Proof of Theorem pmatcollpw3fi1lem1
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpr 477 |
. . . . 5
g
g
|
2 | | pmatcollpw.p |
. . . . . . . . . . 11
Poly1 |
3 | | pmatcollpw.c |
. . . . . . . . . . 11
Mat |
4 | 2, 3 | pmatring 20498 |
. . . . . . . . . 10
|
5 | | ringmnd 18556 |
. . . . . . . . . 10
|
6 | 4, 5 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
|
7 | 6 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
|
8 | | pmatcollpw.b |
. . . . . . . . 9
|
9 | | ringcmn 18581 |
. . . . . . . . . . 11
CMnd |
10 | 4, 9 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
CMnd |
11 | 10 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
CMnd |
12 | | snfi 8038 |
. . . . . . . . . 10
|
13 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
|
14 | | simplll 798 |
. . . . . . . . . . 11
|
15 | | simpllr 799 |
. . . . . . . . . . 11
|
16 | | elmapi 7879 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
17 | 16 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
|
18 | 17 | ffvelrnda 6359 |
. . . . . . . . . . 11
|
19 | | elsni 4194 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
20 | | 0nn0 11307 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
21 | 19, 20 | syl6eqel 2709 |
. . . . . . . . . . . 12
|
22 | 21 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . 11
|
23 | | pmatcollpw3.a |
. . . . . . . . . . . 12
Mat |
24 | | pmatcollpw3.d |
. . . . . . . . . . . 12
|
25 | | pmatcollpw.t |
. . . . . . . . . . . 12
matToPolyMat |
26 | | pmatcollpw.m |
. . . . . . . . . . . 12
|
27 | | pmatcollpw.e |
. . . . . . . . . . . 12
.gmulGrp |
28 | | pmatcollpw.x |
. . . . . . . . . . . 12
var1 |
29 | 23, 24, 25, 2, 3, 8,
26, 27, 28 | mat2pmatscmxcl 20545 |
. . . . . . . . . . 11
|
30 | 14, 15, 18, 22, 29 | syl22anc 1327 |
. . . . . . . . . 10
|
31 | 30 | ralrimiva 2966 |
. . . . . . . . 9
|
32 | 8, 11, 13, 31 | gsummptcl 18366 |
. . . . . . . 8
g
|
33 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . 9
|
34 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . 9
|
35 | 8, 33, 34 | mndrid 17312 |
. . . . . . . 8
g
g g |
36 | 7, 32, 35 | syl2anc 693 |
. . . . . . 7
g
g
|
37 | | 0z 11388 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
38 | | fzsn 12383 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
39 | 37, 38 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
|
40 | 39 | eqcomi 2631 |
. . . . . . . . . . 11
|
41 | 40 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
|
42 | | pmatcollpw3fi1lem1.h |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
43 | 42 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
44 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
45 | 19 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
46 | 44, 45 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
47 | 46 | iftrued 4094 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
48 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
49 | 48 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
50 | 19, 49 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
51 | 50 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
52 | 47, 51 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
53 | | 1nn0 11308 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
54 | 53 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
55 | | nn0uz 11722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
56 | 54, 55 | syl6eleq 2711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
57 | | eluzfz1 12348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
58 | 56, 57 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
59 | | eleq1 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
60 | 58, 59 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
61 | 19, 60 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
62 | 61 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
63 | | ffvelrn 6357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
64 | 63 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
65 | 16, 64 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
66 | 65 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
67 | 66 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
68 | 43, 52, 62, 67 | fvmptd 6288 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
69 | 68 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . 12
|
70 | 69 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . 11
|
71 | 70 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . 10
|
72 | 41, 71 | mpteq12dva 4732 |
. . . . . . . . 9
|
73 | 72 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . 8
g
g
|
74 | | ovexd 6680 |
. . . . . . . . . 10
|
75 | 8, 34 | mndidcl 17308 |
. . . . . . . . . . . 12
|
76 | 6, 75 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
|
77 | 76 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
|
78 | 42 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
79 | | 0p1e1 11132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
80 | 79 | eqeq2i 2634 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
81 | | ax-1ne0 10005 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
82 | 81 | neii 2796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
83 | | eqeq1 2626 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
84 | 82, 83 | mtbiri 317 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
85 | 80, 84 | sylbi 207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
86 | 85 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
87 | | eqeq1 2626 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
