Theorem pmatcollpw3fi1lem1 20591

Description: Lemma 1 for pmatcollpw3fi1 20593. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmatcollpw.p	|- P = (Poly1 ` R )
pmatcollpw.c	|- C = ( N Mat P )
pmatcollpw.b	|- B = ( Base ` C )
pmatcollpw.m	|- .* = ( .s ` C )
pmatcollpw.e	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
pmatcollpw.x	|- X = (var1 ` R )
pmatcollpw.t	|- T = ( N matToPolyMat R )
pmatcollpw3.a	|- A = ( N Mat R )
pmatcollpw3.d	|- D = ( Base ` A )
pmatcollpw3fi1lem1.0	|- .0. = ( 0g ` A )
pmatcollpw3fi1lem1.h	|- H = ( l e. ( 0 ... 1 ) |-> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) )

Assertion

Ref	Expression
pmatcollpw3fi1lem1	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, n   n, M   n, N   P, n   R, n   n, X   .^ , n   C, n   B, l   M, l   N, l   R, l   D, l, n   A, l   G, l, n

Allowed substitution hints:   A( n)   C( l)   P( l)   T( n, l)   .^ ( l)   H( n, l)   .* ( n, l)   X( l)   .0. ( n, l)

Proof of Theorem pmatcollpw3fi1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) )
2		pmatcollpw.p	. . . . . . . . . . 11 |- P = (Poly1 ` R )
3		pmatcollpw.c	. . . . . . . . . . 11 |- C = ( N Mat P )
4	2, 3	pmatring 20498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Ring )
5		ringmnd 18556	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. Ring -> C e. Mnd )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Mnd )
7	6	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> C e. Mnd )
8		pmatcollpw.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` C )
9		ringcmn 18581	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. Ring -> C e. CMnd )
10	4, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. CMnd )
11	10	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> C e. CMnd )
12		snfi 8038	. . . . . . . . . 10 |- { 0 } e. Fin
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> { 0 } e. Fin )
14		simplll 798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> N e. Fin )
15		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> R e. Ring )
16		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. ( D ^m { 0 } ) -> G : { 0 } --> D )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> G : { 0 } --> D )
18	17	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( G ` n ) e. D )
19		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. { 0 } -> n = 0 )
20		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. NN0
21	19, 20	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. { 0 } -> n e. NN0 )
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> n e. NN0 )
23		pmatcollpw3.a	. . . . . . . . . . . 12 |- A = ( N Mat R )
24		pmatcollpw3.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( Base ` A )
25		pmatcollpw.t	. . . . . . . . . . . 12 |- T = ( N matToPolyMat R )
26		pmatcollpw.m	. . . . . . . . . . . 12 |- .* = ( .s ` C )
27		pmatcollpw.e	. . . . . . . . . . . 12 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
28		pmatcollpw.x	. . . . . . . . . . . 12 |- X = (var1 ` R )
29	23, 24, 25, 2, 3, 8, 26, 27, 28	mat2pmatscmxcl 20545	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( ( G ` n ) e. D /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) e. B )
30	14, 15, 18, 22, 29	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) e. B )
31	30	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> A. n e. { 0 } ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) e. B )
32	8, 11, 13, 31	gsummptcl 18366	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) e. B )
33		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` C ) = ( +g ` C )
34		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` C ) = ( 0g ` C )
35	8, 33, 34	mndrid 17312	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. Mnd /\ ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) e. B ) -> ( ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( 0g ` C ) ) = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) )
36	7, 32, 35	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( 0g ` C ) ) = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) )
37		0z 11388	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ZZ
38		fzsn 12383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... 0 ) = { 0 } )
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... 0 ) = { 0 }
40	39	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 } = ( 0 ... 0 )
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> { 0 } = ( 0 ... 0 ) )
42		pmatcollpw3fi1lem1.h	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- H = ( l e. ( 0 ... 1 ) |-> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) )
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> H = ( l e. ( 0 ... 1 ) |-> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) ) )
44		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> l = n )
45	19	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> n = 0 )
46	44, 45	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> l = 0 )
47	46	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) = ( G ` 0 ) )
48		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 0 -> ( G ` n ) = ( G ` 0 ) )
49	48	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 0 -> ( G ` 0 ) = ( G ` n ) )
50	19, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. { 0 } -> ( G ` 0 ) = ( G ` n ) )
51	50	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> ( G ` 0 ) = ( G ` n ) )
52	47, 51	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) /\ l = n ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) = ( G ` n ) )
53		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. NN0
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = 0 -> 1 e. NN0 )
55		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
56	54, 55	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 0 -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
57		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... 1 ) )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 0 -> 0 e. ( 0 ... 1 ) )
