Theorem stoweidlem43 40260

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p_t as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p_t in the subalgebra, such that p_t( t₀ ) = 0 , p_t ( t ) > 0, and 0 <= p_t <= 1. Hera Z is used for t₀ , S is used for t e. T - U , h is used for p_t. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem43.1	|- F/ g ph
stoweidlem43.2	|- F/ t ph
stoweidlem43.3	|- F/_ h Q
stoweidlem43.4	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem43.5	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem43.6	|- T = U. J
stoweidlem43.7	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem43.8	|- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
stoweidlem43.9	|- ( ( ph /\ f e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( l ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem43.10	|- ( ( ph /\ f e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem43.11	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem43.12	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` r ) =/= ( g ` t ) )
stoweidlem43.13	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem43.14	|- ( ph -> Z e. U )
stoweidlem43.15	|- ( ph -> S e. ( T \ U ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem43	|- ( ph -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, l, t, A   f, h, T, t   T, l   f, r, g, t, A   x, f, g, t, A   Q, f   S, f, g, l, t   f, Z, g, l, t   ph, f, l   A, h   S, h   h, Z   T, r   S, r   ph, r   x, T   x, S   x, Z   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( t, g, h)   Q( x, t, g, h, r, l)   T( g)   U( x, t, f, g, h, r, l)   J( x, t, f, g, h, r, l)   K( x, t, f, g, h, r, l)   Z( r)

