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Theorem seqcoll 13248

Description: The function

contains a sparse set of nonzero values to be summed. The function

is an order isomorphism from the set of nonzero values of

to a 1-based finite sequence, and

collects these nonzero values together. Under these conditions, the sum over the values in

yields the same result as the sum over the original set

. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
seqcoll.1	$/\$
seqcoll.1b	$/\$
seqcoll.c	$/\$ $/\$
seqcoll.a
seqcoll.2
seqcoll.3
seqcoll.4
seqcoll.5	$/\$
seqcoll.6	$/\$ $\$
seqcoll.7	$/\$

**Assertion**
Ref	Expression
seqcoll

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem seqcoll Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqcoll.3	. 2
2		elfznn 12370	. . . 4
3	1, 2	syl 17	. . 3
4		eleq1 2689	. . . . . 6
5		fveq2 6191	. . . . . . . 8
6	5	fveq2d 6195	. . . . . . 7
7		fveq2 6191	. . . . . . 7
8	6, 7	eqeq12d 2637	. . . . . 6
9	4, 8	imbi12d 334	. . . . 5
10	9	imbi2d 330	. . . 4
11		eleq1 2689	. . . . . 6
12		fveq2 6191	. . . . . . . 8
13	12	fveq2d 6195	. . . . . . 7
14		fveq2 6191	. . . . . . 7
15	13, 14	eqeq12d 2637	. . . . . 6
16	11, 15	imbi12d 334	. . . . 5
17	16	imbi2d 330	. . . 4
18		eleq1 2689	. . . . . 6
19		fveq2 6191	. . . . . . . 8
20	19	fveq2d 6195	. . . . . . 7
21		fveq2 6191	. . . . . . 7
22	20, 21	eqeq12d 2637	. . . . . 6
23	18, 22	imbi12d 334	. . . . 5
24	23	imbi2d 330	. . . 4
25		eleq1 2689	. . . . . 6
26		fveq2 6191	. . . . . . . 8
27	26	fveq2d 6195	. . . . . . 7
28		fveq2 6191	. . . . . . 7
29	27, 28	eqeq12d 2637	. . . . . 6
30	25, 29	imbi12d 334	. . . . 5
31	30	imbi2d 330	. . . 4
32		seqcoll.1	. . . . . . . . 9 $/\$
33		seqcoll.a	. . . . . . . . 9
34		seqcoll.4	. . . . . . . . . 10
35		seqcoll.2	. . . . . . . . . . . . 13
36		isof1o 6573	. . . . . . . . . . . . 13
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
38		f1of 6137	. . . . . . . . . . . 12
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . 11
40		elfzuz2 12346	. . . . . . . . . . . . 13
41	1, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
42		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . . 12
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11
44	39, 43	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10
45	34, 44	sseldd 3604	. . . . . . . . 9
46		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . 13
47	41, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
48		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
49	48	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . . . . 16
50		zssre 11384	. . . . . . . . . . . . . . . 16
51	49, 50	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . 15
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
53		ressxr 10083	. . . . . . . . . . . . . 14
54	52, 53	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . 13
55		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56	55	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . . . 15
57	34, 56	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . 14
58	57, 53	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . 13
59		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . . . 14
60	41, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
61		leisorel 13244	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	35, 54, 58, 43, 60, 61	syl122anc 1335	. . . . . . . . . . . 12
63	47, 62	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11
64	39, 60	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14
65	34, 64	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13
66		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . 13
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
68		elfz5 12334	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
69	45, 67, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11
70	63, 69	mpbird 247	. . . . . . . . . 10
71		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13
72	71	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12
73	72	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11
74		seqcoll.5	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
75	74	expcom 451	. . . . . . . . . . 11
76	73, 75	vtoclga 3272	. . . . . . . . . 10
77	70, 76	mpcom 38	. . . . . . . . 9
78		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
79	45, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
80		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
82	81	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15
83	79	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15
84	67	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15
85	83	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . . . . 15
86	82, 83, 84, 85, 63	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . 14
87		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
88	81, 67, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14
89	86, 88	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13
90		fzss2 12381	. . . . . . . . . . . . 13
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
92	91	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 $/\$
93		eluzel2 11692	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	45, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
95		elfzm11 12411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
96	94, 79, 95	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
97		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
98		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
99	37, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
100		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
102	101	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
103		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
105	104	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
106	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
107	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
108	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
109	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
110		leisorel 13244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	106, 107, 108, 109, 102, 110	syl122anc 1335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
112	105, 111	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
113		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
114	37, 113	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
115	112, 114	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
116	83	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
117	57	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
118	116, 117	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
119	115, 118	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
120	119	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15
121	120	con2d 129	. . . . . . . . . . . . . 14
122	97, 121	syl5 34	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
123	96, 122	sylbid 230	. . . . . . . . . . . 12
124	123	imp 445	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	92, 124	eldifd 3585	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
126		seqcoll.6	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
127	125, 126	syldan 487	. . . . . . . . 9 $/\$
128	32, 33, 45, 77, 127	seqid 12846	. . . . . . . 8
129	128	fveq1d 6193	. . . . . . 7
130		uzid 11702	. . . . . . . . 9
131	79, 130	syl 17	. . . . . . . 8
132		fvres 6207	. . . . . . . 8
133	131, 132	syl 17	. . . . . . 7
134		seq1 12814	. . . . . . . . 9
135	79, 134	syl 17	. . . . . . . 8
136		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12
137		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13
138	137	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12
139	136, 138	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11
140	139	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10
141		seqcoll.7	. . . . . . . . . . 11 $/\$
142	141	expcom 451	. . . . . . . . . 10
143	140, 142	vtoclga 3272	. . . . . . . . 9
144	43, 143	mpcom 38	. . . . . . . 8
145	135, 144	eqtr4d 2659	. . . . . . 7
146	129, 133, 145	3eqtr3d 2664	. . . . . 6
147		1z 11407	. . . . . . 7
148		seq1 12814	. . . . . . 7
149	147, 148	ax-mp 5	. . . . . 6
150	146, 149	syl6eqr 2674	. . . . 5
151	150	a1d 25	. . . 4
152		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
153		nnuz 11723	. . . . . . . . . . 11
154	152, 153	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
155		nnz 11399	. . . . . . . . . . . 12
156	155	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
157		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . 12
158	157	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
159		peano2uzr 11743	. . . . . . . . . . 11 $/\$
160	156, 158, 159	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
161		elfzuzb 12336	. . . . . . . . . 10 $/\$
162	154, 160, 161	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
163	162	ex 450	. . . . . . . 8 $/\$
164	163	imim1d 82	. . . . . . 7 $/\$
165		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10
166		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
167		seqcoll.1b	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
168	166, 167	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
169	34	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
170	39	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
171	170, 162	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
172	169, 171	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
173		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