59		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 0 -> ( n e. ( 0 ... 1 ) <-> 0 e. ( 0 ... 1 ) ) )
60	58, 59	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 0 -> n e. ( 0 ... 1 ) )
61	19, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. { 0 } -> n e. ( 0 ... 1 ) )
62	61	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> n e. ( 0 ... 1 ) )
63		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G : { 0 } --> D /\ n e. { 0 } ) -> ( G ` n ) e. D )
64	63	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G : { 0 } --> D -> ( n e. { 0 } -> ( G ` n ) e. D ) )
65	16, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. ( D ^m { 0 } ) -> ( n e. { 0 } -> ( G ` n ) e. D ) )
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( n e. { 0 } -> ( G ` n ) e. D ) )
67	66	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( G ` n ) e. D )
68	43, 52, 62, 67	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( H ` n ) = ( G ` n ) )
69	68	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( G ` n ) = ( H ` n ) )
70	69	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( T ` ( G ` n ) ) = ( T ` ( H ` n ) ) )
71	70	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. { 0 } ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) = ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) )
72	41, 71	mpteq12dva 4732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) = ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) )
73	72	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )
74		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( 0 + 1 ) e. _V )
75	8, 34	mndidcl 17308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. Mnd -> ( 0g ` C ) e. B )
76	6, 75	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 0g ` C ) e. B )
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( 0g ` C ) e. B )
78	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> H = ( l e. ( 0 ... 1 ) |-> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) ) )
79		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 0 + 1 ) = 1
80	79	eqeq2i 2634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = ( 0 + 1 ) <-> n = 1 )
81		ax-1ne0 10005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 =/= 0
82	81	neii 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- -. 1 = 0
83		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = 1 -> ( n = 0 <-> 1 = 0 ) )
84	82, 83	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = 1 -> -. n = 0 )
85	80, 84	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = ( 0 + 1 ) -> -. n = 0 )
86	85	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> -. n = 0 )
87		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l = n -> ( l = 0 <-> n = 0 ) )
88	87	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = n -> ( -. l = 0 <-> -. n = 0 ) )
89	88	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> ( -. l = 0 <-> -. n = 0 ) )
90	86, 89	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> -. l = 0 )
91	90	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) = .0. )
92		pmatcollpw3fi1lem1.0	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- .0. = ( 0g ` A )
93	91, 92	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) /\ l = n ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) = ( 0g ` A ) )
94	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = 1 -> 1 e. NN0 )
95	94, 55	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = 1 -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
96		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 1 e. ( 0 ... 1 ) )
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 1 -> 1 e. ( 0 ... 1 ) )
98		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 1 -> ( n e. ( 0 ... 1 ) <-> 1 e. ( 0 ... 1 ) ) )
99	97, 98	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 1 -> n e. ( 0 ... 1 ) )
100	80, 99	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( 0 + 1 ) -> n e. ( 0 ... 1 ) )
101	100	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> n e. ( 0 ... 1 ) )
102		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( 0g ` A ) e. _V )
103	78, 93, 101, 102	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( H ` n ) = ( 0g ` A ) )
104	103	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( T ` ( H ` n ) ) = ( T ` ( 0g ` A ) ) )
105	23	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` A ) = ( 0g ` ( N Mat R ) )
106	3	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` C ) = ( 0g ` ( N Mat P ) )
107	25, 2, 105, 106	0mat2pmat 20541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> ( T ` ( 0g ` A ) ) = ( 0g ` C ) )
108	107	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( T ` ( 0g ` A ) ) = ( 0g ` C ) )
109	108	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( T ` ( 0g ` A ) ) = ( 0g ` C ) )
110	104, 109	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( T ` ( H ` n ) ) = ( 0g ` C ) )
111	110	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) = ( ( n .^ X ) .* ( 0g ` C ) ) )
112	2, 3	pmatlmod 20499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. LMod )
113	112	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> C e. LMod )
114		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> R e. Ring )
115		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 1 -> ( n e. NN0 <-> 1 e. NN0 ) )
116	94, 115	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 1 -> n e. NN0 )
117	80, 116	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( 0 + 1 ) -> n e. NN0 )
118	117	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> n e. NN0 )
119		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (mulGrp ` P ) = (mulGrp ` P )
120		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
121	2, 28, 119, 27, 120	ply1moncl 19641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ n e. NN0 ) -> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) )
122	114, 118, 121	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) )
123	2	ply1ring 19618	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
