Nearby theorems
|
|
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
| Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > pwdif | Structured version Visualization version Unicode version | ||
| Description: The difference of two numbers to the same power is the difference of the two numbers multiplied with a finite sum. Generalization of subsq 12972. See Wikipedia "Fermat number", section "Other theorems about Fermat numbers", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number, 5-Aug-2021. (Contributed by AV, 6-Aug-2021.) (Revised by AV, 19-Aug-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| pwdif |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small} 
           ..^  |
, , ,
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | elnn0 11294 |
. . 3
   | |
| 2 | simp2 1062 |
. . . . . . 7
| |
| 3 | simp3 1063 |
. . . . . . 7
| |
| 4 | fzofi 12773 |
. . . . . . . . 9
..^  | |
| 5 | 4 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 6 | 2 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 7 | elfzonn0 12512 |
. . . . . . . . . . 11
..^
| |
| 8 | 7 | adantl 482 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 9 | 6, 8 | expcld 13008 |
. . . . . . . . 9
..^ |
| 10 | 3 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 11 | ubmelm1fzo 12564 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^ | |
| 12 | elfzonn0 12512 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
| |
| 13 | 11, 12 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
..^
|
| 14 | 13 | adantl 482 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 15 | 10, 14 | expcld 13008 |
. . . . . . . . 9
..^ |
| 16 | 9, 15 | mulcld 10060 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 17 | 5, 16 | fsumcl 14464 |
. . . . . . 7
..^ |
| 18 | 2, 3, 17 | subdird 10487 |
. . . . . 6
..^ ..^ ..^ |
| 19 | 5, 2, 16 | fsummulc2 14516 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 20 | 6, 9, 15 | mulassd 10063 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 21 | 6, 9 | mulcomd 10061 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ |
| 22 | expp1 12867 |
. . . . . . . . . . . . 13
 | |
| 23 | 2, 7, 22 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ |
| 24 | 21, 23 | eqtr4d 2659 |
. . . . . . . . . . 11
..^ |
| 25 | 24 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 26 | 20, 25 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . . . 9
..^ |
| 27 | 26 | sumeq2dv 14433 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 28 | 19, 27 | eqtrd 2656 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 29 | 5, 3, 16 | fsummulc2 14516 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 30 | 10, 16 | mulcomd 10061 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 31 | 9, 15, 10 | mulassd 10063 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 32 | expp1 12867 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 33 | 32 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 34 | 3, 13, 33 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ |
| 35 | nncn 11028 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 36 | 35 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 37 | 36 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ |
| 38 | elfzoelz 12470 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
 | |
| 39 | 38 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
|
| 40 | 39 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ |
| 41 | 37, 40 | subcld 10392 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ |
| 42 | npcan1 10455 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 43 | 42 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 44 | 41, 43 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ |
| 45 | 34, 44 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . 11
..^ |
| 46 | 45 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 47 | 30, 31, 46 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . . . . 9
..^ |
| 48 | 47 | sumeq2dv 14433 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 49 | 29, 48 | eqtrd 2656 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 50 | 28, 49 | oveq12d 6668 |
. . . . . 6
..^ ..^
..^ ..^ |
| 51 | nnz 11399 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 52 | 51 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 53 | fzoval 12471 |
. . . . . . . . . . 11
..^ 
| |
| 54 | 52, 53 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 55 | 54 | sumeq1d 14431 |
. . . . . . . . 9
..^ |
| 56 | nnm1nn0 11334 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 57 | nn0uz 11722 |
. . . . . . . . . . . 12
  | |
| 58 | 56, 57 | syl6eleq 2711 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 59 | 58 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . 10
|
| 60 | 2 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 61 | elfznn0 12433 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 62 | peano2nn0 11333 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 63 | 61, 62 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 64 | 63 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 65 | 60, 64 | expcld 13008 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 66 | 3 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 67 | 36 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 68 | 61 | nn0cnd 11353 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 69 | 68 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 70 | 1cnd 10056 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 71 | 67, 69, 70 | sub32d 10424 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 72 | fznn0sub 12373 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 73 | 72 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 74 | 71, 73 | eqeltrd 2701 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 75 | 66, 74 | expcld 13008 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 76 | 65, 75 | mulcld 10060 |
. . . . . . . . . 10
|
| 77 | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 78 | 77 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 79 | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 80 | 79 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 81 | 80 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 82 | 78, 81 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . 10
|
| 83 | 59, 76, 82 | fsumm1 14480 |
. . . . . . . . 9
|
| 84 | 55, 83 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 85 | 54 | sumeq1d 14431 |
. . . . . . . . 9
..^ |
| 86 | 61 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 87 | 60, 86 | expcld 13008 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 88 | 54 | eleq2d 2687 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 89 | fzonnsub 12493 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
| |
| 90 | 89 | nnnn0d 11351 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 91 | 88, 90 | syl6bir 244 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 92 | 91 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 93 | 66, 92 | expcld 13008 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 94 | 87, 93 | mulcld 10060 |
. . . . . . . . . 10
|
| 95 | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 96 | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 97 | 96 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 98 | 95, 97 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . 10
|
| 99 | 59, 94, 98 | fsum1p 14482 |
. . . . . . . . 9
|
| 100 | 2 | exp0d 13002 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 101 | 36 | subid1d 10381 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 102 | 101 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 103 | 100, 102 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 104 | simp1 1061 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 105 | 104 | nnnn0d 11351 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 106 | 3, 105 | expcld 13008 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 107 | 106 | mulid2d 10058 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 108 | 103, 107 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . 10
