Theorem summolem2a 14446

Description: Lemma for summo 14448. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
summo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
summo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
summo.3	|- G = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B )
summolem2.4	|- H = ( n e. NN |-> [_ ( K ` n ) / k ]_ B )
summolem2.5	|- ( ph -> N e. NN )
summolem2.6	|- ( ph -> M e. ZZ )
summolem2.7	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
summolem2.8	|- ( ph -> f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
summolem2.9	|- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )

Assertion

Ref	Expression
summolem2a	|- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   f, k, n, A   f, F, k, n   k, G, n   k, K, n   k, N, n   ph, k, n   B, f, n   k, M, n

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( k)   G( f)   H( f, k, n)   K( f)   M( f)   N( f)

Proof of Theorem summolem2a

Dummy variables m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		summo.1	. . 3 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
2		summo.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
3		summolem2.7	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
4		summolem2.9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )
5		summolem2.8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
6		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... N ) e. _V
7	6	f1oen 7976	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> ( 1 ... N ) ~~ A )
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 ... N ) ~~ A )
9		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
10	8	ensymd 8007	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A ~~ ( 1 ... N ) )
11		enfii 8177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ A ~~ ( 1 ... N ) ) -> A e. Fin )
12	9, 10, 11	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. Fin )
13		hashen 13135	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ A e. Fin ) -> ( ( # ` ( 1 ... N ) ) = ( # ` A ) <-> ( 1 ... N ) ~~ A ) )
14	9, 12, 13	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( # ` ( 1 ... N ) ) = ( # ` A ) <-> ( 1 ... N ) ~~ A ) )
15	8, 14	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = ( # ` A ) )
16		summolem2.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN )
17		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
18		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = N )
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = N )
20	15, 19	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( # ` A ) = N )
21	20	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... ( # ` A ) ) = ( 1 ... N ) )
22		isoeq4 6570	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... ( # ` A ) ) = ( 1 ... N ) -> ( K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) <-> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) <-> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) ) )
24	4, 23	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) )
25		isof1o 6573	. . . . . . 7 |- ( K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
27		f1of 6137	. . . . . 6 |- ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... N ) --> A )
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) --> A )
29		nnuz 11723	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
30	16, 29	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
31		eluzfz2 12349	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> N e. ( 1 ... N ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( 1 ... N ) )
33	28, 32	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ph -> ( K ` N ) e. A )
34	3, 33	sseldd 3604	. . 3 |- ( ph -> ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` M ) )
35	3	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
36		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . 9 |- ( ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A /\ n e. A ) -> ( K ` ( `' K ` n ) ) = n )
37	26, 36	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( K ` ( `' K ` n ) ) = n )
38		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
39		f1of 6137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N ) -> `' K : A --> ( 1 ... N ) )
40	26, 38, 39	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> `' K : A --> ( 1 ... N ) )
41	40	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( `' K ` n ) e. ( 1 ... N ) )
42		elfzle2 12345	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' K ` n ) e. ( 1 ... N ) -> ( `' K ` n ) <_ N )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( `' K ` n ) <_ N )
44	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) )
45		fzssuz 12382	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... N ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
46		uzssz 11707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ
47		zssre 11384	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ZZ C_ RR
48	46, 47	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ RR
49	45, 48	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... N ) C_ RR
50		ressxr 10083	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ RR*
51	49, 50	sstri 3612	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... N ) C_ RR*
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( 1 ... N ) C_ RR* )
53	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
54		uzssz 11707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
55	54, 47	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
56	53, 55	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> A C_ RR )
57	56, 50	syl6ss 3615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> A C_ RR* )
58	32	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> N e. ( 1 ... N ) )
59		leisorel 13244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) /\ ( ( 1 ... N ) C_ RR* /\ A C_ RR* ) /\ ( ( `' K ` n ) e. ( 1 ... N ) /\ N e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( `' K ` n ) <_ N <-> ( K ` ( `' K ` n ) ) <_ ( K ` N ) ) )
60	44, 52, 57, 41, 58, 59	syl122anc 1335	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( ( `' K ` n ) <_ N <-> ( K ` ( `' K ` n ) ) <_ ( K ` N ) ) )
61	43, 60	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( K ` ( `' K ` n ) ) <_ ( K ` N ) )
62	37, 61	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n <_ ( K ` N ) )
63		eluzelz 11697	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
64	35, 63	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n e. ZZ )
65		eluzelz 11697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K ` N ) e. ZZ )
66	34, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K ` N ) e. ZZ )
67	66	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( K ` N ) e. ZZ )
68		eluz 11701	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ /\ ( K ` N ) e. ZZ ) -> ( ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` n ) <-> n <_ ( K ` N ) ) )
69	64, 67, 68	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` n ) <-> n <_ ( K ` N ) ) )
70	62, 69	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` n ) )
71		elfzuzb 12336	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( K ` N ) ) <-> ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` n ) ) )
72	35, 70, 71	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n e. ( M ... ( K ` N ) ) )
73	72	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. A -> n e. ( M ... ( K ` N ) ) ) )
74	73	ssrdv 3609	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( M ... ( K ` N ) ) )
75	1, 2, 34, 74	fsumcvg 14443	. 2 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` ( K ` N ) ) )
76		addid2 10219	. . . . 5 |- ( m e. CC -> ( 0 + m ) = m )
77	76	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. CC ) -> ( 0 + m ) = m )
78		addid1 10216	. . . . 5 |- ( m e. CC -> ( m + 0 ) = m )
79	78	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. CC ) -> ( m + 0 ) = m )
80		addcl 10018	. . . . 5 |- ( ( m e. CC /\ x e. CC ) -> ( m + x ) e. CC )