174	173	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
175	174	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
176	35	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
177		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
178		isorel 6576	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
179	176, 162, 177, 178	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
180	175, 179	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
181		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
182	172, 181	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
183	170, 177	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
184	169, 183	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
185		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
186	184, 185	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
187		zltlem1 11430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
188	182, 186, 187	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
189	180, 188	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
190		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
191	186, 190	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
192		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
193	182, 191, 192	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
194	189, 193	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
195	191	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
196	186	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
197	84	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
198	196	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
199		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
200	199	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
201	54	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
202	58	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
203	60	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
204		leisorel 13244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
205	176, 201, 202, 177, 203, 204	syl122anc 1335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
206	200, 205	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
207	195, 196, 197, 198, 206	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
208	67	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
209		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
210	191, 208, 209	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
211	207, 210	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
212		uztrn 11704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
213	211, 194, 212	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
214		fzss2 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
215	213, 214	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
216	215	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
217	166, 74	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
218	216, 217	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
219		seqcoll.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
220	166, 219	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
221	172, 218, 220	seqcl 12821	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
222		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
223		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
224		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
225	172, 224	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
226		uztrn 11704	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
227	223, 225, 226	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
228		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
229		uztrn 11704	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
230	211, 228, 229	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
231		elfzuzb 12336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
232	227, 230, 231	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
233		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
234		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
235	233, 234	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
236	155	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
237	101	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
238		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
239	237, 238	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
240		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
241	239, 240	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
242		btwnnz 11453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
243	242	3expib 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
244	243	con2d 129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
245	236, 241, 244	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
246	35	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
247	162	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
248		isorel 6576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
249	246, 247, 239, 248	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
250	37	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
251	250, 238, 113	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
252	251	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
253	182	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
254	34	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
255	254, 238	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
256		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
257	255, 256	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
258		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
259	253, 257, 258	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
260	249, 252, 259	3bitrd 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
261	177	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
262		isorel 6576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
263	246, 239, 261, 262	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
264	251	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
265	186	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
266		zltlem1 11430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
267	257, 265, 266	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
268	263, 264, 267	3bitrd 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
269	260, 268	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
270	245, 269	mtbid 314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
271	270	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
272	271	con2d 129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
273	235, 272	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
274	273	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
275	232, 274	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
276	222, 275, 126	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
277	168, 172, 194, 221, 276	seqid2 12847	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
278	277	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
279		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
280		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
281	280	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
282	279, 281	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
283	282	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . 16
284	283, 142	vtoclga 3272	. . . . . . . . . . . . . . 15
285	284	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
286	285	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
287	286	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
288	94	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
289	186	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
290		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . 15
291		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
292	289, 290, 291	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
293		uztrn 11704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
294	194, 172, 293	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
295		eluzp1p1 11713	. . . . . . . . . . . . . . 15
296	294, 295	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
297	292, 296	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
298		seqm1 12818	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
299	288, 297, 298	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
300	278, 287, 299	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
301		seqp1 12816	. . . . . . . . . . . 12
302	154, 301	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
303	300, 302	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
304	165, 303	syl5ibr 236	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
305	304	ex 450	. . . . . . . 8 $/\$
306	305	a2d 29	. . . . . . 7 $/\$
307	164, 306	syld 47	. . . . . 6 $/\$
308	307	expcom 451	. . . . 5
309	308	a2d 29	. . . 4
310	10, 17, 24, 31, 151, 309	nnind 11038	. . 3
311	3, 310	mpcom 38	. 2
312	1, 311	mpd 15	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990 $\$ cdif 3571

wss 3574 class class class wbr 4653

ccnv 5113

cres 5116

wf 5884

wf1o 5887

cfv 5888

wiso 5889 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

c1 9937

caddc 9939

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326

cseq 12801

chash 13117

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-seq 12802

This theorem is referenced by: seqcoll2 13249 summolem2a 14446 prodmolem2a 14664

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