124	3	matsca2 20226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. Fin /\ P e. Ring ) -> P = (Scalar ` C ) )
125	123, 124	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> P = (Scalar ` C ) )
126	125	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> (Scalar ` C ) = P )
127	126	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Base ` (Scalar ` C ) ) = ( Base ` P ) )
128	127	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) <-> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) ) )
129	128	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) <-> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) ) )
130	122, 129	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) )
131		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Scalar ` C ) = (Scalar ` C )
132		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` (Scalar ` C ) ) = ( Base ` (Scalar ` C ) )
133	131, 26, 132, 34	lmodvs0 18897	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. LMod /\ ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( 0g ` C ) ) = ( 0g ` C ) )
134	113, 130, 133	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( 0g ` C ) ) = ( 0g ` C ) )
135	111, 134	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n = ( 0 + 1 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) = ( 0g ` C ) )
136	8, 7, 74, 77, 135	gsumsnd 18352	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) = ( 0g ` C ) )
137	136	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( 0g ` C ) = ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )
138	73, 137	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( 0g ` C ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
139	36, 138	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
140	139	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
141	1, 140	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
142	141	3impa 1259	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
143	20	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> 0 e. NN0 )
144		simplll 798	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> N e. Fin )
145		simpllr 799	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> R e. Ring )
146		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : { 0 } --> D -> G : { 0 } --> D )
147		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. _V
148	147	snid 4208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. { 0 }
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : { 0 } --> D -> 0 e. { 0 } )
150	146, 149	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G : { 0 } --> D -> ( G ` 0 ) e. D )
151	16, 150	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. ( D ^m { 0 } ) -> ( G ` 0 ) e. D )
152	151	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ l e. ( 0 ... 1 ) ) -> ( G ` 0 ) e. D )
153	23	matring 20249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
154	24, 92	ring0cl 18569	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Ring -> .0. e. D )
155	153, 154	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> .0. e. D )
156	155	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ l e. ( 0 ... 1 ) ) -> .0. e. D )
157	152, 156	ifcld 4131	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ l e. ( 0 ... 1 ) ) -> if ( l = 0 , ( G ` 0 ) , .0. ) e. D )
158	157, 42	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> H : ( 0 ... 1 ) --> D )
159	79	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = ( 0 ... 1 )
160	159	feq2i 6037	. . . . . . . 8 |- ( H : ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) --> D <-> H : ( 0 ... 1 ) --> D )
161	158, 160	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> H : ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) --> D )
162	161	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> ( H ` n ) e. D )
163		elfznn0 12433	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) -> n e. NN0 )
164	163	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> n e. NN0 )
165	23, 24, 25, 2, 3, 8, 26, 27, 28	mat2pmatscmxcl 20545	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( ( H ` n ) e. D /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) e. B )
166	144, 145, 162, 164, 165	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) /\ n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) e. B )
167	8, 33, 11, 143, 166	gsummptfzsplit 18332	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) ) -> ( C gsumg ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
168	167	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> ( C gsumg ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) = ( ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 0 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ( +g ` C ) ( C gsumg ( n e. { ( 0 + 1 ) } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) ) )
169	142, 168	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )
170		mpteq1 4737	. . . 4 |- ( ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = ( 0 ... 1 ) -> ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) = ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) )
171	159, 170	ax-mp 5	. . 3 |- ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) = ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) )
172	171	oveq2i 6661	. 2 |- ( C gsumg ( n e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) )
173	169, 172	syl6eq 2672	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ G e. ( D ^m { 0 } ) /\ M = ( C gsumg ( n e. { 0 } |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( G ` n ) ) ) ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... 1 ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( H ` n ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   ifcif 4086   {csn 4177   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   LModclmod 18863  var₁cv1 19546  Poly₁cpl1 19547   Mat cmat 20213   matToPolyMat cmat2pmat 20509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-mat2pmat 20512

This theorem is referenced by:  pmatcollpw3fi1lem2  20592