Theorem stoweidlem13 40230

Description: Lemma for stoweid 40280. This lemma is used to prove the statement abs( f(t) - g(t) ) < 2 epsilon, in the last step of the proof in [BrosowskiDeutsh] p. 92. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem13.1	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem13.2	|- ( ph -> X e. RR )
stoweidlem13.3	|- ( ph -> Y e. RR )
stoweidlem13.4	|- ( ph -> j e. RR )
stoweidlem13.5	|- ( ph -> ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < X )
stoweidlem13.6	|- ( ph -> X <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
stoweidlem13.7	|- ( ph -> ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < Y )
stoweidlem13.8	|- ( ph -> Y < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem13	|- ( ph -> ( abs ` ( Y - X ) ) < ( 2 x. E ) )

Proof of Theorem stoweidlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem13.3	. . . 4 |- ( ph -> Y e. RR )
2		stoweidlem13.2	. . . 4 |- ( ph -> X e. RR )
3	1, 2	resubcld 10458	. . 3 |- ( ph -> ( Y - X ) e. RR )
4		2re 11090	. . . 4 |- 2 e. RR
5		stoweidlem13.1	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR+ )
6	5	rpred 11872	. . . 4 |- ( ph -> E e. RR )
7		remulcl 10021	. . . 4 |- ( ( 2 e. RR /\ E e. RR ) -> ( 2 x. E ) e. RR )
8	4, 6, 7	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( 2 x. E ) e. RR )
9	1	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. CC )
10	2	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> X e. CC )
11	9, 10	negsubdi2d 10408	. . . 4 |- ( ph -> -u ( Y - X ) = ( X - Y ) )
12	2, 1	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ph -> ( X - Y ) e. RR )
13		1red 10055	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
14	13, 6	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 x. E ) e. RR )
15		stoweidlem13.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> j e. RR )
16		3re 11094	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. RR
17		3ne0 11115	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 =/= 0
18	16, 17	rereccli 10790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 3 ) e. RR
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / 3 ) e. RR )
20	15, 19	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j - ( 1 / 3 ) ) e. RR )
21	20, 6	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) e. RR )
22	21, 1	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) - Y ) e. RR )
23		4re 11097	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. RR
24	23, 16, 17	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 e. RR /\ 3 e. RR /\ 3 =/= 0 )
25		redivcl 10744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 4 e. RR /\ 3 e. RR /\ 3 =/= 0 ) -> ( 4 / 3 ) e. RR )
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 4 / 3 ) e. RR )
27	15, 26	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j - ( 4 / 3 ) ) e. RR )
28	27, 6	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) e. RR )
29	21, 28	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) - ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) ) e. RR )
30		stoweidlem13.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
31	2, 21, 1, 30	lesub1dd 10643	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X - Y ) <_ ( ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) - Y ) )
32		stoweidlem13.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < Y )
33	28, 1, 21, 32	ltsub2dd 10640	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) - Y ) < ( ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) - ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) ) )
34	12, 22, 29, 31, 33	lelttrd 10195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X - Y ) < ( ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) - ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) ) )
35	15	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> j e. CC )
36	19	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / 3 ) e. CC )
37	35, 36	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( j - ( 1 / 3 ) ) e. CC )
38	26	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 4 / 3 ) e. CC )
39	35, 38	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( j - ( 4 / 3 ) ) e. CC )