Proof of Theorem stoweidlem43

Dummy variables k s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem43.1	. . 3 |- F/ g ph
2		nfv 1843	. . 3 |- F/ g E. f ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 )
3		stoweidlem43.15	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. ( T \ U ) )
4	3	eldifad 3586	. . . . 5 |- ( ph -> S e. T )
5		stoweidlem43.14	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. U )
6		stoweidlem43.13	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. J )
7		elunii 4441	. . . . . . 7 |- ( ( Z e. U /\ U e. J ) -> Z e. U. J )
8	5, 6, 7	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. U. J )
9		stoweidlem43.6	. . . . . 6 |- T = U. J
10	8, 9	syl6eleqr 2712	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. T )
11	3	eldifbd 3587	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. S e. U )
12		nelne2 2891	. . . . . . 7 |- ( ( Z e. U /\ -. S e. U ) -> Z =/= S )
13	5, 11, 12	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> Z =/= S )
14	13	necomd 2849	. . . . 5 |- ( ph -> S =/= Z )
15	4, 10, 14	3jca 1242	. . . 4 |- ( ph -> ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) )
16		simpr2 1068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) -> Z e. T )
17		stoweidlem43.2	. . . . . . . . 9 |- F/ t ph
18		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z )
19	17, 18	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) )
20		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ t E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` Z )
21	19, 20	nfim 1825	. . . . . . 7 |- F/ t ( ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) )
22		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( t = Z -> ( t e. T <-> Z e. T ) )
23		neeq2 2857	. . . . . . . . . 10 |- ( t = Z -> ( S =/= t <-> S =/= Z ) )
24	22, 23	3anbi23d 1402	. . . . . . . . 9 |- ( t = Z -> ( ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) <-> ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) )
25	24	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( t = Z -> ( ( ph /\ ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) <-> ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) ) )
26		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( t = Z -> ( g ` t ) = ( g ` Z ) )
27	26	neeq2d 2854	. . . . . . . . 9 |- ( t = Z -> ( ( g ` S ) =/= ( g ` t ) <-> ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) )
28	27	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( t = Z -> ( E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` t ) <-> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) )
29	25, 28	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( t = Z -> ( ( ( ph /\ ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` t ) ) <-> ( ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) )
30		simpr1 1067	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) -> S e. T )
31		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = S -> ( r e. T <-> S e. T ) )
32		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = S -> ( r =/= t <-> S =/= t ) )
33	31, 32	3anbi13d 1401	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = S -> ( ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) <-> ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) )
34	33	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( r = S -> ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) <-> ( ph /\ ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) ) )
35		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = S -> ( g ` r ) = ( g ` S ) )
36	35	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = S -> ( ( g ` r ) =/= ( g ` t ) <-> ( g ` S ) =/= ( g ` t ) ) )
37	36	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( r = S -> ( E. g e. A ( g ` r ) =/= ( g ` t ) <-> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` t ) ) )
38	34, 37	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( r = S -> ( ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` r ) =/= ( g ` t ) ) <-> ( ( ph /\ ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` t ) ) ) )
39		stoweidlem43.12	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` r ) =/= ( g ` t ) )
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( r e. T -> ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` r ) =/= ( g ` t ) ) )
41	38, 40	vtoclga 3272	. . . . . . . 8 |- ( S e. T -> ( ( ph /\ ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` t ) ) )
42	30, 41	mpcom 38	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( S e. T /\ t e. T /\ S =/= t ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` t ) )
43	21, 29, 42	vtoclg1f 3265	. . . . . 6 |- ( Z e. T -> ( ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) )
44	16, 43	mpcom 38	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) -> E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) )
45		df-rex 2918	. . . . 5 |- ( E. g e. A ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) <-> E. g ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) )
46	44, 45	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( S e. T /\ Z e. T /\ S =/= Z ) ) -> E. g ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) )
47	15, 46	mpdan 702	. . 3 |- ( ph -> E. g ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) )
48		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ t ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) )
49	17, 48	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ t ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) )
50		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ t g
51		eqid 2622	. . . . 5 |- ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) )
52		stoweidlem43.4	. . . . . . 7 |- K = ( topGen ` ran (,) )
53		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( J Cn K ) = ( J Cn K )
54		stoweidlem43.8	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
55	54	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f e. ( J Cn K ) )
56	52, 9, 53, 55	fcnre 39184	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
57	56	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
58		stoweidlem43.9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( l ` t ) ) ) e. A )
59	58	3adant1r 1319	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) /\ f e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( l ` t ) ) ) e. A )
60		stoweidlem43.11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
61	60	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
62	4	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) -> S e. T )
63	10	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) -> Z e. T )
64		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) -> g e. A )
65		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) -> ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) )
66	49, 50, 51, 57, 59, 61, 62, 63, 64, 65	stoweidlem23 40240	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) -> ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) =/= ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) = 0 ) )
67		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( f = ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) -> ( f e. A <-> ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A ) )
68		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) -> ( f ` S ) = ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) )
69		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) -> ( f ` Z ) = ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) )
70	68, 69	neeq12d 2855	. . . . . . . 8 |- ( f = ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) -> ( ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) <-> ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) =/= ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) ) )
71	69	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( f = ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) -> ( ( f ` Z ) = 0 <-> ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) = 0 ) )
72	67, 70, 71	3anbi123d 1399	. . . . . . 7 |- ( f = ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) -> ( ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) <-> ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) =/= ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) = 0 ) ) )
73	72	spcegv 3294	. . . . . 6 |- ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A -> ( ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) =/= ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) = 0 ) -> E. f ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) )
74	73	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) =/= ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) = 0 ) -> ( ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) =/= ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) = 0 ) -> E. f ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) )
75	74	pm2.43i 52	. . . 4 |- ( ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) e. A /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` S ) =/= ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) /\ ( ( t e. T |-> ( ( g ` t ) - ( g ` Z ) ) ) ` Z ) = 0 ) -> E. f ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) )
76	66, 75	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ ( g e. A /\ ( g ` S ) =/= ( g ` Z ) ) ) -> E. f ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) )
77	1, 2, 47, 76	exlimdd 2088	. 2 |- ( ph -> E. f ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) )
78		stoweidlem43.3	. . . . 5 |- F/_ h Q
79		nfmpt1 4747	. . . . 5 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) ` t ) / sup ( ran ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) , RR , < ) ) )
80		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ t f
81		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ t ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) )
82		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ t ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 )
83	17, 82	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ t ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) )
84		stoweidlem43.5	. . . . 5 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
85		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( s = t -> ( f ` s ) = ( f ` t ) )
86	85, 85	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( s = t -> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) = ( ( f ` t ) x. ( f ` t ) ) )
87	86	cbvmptv 4750	. . . . 5 |- ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( f ` t ) ) )
88		eqid 2622	. . . . 5 |- sup ( ran ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) , RR , < )
89		eqid 2622	. . . . 5 |- ( t e. T |-> ( ( ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) ` t ) / sup ( ran ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) , RR , < ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) ` t ) / sup ( ran ( s e. T |-> ( ( f ` s ) x. ( f ` s ) ) ) , RR , < ) ) )
90		stoweidlem43.7	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. Comp )
91	90	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> J e. Comp )
92	54	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> A C_ ( J Cn K ) )
93		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( f = k -> ( f e. A <-> k e. A ) )
94	93	3anbi2d 1404	. . . . . . . 8 |- ( f = k -> ( ( ph /\ f e. A /\ l e. A ) <-> ( ph /\ k e. A /\ l e. A ) ) )
95		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = k -> ( f ` t ) = ( k ` t ) )
96	95	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( f = k -> ( ( f ` t ) x. ( l ` t ) ) = ( ( k ` t ) x. ( l ` t ) ) )
97	96	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9 |- ( f = k -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( l ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( k ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
98	97	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( f = k -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( k ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A ) )
99	94, 98	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( f = k -> ( ( ( ph /\ f e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ k e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( k ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A ) ) )
100		stoweidlem43.10	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A )
101	99, 100	chvarv 2263	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( k ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A )
102	101	3adant1r 1319	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) /\ k e. A /\ l e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( k ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. A )
103	60	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
104	4	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> S e. T )
105	10	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> Z e. T )
106		simpr1 1067	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> f e. A )
107		simpr2 1068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) )
108		simpr3 1069	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> ( f ` Z ) = 0 )
109	78, 79, 80, 81, 83, 52, 84, 9, 87, 88, 89, 91, 92, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108	stoweidlem36 40253	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )
110	109	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) ) )
111	110	exlimdv 1861	. 2 |- ( ph -> ( E. f ( f e. A /\ ( f ` S ) =/= ( f ` Z ) /\ ( f ` Z ) = 0 ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) ) )
112	77, 111	mpd 15	1 |- ( ph -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` S ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   (,)cioo 12175   topGenctg 16098   Cn ccn 21028   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  stoweidlem46  40263