` ( A -h z ) ) ) ) /\ y e. H ) -> A. z e. H ( normh ` ( A -h x ) ) <_ ( normh ` ( A -h z ) ) )
12		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ( ( A -h x ) .ih y ) / ( ( y .ih y ) + 1 ) ) = ( ( ( A -h x ) .ih y ) / ( ( y .ih y ) + 1 ) )
13	3, 8, 9, 10, 11, 12	pjhthlem1 28250	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. H /\ A. z e. H ( normh ` ( A -h x ) ) <_ ( normh ` ( A -h z ) ) ) ) /\ y e. H ) -> ( ( A -h x ) .ih y ) = 0 )
14	13	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. H /\ A. z e. H ( normh ` ( A -h x ) ) <_ ( normh ` ( A -h z ) ) ) ) -> A. y e. H ( ( A -h x ) .ih y ) = 0 )
15	3	chshii 28084	. . . . 5 |- H e. SH
16		shocel 28141	. . . . 5 |- ( H e. SH -> ( ( A -h x ) e. ( _|_ ` H ) <-> ( ( A -h x ) e. ~H /\ A. y e. H ( ( A -h x ) .ih y ) = 0 ) ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( A -h x ) e. ( _|_ ` H ) <-> ( ( A -h x ) e. ~H /\ A. y e. H ( ( A -h x ) .ih y ) = 0 ) )
18	7, 14, 17	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. H /\ A. z e. H ( normh ` ( A -h x ) ) <_ ( normh ` ( A -h z ) ) ) ) -> ( A -h x ) e. ( _|_ ` H ) )
19		hvpncan3 27899	. . . . 5 |- ( ( x e. ~H /\ A e. ~H ) -> ( x +h ( A -h x ) ) = A )
20	5, 2, 19	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. H /\ A. z e. H ( normh ` ( A -h x ) ) <_ ( normh ` ( A -h z ) ) ) ) -> ( x +h ( A -h x ) ) = A )
21	20	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. H /\ A. z e. H ( normh ` ( A -h x ) ) <_ ( normh ` ( A -h z ) ) ) ) -> A = ( x +h ( A -h x ) ) )
22		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( y = ( A -h x ) -> ( x +h y ) = ( x +h ( A -h x ) ) )
23	22	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( y = ( A -h x ) -> ( A = ( x +h y ) <-> A = ( x +h ( A -h x ) ) ) )
24	23	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( ( A -h x ) e. ( _|_ ` H ) /\ A = ( x +h ( A -h x ) ) ) -> E. y e. ( _|_ ` H ) A = ( x +h y ) )
25	18, 21, 24	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. H /\ A. z e. H ( normh ` ( A -h x ) ) <_ ( normh ` ( A -h z ) ) ) ) -> E. y e. ( _|_ ` H ) A = ( x +h y ) )
26		df-hba 27826	. . . 4 |- ~H = ( BaseSet ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
27		eqid 2622	. . . . 5 |- <. <. +h , .h >. , normh >. = <. <. +h , .h >. , normh >.
28	27	hhvs 28027	. . . 4 |- -h = ( -v ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
29	27	hhnm 28028	. . . 4 |- normh = ( normCV ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
30		eqid 2622	. . . . 5 |- <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >. = <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >.
31	30, 15	hhssba 28128	. . . 4 |- H = ( BaseSet ` <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >. )
32	27	hhph 28035	. . . . 5 |- <. <. +h , .h >. , normh >. e. CPreHil OLD
33	32	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> <. <. +h , .h >. , normh >. e. CPreHil OLD )
34	27, 30	hhsst 28123	. . . . . . 7 |- ( H e. SH -> <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >. e. ( SubSp ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) )
35	15, 34	ax-mp 5	. . . . . 6 |- <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >. e. ( SubSp ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
36	30, 3	hhssbn 28137	. . . . . 6 |- <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >. e. CBan
37		elin 3796	. . . . . 6 |- ( <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >. e. ( ( SubSp ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) i^i CBan ) <-> ( <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >. e. ( SubSp ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) /\ <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >. e. CBan ) )
38	35, 36, 37	mpbir2an 955	. . . . 5 |- <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >. e. ( ( SubSp ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) i^i CBan )
39	38	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >. e. ( ( SubSp ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) i^i CBan ) )
40	26, 28, 29, 31, 33, 39, 1	minveco 27740	. . 3 |- ( ph -> E! x e. H A. z e. H ( normh ` ( A -h x ) ) <_ ( normh ` ( A -h z ) ) )
41		reurex 3160	. . 3 |- ( E! x e. H A. z e. H ( normh ` ( A -h x ) ) <_ ( normh ` ( A -h z ) ) -> E. x e. H A. z e. H ( normh ` ( A -h x ) ) <_ ( normh ` ( A -h z ) ) )
42	40, 41	syl 17	. 2 |- ( ph -> E. x e. H A. z e. H ( normh ` ( A -h x ) ) <_ ( normh ` ( A -h z ) ) )
43	25, 42	reximddv 3018	1 |- ( ph -> E. x e. H E. y e. ( _|_ ` H ) A = ( x +h y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   i^i cin 3573   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   / cdiv 10684   SubSpcss 27576   CPreHil OLDccphlo 27667   CBanccbn 27718   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   .ih csp 27779   normhcno 27780   -h cmv 27782   SHcsh 27785   CHcch 27786   _|_cort 27787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942  ax-hcompl 28059

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lm 21033  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110

This theorem is referenced by:  pjhth  28252  omlsii  28262