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Theorem prmpwdvds 15608

Description: A relation involving divisibility by a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
prmpwdvds	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem prmpwdvds Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 790	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
2		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13
3	2	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
4	3	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11
5		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15
6	5	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
7	6	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
8	7	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12
9	8	notbid 308	. . . . . . . . . . 11
10	4, 9	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
11	2	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10
12	10, 11	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
13	12	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
14	13	imbi2d 330	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13
16	15	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
17	16	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11
18		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15
19	18	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
20	19	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
21	20	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12
22	21	notbid 308	. . . . . . . . . . 11
23	17, 22	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
24	15	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10
25	23, 24	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
26	25	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
27	26	imbi2d 330	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13
29	28	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
30	29	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11
31		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
34	33	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12
35	34	notbid 308	. . . . . . . . . . 11
36	30, 35	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
37	28	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10
38	36, 37	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
39	38	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
40	39	imbi2d 330	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
43	42	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11
44		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15
45	44	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
46	45	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
47	46	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12
48	47	notbid 308	. . . . . . . . . . 11
49	43, 48	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
50	41	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10
51	49, 50	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
52	51	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
53	52	imbi2d 330	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14
55		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15
56	55	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . 14
57	54, 56	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
58		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13
59	57, 58	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
60	59	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
62		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
63		coprm 15423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
64	61, 62, 63	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
65		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
66	65	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
67		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
68	67	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
69	68	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
70	66, 69	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
71	70	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
72		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
73		gcdcom 15235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
74	68, 72, 73	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
75	74	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
76	71, 75	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
78		coprmdvds 15366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
79	72, 68, 77, 78	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
80	76, 79	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
81	80	expdimp 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
82	64, 81	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
83	82	con1d 139	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
84	83	expimpd 629	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	ex 450	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
86	60, 85	vtoclga 3272	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
87	86	impl 650	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
88	67	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	exp1d 13003	. . . . . . . . . . . . 13
90	89	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	90	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	91	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
93		1m1e0 11089	. . . . . . . . . . . . . . . 16
94	93	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15
95	67	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
96	95	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
97	96	exp0d 13002	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
98	94, 97	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
99	98	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
100	65	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
101	100	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
102	99, 101	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
103	102	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
104	103	notbid 308	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
105	92, 104	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	96	exp1d 13003	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
107	106	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
108	87, 105, 107	3imtr4d 283	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
109	108	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
110		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14
111	110	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13
112		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15
113	112	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14
114	113	notbid 308	. . . . . . . . . . . . 13
115	111, 114	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
116	115	imbi1d 331	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
117	116	cbvralv 3171	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
118		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
119	67	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
120	118, 119	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
121		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122	121	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
123		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	123	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
125	124	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
126	122, 125	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
127	126	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
128	127	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
129	120, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
131	130	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
132		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
133	119, 131, 132	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
134		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
135		divides 14985	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
136	133, 134, 135	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
137	84	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
139	138	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
140	139	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
141	130	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
142	140, 141	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
143	139, 141	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
144	143	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
145	144, 140	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
146	142, 145	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
147	146	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
148	65	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
149	148, 140, 144	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
150	147, 149	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
151	150	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
152		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
153		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
154	139	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
155	153, 154	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
156	143	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
157	143	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
158		dvdsmulcr 15011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
159	152, 155, 156, 157, 158	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
160	151, 159	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
161		dvdsmulcr 15011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
162	152, 153, 156, 157, 161	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
163	162	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
164	160, 163	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
165	146	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
166		dvdsmulcr 15011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
167	154, 152, 156, 157, 166	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
168	165, 167	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
169	137, 164, 168	3imtr4d 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
170	169	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
171		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
172		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
173	172	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
174	171, 173	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
175		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
176	174, 175	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
177	170, 176	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
178	177	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
179	178	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
180	136, 179	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
181	180	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
182	181	a2d 29	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
183	65	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
184	119	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
185	133	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
186	183, 184, 185	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
187	184, 185	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
188	184, 131	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
189	187, 188	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
190	189	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
191	186, 190	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
192	191	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
193		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
194	193	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
195		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
196	119, 194, 195	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
197	196	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
198	183, 184, 197	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
199	184, 197	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
200		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
201		expm1t 12888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
202	184, 200, 201	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
203	199, 202	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
204	203	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
205	198, 204	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
206	205	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
207	206	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
208	192, 207	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
209	208	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
210		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
211	210	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
212		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
213		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
214	211, 212, 213	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
215	214	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
216	215	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
217	216	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
218	217	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
219	218	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
220	219	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
221	182, 209, 220	3imtr4d 283	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
222	129, 221	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
223	222	anassrs 680	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
224	223	ralrimdva 2969	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
225	117, 224	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
226	225	expl 648	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
227	226	a2d 29	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
228	14, 27, 40, 53, 109, 227	nnind 11038	. . . . . 6 $/\$ $/\$
229	228	com12 32	. . . . 5 $/\$ $/\$
230	229	impr 649	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
231	230	adantll 750	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
232		oveq1 6657	. . . . . . 7
233	232	breq2d 4665	. . . . . 6
234		oveq1 6657	. . . . . . . 8
235	234	breq2d 4665	. . . . . . 7
236	235	notbid 308	. . . . . 6
237	233, 236	anbi12d 747	. . . . 5 $/\$ $/\$
238	237	imbi1d 331	. . . 4 $/\$ $/\$
239	238	rspcv 3305	. . 3 $/\$ $/\$
240	1, 231, 239	sylc 65	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
241	240	3impia 1261	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913 class class class wbr 4653 (class class class)co 6650

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cmin 10266

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cexp 12860

cdvds 14983

cgcd 15216

cprime 15385

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386

This theorem is referenced by: pockthlem 15609

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