40	6	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. CC )
41	37, 39, 40	subdird 10487	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( j - ( 1 / 3 ) ) - ( j - ( 4 / 3 ) ) ) x. E ) = ( ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) - ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) ) )
42	35, 36, 35, 38	sub4d 10441	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( j - ( 1 / 3 ) ) - ( j - ( 4 / 3 ) ) ) = ( ( j - j ) - ( ( 1 / 3 ) - ( 4 / 3 ) ) ) )
43	35, 35	subcld 10392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j - j ) e. CC )
44	43, 36, 38	subsub2d 10421	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( j - j ) - ( ( 1 / 3 ) - ( 4 / 3 ) ) ) = ( ( j - j ) + ( ( 4 / 3 ) - ( 1 / 3 ) ) ) )
45	42, 44	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( j - ( 1 / 3 ) ) - ( j - ( 4 / 3 ) ) ) = ( ( j - j ) + ( ( 4 / 3 ) - ( 1 / 3 ) ) ) )
46	45	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( j - ( 1 / 3 ) ) - ( j - ( 4 / 3 ) ) ) x. E ) = ( ( ( j - j ) + ( ( 4 / 3 ) - ( 1 / 3 ) ) ) x. E ) )
47	41, 46	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) - ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) ) = ( ( ( j - j ) + ( ( 4 / 3 ) - ( 1 / 3 ) ) ) x. E ) )
48	34, 47	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X - Y ) < ( ( ( j - j ) + ( ( 4 / 3 ) - ( 1 / 3 ) ) ) x. E ) )
49	35	subidd 10380	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( j - j ) = 0 )
50	49	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( j - j ) + ( ( 4 / 3 ) - ( 1 / 3 ) ) ) = ( 0 + ( ( 4 / 3 ) - ( 1 / 3 ) ) ) )
51		4cn 11098	. . . . . . . . . . . 12 |- 4 e. CC
52		3cn 11095	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. CC
53	51, 52, 17	divcli 10767	. . . . . . . . . . 11 |- ( 4 / 3 ) e. CC
54		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
55	54, 52, 17	divcli 10767	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 3 ) e. CC
56		1div1e1 10717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 / 1 ) = 1
57	56	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 3 ) + ( 1 / 1 ) ) = ( ( 1 / 3 ) + 1 )
58		ax-1ne0 10005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 =/= 0
59	54, 52, 54, 54, 17, 58	divadddivi 10787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 3 ) + ( 1 / 1 ) ) = ( ( ( 1 x. 1 ) + ( 1 x. 3 ) ) / ( 3 x. 1 ) )
60	57, 59	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 / 3 ) + 1 ) = ( ( ( 1 x. 1 ) + ( 1 x. 3 ) ) / ( 3 x. 1 ) )
61	52, 54	addcomi 10227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 + 1 ) = ( 1 + 3 )
62		df-4 11081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 4 = ( 3 + 1 )
63		1t1e1 11175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 x. 1 ) = 1
64	52	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 x. 3 ) = 3
65	63, 64	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 x. 1 ) + ( 1 x. 3 ) ) = ( 1 + 3 )
66	61, 62, 65	3eqtr4ri 2655	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 x. 1 ) + ( 1 x. 3 ) ) = 4
67	66	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 x. 1 ) + ( 1 x. 3 ) ) / ( 3 x. 1 ) ) = ( 4 / ( 3 x. 1 ) )
68		3t1e3 11178	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 x. 1 ) = 3
69	68	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 / ( 3 x. 1 ) ) = ( 4 / 3 )
70	60, 67, 69	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 / 3 ) + 1 ) = ( 4 / 3 )
71	53, 55, 54, 70	subaddrii 10370	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 / 3 ) - ( 1 / 3 ) ) = 1
72	71	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + ( ( 4 / 3 ) - ( 1 / 3 ) ) ) = ( 0 + 1 )
73		1e0p1 11552	. . . . . . . . 9 |- 1 = ( 0 + 1 )
74	72, 73	eqtr4i 2647	. . . . . . . 8 |- ( 0 + ( ( 4 / 3 ) - ( 1 / 3 ) ) ) = 1
75	50, 74	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( j - j ) + ( ( 4 / 3 ) - ( 1 / 3 ) ) ) = 1 )
76	75	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( j - j ) + ( ( 4 / 3 ) - ( 1 / 3 ) ) ) x. E ) = ( 1 x. E ) )
77	48, 76	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ph -> ( X - Y ) < ( 1 x. E ) )
78		1lt2 11194	. . . . . 6 |- 1 < 2
79	4	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. RR )