|
| 109 | 0p1e1 11132 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 110 | 109 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 111 | 110 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 112 | 111 | sumeq1d 14431 |
. . . . . . . . . 10
|
| 113 | 108, 112 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . 9
|
| 114 | 85, 99, 113 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 115 | 84, 114 | oveq12d 6668 |
. . . . . . 7
..^ ..^
|
| 116 | fzfid 12772 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 117 | 2 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 118 | elfznn 12370 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 119 | 118 | nnnn0d 11351 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 120 | 119 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 121 | 117, 120 | expcld 13008 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 122 | 3 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 123 | fzoval 12471 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
| |
| 124 | 52, 123 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
|
| 125 | 124 | eleq2d 2687 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 126 | fzonnsub 12493 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
| |
| 127 | 126 | nnnn0d 11351 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 128 | 125, 127 | syl6bir 244 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 129 | 128 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 130 | 122, 129 | expcld 13008 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 131 | 121, 130 | mulcld 10060 |
. . . . . . . . . 10
|
| 132 | 116, 131 | fsumcl 14464 |
. . . . . . . . 9
|
| 133 | 2, 105 | expcld 13008 |
. . . . . . . . 9
|
| 134 | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 135 | 134 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 136 | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 137 | 136 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 138 | 137 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 139 | 135, 138 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 140 | 139 | cbvsumv 14426 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 141 | 1m1e0 11089 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 142 | 141 | eqcomi 2631 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 143 | 142 | oveq1i 6660 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 144 | 143 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 145 | 36 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 146 | elfznn0 12433 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 147 | 146 | nn0cnd 11353 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 148 | 147 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 149 | 1cnd 10056 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 150 | 145, 148, 149 | subsub4d 10423 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 151 | 150 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 152 | 151 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 153 | 144, 152 | sumeq12dv 14437 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 154 | 140, 153 | syl5eq 2668 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 155 | 1zzd 11408 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 156 | peano2zm 11420 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 157 | 52, 156 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 158 | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 159 | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 160 | 159 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 161 | 158, 160 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 162 | 155, 155, 157, 131, 161 | fsumshftm 14513 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 163 | 154, 162 | eqtr4d 2659 |
. . . . . . . . . 10
|
| 164 | npcan1 10455 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 165 | 36, 164 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 166 | 165 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 167 | peano2cnm 10347 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 168 | 35, 167 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 169 | 1cnd 10056 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 170 | 35, 168, 169 | sub32d 10424 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 171 | 168 | subidd 10380 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 172 | 170, 171 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 173 | 172 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 174 | 173 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 175 | exp0 12864 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 176 | 175 | 3ad2ant3 1084 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 177 | 174, 176 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 178 | 166, 177 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 179 | 133 | mulid1d 10057 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 180 | 178, 179 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . 10
|
| 181 | 163, 180 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . 9
|
| 182 | 132, 133, 181 | comraddd 10250 |
. . . . . . . 8
|
| 183 | 182 | oveq1d 6665 |
. . . . . . 7
|
| 184 | 133, 106, 132 | pnpcan2d 10430 |
. . . . . . 7
|
| 185 | 115, 183, 184 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . 6
..^ ..^ |
| 186 | 18, 50, 185 | 3eqtrrd 2661 |
. . . . 5
..^ |
| 187 | 186 | 3exp 1264 |
. . . 4
..^ |
| 188 | simp2 1062 |
. . . . . . . 8
| |
| 189 | simp3 1063 |
. . . . . . . 8
| |
| 190 | 188, 189 | subcld 10392 |
. . . . . . 7
|
| 191 | 190 | mul01d 10235 |
. . . . . 6
|
| 192 | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^ | |
| 193 | fzo0 12492 |
. . . . . . . . . . 11
..^  | |
| 194 | 192, 193 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 195 | 194 | sumeq1d 14431 |
. . . . . . . . 9
..^ |
| 196 | 195 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 197 | sum0 14452 |
. . . . . . . 8
| |
| 198 | 196, 197 | syl6eq 2672 |
. . . . . . 7
..^ |
| 199 | 198 | oveq2d 6666 |
. . . . . 6
..^ |
| 200 | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 201 | 200 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . 9
|
| 202 | exp0 12864 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 203 | 202 | 3ad2ant2 1083 |
. . . . . . . . 9
|
| 204 | 201, 203 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . 8
|
| 205 | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 206 | 205 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . 9
|
| 207 | 175 | 3ad2ant3 1084 |
. . . . . . . . 9
|
| 208 | 206, 207 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . 8
|
| 209 | 204, 208 | oveq12d 6668 |
. . . . . . 7
|
| 210 | 209, 141 | syl6eq 2672 |
. . . . . 6
|
| 211 | 191, 199, 210 | 3eqtr4rd 2667 |
. . . . 5
..^ |
| 212 | 211 | 3exp 1264 |
. . . 4
..^ |
| 213 | 187, 212 | jaoi 394 |
. . 3
..^ |
| 214 | 1, 213 | sylbi 207 |
. 2
..^ |
| 215 | 214 | 3imp 1256 |
1
..^ |
| Colors of variables: wff setvar class |
| Syntax hints: wi 4
wo 383
wa 384
w3a 1037
wceq 1483
wcel 1990
c0 3915
cfv 5888
(class class class)co 6650 cfn 7955 cc 9934 cc0 9936 c1 9937 caddc 9939 cmul 9941 cmin 10266 cn 11020 cn0 11292 cz 11377 cuz 11687 cfz 12326 ..^cfzo 12465
cexp 12860
csu 14416 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 |
| This theorem is referenced by: pwm1geoserALT 41502 2pwp1prm 41503 |
| Copyright terms: Public domain | W3C validator |