81	80	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( m + x ) e. CC )
82		0cnd 10033	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. CC )
83	32, 21	eleqtrrd 2704	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( 1 ... ( # ` A ) ) )
84		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) = B )
85	84	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = B )
86	85, 2	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
87	86	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
88		iffalse 4095	. . . . . . . . 9 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) = 0 )
89		0cn 10032	. . . . . . . . 9 |- 0 e. CC
90	88, 89	syl6eqel 2709	. . . . . . . 8 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
91	87, 90	pm2.61d1 171	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
92	91	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
93	92, 1	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> F : ZZ --> CC )
94		elfzelz 12342	. . . . 5 |- ( m e. ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) -> m e. ZZ )
95		ffvelrn 6357	. . . . 5 |- ( ( F : ZZ --> CC /\ m e. ZZ ) -> ( F ` m ) e. CC )
96	93, 94, 95	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) ) -> ( F ` m ) e. CC )
97		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
98	97	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) = 0 <-> ( F ` m ) = 0 ) )
99		eldifi 3732	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> k e. ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) )
100		elfzelz 12342	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) -> k e. ZZ )
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> k e. ZZ )
102		eldifn 3733	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> -. k e. A )
103	102, 88	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = 0 )
104	103, 89	syl6eqel 2709	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
105	1	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
106	101, 104, 105	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
107	106, 103	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> ( F ` k ) = 0 )
108	98, 107	vtoclga 3272	. . . . 5 |- ( m e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> ( F ` m ) = 0 )
109	108	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) ) -> ( F ` m ) = 0 )
110		isof1o 6573	. . . . . . . 8 |- ( K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) -> K : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A )
111		f1of 6137	. . . . . . . 8 |- ( K : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
112	4, 110, 111	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> K : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
113	112	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( K ` x ) e. A )
114	113	iftrued 4094	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
115	3	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
116	115, 113	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( K ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
117		eluzelz 11697	. . . . . . 7 |- ( ( K ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K ` x ) e. ZZ )
118	116, 117	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( K ` x ) e. ZZ )
119		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ k ph
120		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k ( K ` x ) e. A
121		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ ( K ` x ) / k ]_ B
122		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k 0
123	120, 121, 122	nfif 4115	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 )
124	123	nfel1 2779	. . . . . . . . 9 |- F/ k if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC
125	119, 124	nfim 1825	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
126		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( K ` x ) e. _V
127		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( K ` x ) -> ( k e. A <-> ( K ` x ) e. A ) )
128		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( K ` x ) -> B = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
129	127, 128	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( K ` x ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
130	129	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K ` x ) -> ( if ( k e. A , B , 0 ) e. CC <-> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
131	130	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( k = ( K ` x ) -> ( ( ph -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) <-> ( ph -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) ) )
132	125, 126, 131, 91	vtoclf 3258	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
133	132	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
134		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( n = ( K ` x ) -> ( n e. A <-> ( K ` x ) e. A ) )
135		csbeq1 3536	. . . . . . . 8 |- ( n = ( K ` x ) -> [_ n / k ]_ B = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
136	134, 135	ifbieq1d 4109	. . . . . . 7 |- ( n = ( K ` x ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
137		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ n if ( k e. A , B , 0 )
138		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ k n e. A
139		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
140	138, 139, 122	nfif 4115	. . . . . . . . 9 |- F/_ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 )
141		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( k e. A <-> n e. A ) )
142		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
143	141, 142	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
144	137, 140, 143	cbvmpt 4749	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
145	1, 144	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- F = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
146	136, 145	fvmptg 6280	. . . . . 6 |- ( ( ( K ` x ) e. ZZ /\ if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) -> ( F ` ( K ` x ) ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
147	118, 133, 146	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( F ` ( K ` x ) ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
148		elfznn 12370	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) -> x e. NN )
149	148	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> x e. NN )
150	114, 133	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> [_ ( K ` x ) / k ]_ B e. CC )
151		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( n = x -> ( K ` n ) = ( K ` x ) )
152	151	csbeq1d 3540	. . . . . . 7 |- ( n = x -> [_ ( K ` n ) / k ]_ B = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
153		summolem2.4	. . . . . . 7 |- H = ( n e. NN |-> [_ ( K ` n ) / k ]_ B )
154	152, 153	fvmptg 6280	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ [_ ( K ` x ) / k ]_ B e. CC ) -> ( H ` x ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
155	149, 150, 154	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( H ` x ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
156	114, 147, 155	3eqtr4rd 2667	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( H ` x ) = ( F ` ( K ` x ) ) )
157	77, 79, 81, 82, 4, 83, 3, 96, 109, 156	seqcoll 13248	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( + , F ) ` ( K ` N ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` N ) )
158		summo.3	. . . 4 |- G = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B )
159	16, 16	jca 554	. . . 4 |- ( ph -> ( N e. NN /\ N e. NN ) )
160	1, 2, 158, 153, 159, 5, 26	summolem3 14445	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , G ) ` N ) = ( seq 1 ( + , H ) ` N ) )
161	157, 160	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( + , F ) ` ( K ` N ) ) = ( seq 1 ( + , G ) ` N ) )
162	75, 161	breqtrd 4679	1 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   [_csb 3533   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   #chash 13117   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219

This theorem is referenced by:  summolem2  14447  zsum  14449