80	13, 79, 5	ltmul1d 11913	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 < 2 <-> ( 1 x. E ) < ( 2 x. E ) ) )
81	78, 80	mpbii 223	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 x. E ) < ( 2 x. E ) )
82	12, 14, 8, 77, 81	lttrd 10198	. . . 4 |- ( ph -> ( X - Y ) < ( 2 x. E ) )
83	11, 82	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ph -> -u ( Y - X ) < ( 2 x. E ) )
84	3, 8, 83	ltnegcon1d 10607	. 2 |- ( ph -> -u ( 2 x. E ) < ( Y - X ) )
85		5re 11099	. . . . . 6 |- 5 e. RR
86	85	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 5 e. RR )
87	16	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 3 e. RR )
88	17	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 3 =/= 0 )
89	86, 87, 88	redivcld 10853	. . . 4 |- ( ph -> ( 5 / 3 ) e. RR )
90	89, 6	remulcld 10070	. . 3 |- ( ph -> ( ( 5 / 3 ) x. E ) e. RR )
91	2	renegcld 10457	. . . . 5 |- ( ph -> -u X e. RR )
92	15, 19	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j + ( 1 / 3 ) ) e. RR )
93	92, 6	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) e. RR )
94	28	renegcld 10457	. . . . 5 |- ( ph -> -u ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) e. RR )
95		stoweidlem13.8	. . . . 5 |- ( ph -> Y < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
96		stoweidlem13.5	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < X )
97	28, 2	ltnegd 10605	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < X <-> -u X < -u ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) ) )
98	96, 97	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> -u X < -u ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) )
99	1, 91, 93, 94, 95, 98	lt2addd 10650	. . . 4 |- ( ph -> ( Y + -u X ) < ( ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) + -u ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) ) )
100	9, 10	negsubd 10398	. . . 4 |- ( ph -> ( Y + -u X ) = ( Y - X ) )
101	35, 36, 40	adddird 10065	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) = ( ( j x. E ) + ( ( 1 / 3 ) x. E ) ) )
102	35, 38	negsubd 10398	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j + -u ( 4 / 3 ) ) = ( j - ( 4 / 3 ) ) )
103	102	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j - ( 4 / 3 ) ) = ( j + -u ( 4 / 3 ) ) )
104	103	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) = ( ( j + -u ( 4 / 3 ) ) x. E ) )
105	38	negcld 10379	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( 4 / 3 ) e. CC )
106	35, 105, 40	adddird 10065	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( j + -u ( 4 / 3 ) ) x. E ) = ( ( j x. E ) + ( -u ( 4 / 3 ) x. E ) ) )
107	38, 40	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u ( 4 / 3 ) x. E ) = -u ( ( 4 / 3 ) x. E ) )
108	107	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( j x. E ) + ( -u ( 4 / 3 ) x. E ) ) = ( ( j x. E ) + -u ( ( 4 / 3 ) x. E ) ) )
109	104, 106, 108	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) = ( ( j x. E ) + -u ( ( 4 / 3 ) x. E ) ) )
110	109	negeqd 10275	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) = -u ( ( j x. E ) + -u ( ( 4 / 3 ) x. E ) ) )
111	35, 40	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j x. E ) e. CC )
112	38, 40	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 4 / 3 ) x. E ) e. CC )
113	112	negcld 10379	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u ( ( 4 / 3 ) x. E ) e. CC )
114	111, 113	negdid 10405	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u ( ( j x. E ) + -u ( ( 4 / 3 ) x. E ) ) = ( -u ( j x. E ) + -u -u ( ( 4 / 3 ) x. E ) ) )
115	112	negnegd 10383	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u -u ( ( 4 / 3 ) x. E ) = ( ( 4 / 3 ) x. E ) )
116	115	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u ( j x. E ) + -u -u ( ( 4 / 3 ) x. E ) ) = ( -u ( j x. E ) + ( ( 4 / 3 ) x. E ) ) )
117	110, 114, 116	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) = ( -u ( j x. E ) + ( ( 4 / 3 ) x. E ) ) )
118	101, 117	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) + -u ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) ) = ( ( ( j x. E ) + ( ( 1 / 3 ) x. E ) ) + ( -u ( j x. E ) + ( ( 4 / 3 ) x. E ) ) ) )
119	36, 40	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 / 3 ) x. E ) e. CC )