88 | 87 | notbid 308 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
89 | 88 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
90 | 86, 89 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
91 | 90 | iffalsed 4097 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
92 | | pmatcollpw3fi1lem1.0 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
93 | 91, 92 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
94 | 53 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
95 | 94, 55 | syl6eleq 2711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
96 | | eluzfz2 12349 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
97 | 95, 96 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
98 | | eleq1 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
99 | 97, 98 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
100 | 80, 99 | sylbi 207 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
101 | 100 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
102 | | fvexd 6203 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
103 | 78, 93, 101, 102 | fvmptd 6288 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
104 | 103 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
105 | 23 | fveq2i 6194 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
Mat |
106 | 3 | fveq2i 6194 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
Mat |
107 | 25, 2, 105, 106 | 0mat2pmat 20541 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
108 | 107 | ancoms 469 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
109 | 108 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
110 | 104, 109 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . 12
|
111 | 110 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . 11
|
112 | 2, 3 | pmatlmod 20499 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
113 | 112 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . 12
|
114 | | simpllr 799 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
115 | | eleq1 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
116 | 94, 115 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
117 | 80, 116 | sylbi 207 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
118 | 117 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
119 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
mulGrp mulGrp |
120 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
121 | 2, 28, 119, 27, 120 | ply1moncl 19641 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
122 | 114, 118,
121 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
123 | 2 | ply1ring 19618 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
124 | 3 | matsca2 20226 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Scalar |
125 | 123, 124 | sylan2 491 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
Scalar |
126 | 125 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
Scalar |
127 | 126 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
Scalar |
128 | 127 | eleq2d 2687 |
. . . . . . . . . . . . . 14
Scalar
|
129 | 128 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . 13
Scalar
|
130 | 122, 129 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . 12
Scalar |
131 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . 13
Scalar Scalar |
132 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . 13
Scalar Scalar |
133 | 131, 26, 132, 34 | lmodvs0 18897 |
. . . . . . . . . . . 12
Scalar |
134 | 113, 130,
133 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . 11
|
135 | 111, 134 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . 10
|
136 | 8, 7, 74, 77, 135 | gsumsnd 18352 |
. . . . . . . . 9
g
|
137 | 136 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . 8
g
|
138 | 73, 137 | oveq12d 6668 |
. . . . . . 7
g
g
g |
139 | 36, 138 | eqtr3d 2658 |
. . . . . 6
g
g
g
|
140 | 139 | adantr 481 |
. . . . 5
g
g g
g
|
141 | 1, 140 | eqtrd 2656 |
. . . 4
g
g
g |
142 | 141 | 3impa 1259 |
. . 3
g
g
g |
143 | 20 | a1i 11 |
. . . . 5
|
144 | | simplll 798 |
. . . . . 6
|
145 | | simpllr 799 |
. . . . . 6
|
146 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
147 | | c0ex 10034 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
148 | 147 | snid 4208 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
149 | 148 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
150 | 146, 149 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . . . . . . . 12
|
151 | 16, 150 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
|
152 | 151 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . 10
|
153 | 23 | matring 20249 |
. . . . . . . . . . . 12
|
154 | 24, 92 | ring0cl 18569 |
. . . . . . . . . . . 12
|
155 | 153, 154 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
|
156 | 155 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . 10
|
157 | 152, 156 | ifcld 4131 |
. . . . . . . . 9
|
158 | 157, 42 | fmptd 6385 |
. . . . . . . 8
|
159 | 79 | oveq2i 6661 |
. . . . . . . . 9
|
160 | 159 | feq2i 6037 |
. . . . . . . 8
|
161 | 158, 160 | sylibr 224 |
. . . . . . 7
|
162 | 161 | ffvelrnda 6359 |
. . . . . 6
|
163 | | elfznn0 12433 |
. . . . . . 7
|
164 | 163 | adantl 482 |
. . . . . 6
|
165 | 23, 24, 25, 2, 3, 8,
26, 27, 28 | mat2pmatscmxcl 20545 |
. . . . . 6
|
166 | 144, 145,
162, 164, 165 | syl22anc 1327 |
. . . . 5
|
167 | 8, 33, 11, 143, 166 | gsummptfzsplit 18332 |
. . . 4
g g g
|
168 | 167 | 3adant3 1081 |
. . 3
g
g g g
|
169 | 142, 168 | eqtr4d 2659 |
. 2
g
g |
170 | | mpteq1 4737 |
. . . 4
|
171 | 159, 170 | ax-mp 5 |
. . 3
|
172 | 171 | oveq2i 6661 |
. 2
g
g |
173 | 169, 172 | syl6eq 2672 |
1
g
g |