120	111	negcld 10379	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u ( j x. E ) e. CC )
121	111, 119, 120, 112	add4d 10264	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( j x. E ) + ( ( 1 / 3 ) x. E ) ) + ( -u ( j x. E ) + ( ( 4 / 3 ) x. E ) ) ) = ( ( ( j x. E ) + -u ( j x. E ) ) + ( ( ( 1 / 3 ) x. E ) + ( ( 4 / 3 ) x. E ) ) ) )
122	111	negidd 10382	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( j x. E ) + -u ( j x. E ) ) = 0 )
123	122	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( j x. E ) + -u ( j x. E ) ) + ( ( ( 1 / 3 ) x. E ) + ( ( 4 / 3 ) x. E ) ) ) = ( 0 + ( ( ( 1 / 3 ) x. E ) + ( ( 4 / 3 ) x. E ) ) ) )
124	119, 112	addcld 10059	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 3 ) x. E ) + ( ( 4 / 3 ) x. E ) ) e. CC )
125	124	addid2d 10237	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 + ( ( ( 1 / 3 ) x. E ) + ( ( 4 / 3 ) x. E ) ) ) = ( ( ( 1 / 3 ) x. E ) + ( ( 4 / 3 ) x. E ) ) )
126	121, 123, 125	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( j x. E ) + ( ( 1 / 3 ) x. E ) ) + ( -u ( j x. E ) + ( ( 4 / 3 ) x. E ) ) ) = ( ( ( 1 / 3 ) x. E ) + ( ( 4 / 3 ) x. E ) ) )
127	36, 38, 40	adddird 10065	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 3 ) + ( 4 / 3 ) ) x. E ) = ( ( ( 1 / 3 ) x. E ) + ( ( 4 / 3 ) x. E ) ) )
128	87	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 3 e. CC )
129	36, 38	addcld 10059	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 / 3 ) + ( 4 / 3 ) ) e. CC )
130	128, 36, 38	adddid 10064	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 3 x. ( ( 1 / 3 ) + ( 4 / 3 ) ) ) = ( ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) + ( 3 x. ( 4 / 3 ) ) ) )
131	54, 51	addcomi 10227	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + 4 ) = ( 4 + 1 )
132	54, 52, 17	divcan2i 10768	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) = 1
133	51, 52, 17	divcan2i 10768	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 x. ( 4 / 3 ) ) = 4
134	132, 133	oveq12i 6662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) + ( 3 x. ( 4 / 3 ) ) ) = ( 1 + 4 )
135		df-5 11082	. . . . . . . . . 10 |- 5 = ( 4 + 1 )
136	131, 134, 135	3eqtr4i 2654	. . . . . . . . 9 |- ( ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) + ( 3 x. ( 4 / 3 ) ) ) = 5
137	130, 136	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 3 x. ( ( 1 / 3 ) + ( 4 / 3 ) ) ) = 5 )
138	128, 129, 88, 137	mvllmuld 10857	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / 3 ) + ( 4 / 3 ) ) = ( 5 / 3 ) )
139	138	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 3 ) + ( 4 / 3 ) ) x. E ) = ( ( 5 / 3 ) x. E ) )
140	126, 127, 139	3eqtr2d 2662	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( j x. E ) + ( ( 1 / 3 ) x. E ) ) + ( -u ( j x. E ) + ( ( 4 / 3 ) x. E ) ) ) = ( ( 5 / 3 ) x. E ) )
141	118, 140	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) + -u ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) ) = ( ( 5 / 3 ) x. E ) )
142	99, 100, 141	3brtr3d 4684	. . 3 |- ( ph -> ( Y - X ) < ( ( 5 / 3 ) x. E ) )
143		5lt6 11204	. . . . . . 7 |- 5 < 6
144		3t2e6 11179	. . . . . . 7 |- ( 3 x. 2 ) = 6
145	143, 144	breqtrri 4680	. . . . . 6 |- 5 < ( 3 x. 2 )
146		3pos 11114	. . . . . . . 8 |- 0 < 3
147	16, 146	pm3.2i 471	. . . . . . 7 |- ( 3 e. RR /\ 0 < 3 )
148		ltdivmul 10898	. . . . . . 7 |- ( ( 5 e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( ( 5 / 3 ) < 2 <-> 5 < ( 3 x. 2 ) ) )
149	85, 4, 147, 148	mp3an 1424	. . . . . 6 |- ( ( 5 / 3 ) < 2 <-> 5 < ( 3 x. 2 ) )
150	145, 149	mpbir 221	. . . . 5 |- ( 5 / 3 ) < 2
151	150	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( 5 / 3 ) < 2 )
152	89, 79, 5, 151	ltmul1dd 11927	. . 3 |- ( ph -> ( ( 5 / 3 ) x. E ) < ( 2 x. E ) )
153	3, 90, 8, 142, 152	lttrd 10198	. 2 |- ( ph -> ( Y - X ) < ( 2 x. E ) )
154	3, 8	absltd 14168	. 2 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Y - X ) ) < ( 2 x. E ) <-> ( -u ( 2 x. E ) < ( Y - X ) /\ ( Y - X ) < ( 2 x. E ) ) ) )
155	84, 153, 154	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( abs ` ( Y - X ) ) < ( 2 x. E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   RR+crp 11832   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  stoweidlem61  40278