Theorem stoweidlem56 40273

Description: This theorem proves Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here Z is used to represent t₀ in the paper, v is used to represent V in the paper, and e is used to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem56.1	|- F/_ t U
stoweidlem56.2	|- F/ t ph
stoweidlem56.3	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem56.4	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem56.5	|- T = U. J
stoweidlem56.6	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem56.7	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem56.8	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem56.9	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem56.10	|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
stoweidlem56.11	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem56.12	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem56.13	|- ( ph -> Z e. U )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem56	|- ( ph -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )

Distinct variable groups:   e, f, g, t, A   v, e, x, t, A   y, e, f, t, A   g, J, t   T, e, f, g, t   U, e, f, g   e, Z, f, g, t   ph, e, f, g   f, q, g, t, A, r   y, q, T   U, q, y   Z, q, y   ph, q, y, r   T, r   U, r   ph, r   t, K   v, J   v, T, x   v, U, x   v, Z

Allowed substitution hints:   ph( x, v, t)   C( x, y, v, t, e, f, g, r, q)   U( t)   J( x, y, e, f, r, q)   K( x, y, v, e, f, g, r, q)   Z( x, r)

Proof of Theorem stoweidlem56

Dummy variables d p h w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem56.1	. . . . 5 |- F/_ t U
2		stoweidlem56.2	. . . . 5 |- F/ t ph
3		stoweidlem56.3	. . . . 5 |- K = ( topGen ` ran (,) )
4		stoweidlem56.4	. . . . 5 |- ( ph -> J e. Comp )
5		stoweidlem56.5	. . . . 5 |- T = U. J
6		stoweidlem56.6	. . . . 5 |- C = ( J Cn K )
7		stoweidlem56.7	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ C )
8		stoweidlem56.8	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
9		stoweidlem56.9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
10		stoweidlem56.10	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
11		stoweidlem56.11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
12		stoweidlem56.12	. . . . 5 |- ( ph -> U e. J )
13		stoweidlem56.13	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. U )
14		eqid 2622	. . . . 5 |- { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
15		eqid 2622	. . . . 5 |- { w e. J | E. h e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } = { w e. J | E. h e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	stoweidlem55 40272	. . . 4 |- ( ph -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )
17		df-rex 2918	. . . 4 |- ( E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) <-> E. p ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) )
18	16, 17	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> E. p ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) )
19		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> ph )
20		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> p e. A )
21		simprr3 1111	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) )
22		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ t p e. A
23		nfra1 2941	. . . . . . . . 9 |- F/ t A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t )
24	2, 22, 23	nf3an 1831	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) )
25	4	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> J e. Comp )
26	7	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> p e. C )
27	26, 6	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. A ) -> p e. ( J Cn K ) )
28	27	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> p e. ( J Cn K ) )
29		simp3 1063	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) )
30	12	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> U e. J )
31	1, 24, 3, 5, 25, 28, 29, 30	stoweidlem28 40245	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. A /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) )
32	19, 20, 21, 31	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) )
33		simpr1 1067	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> d e. RR+ )
34		simpr2 1068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> d < 1 )
35		simplrl 800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> p e. A )
36		simprr1 1109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) )
38		simprr2 1110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> ( p ` Z ) = 0 )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> ( p ` Z ) = 0 )
40		simpr3 1069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) )
41	37, 39, 40	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) )
42	35, 41	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) )
43	33, 34, 42	3jca 1242	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) -> ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) )
44	43	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) -> ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) )
45	44	eximdv 1846	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> ( E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) )
46	32, 45	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) )
47	46	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) -> E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) )
48	47	eximdv 1846	. . 3 |- ( ph -> ( E. p ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) -> E. p E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) )
49	18, 48	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. p E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) )
50		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ t d e. RR+
51		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ t d < 1
52		nfra1 2941	. . . . . . . . 9 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 )
53		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( p ` Z ) = 0
54		nfra1 2941	. . . . . . . . 9 |- F/ t A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t )
55	52, 53, 54	nf3an 1831	. . . . . . . 8 |- F/ t ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) )
56	22, 55	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ t ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) )
57	50, 51, 56	nf3an 1831	. . . . . 6 |- F/ t ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) )
58	2, 57	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ t ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) )
59		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ t p
60		eqid 2622	. . . . 5 |- { t e. T | ( p ` t ) < ( d / 2 ) } = { t e. T | ( p ` t ) < ( d / 2 ) }
61	7	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> A C_ C )
62	8	3adant1r 1319	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
63	9	3adant1r 1319	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
64	10	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
65		simpr1 1067	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> d e. RR+ )
66		simpr2 1068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> d < 1 )
67	12	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> U e. J )
68	13	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> Z e. U )
69		simpr3l 1122	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> p e. A )
70		simp3r1 1169	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) )
71	70	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) )
72		simp3r2 1170	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> ( p ` Z ) = 0 )
73	72	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> ( p ` Z ) = 0 )
74		simp3r3 1171	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) )
75	74	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) )
76	1, 58, 59, 3, 60, 5, 6, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 71, 73, 75	stoweidlem52 40269	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) ) -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )
77	76	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) ) )
78	77	exlimdvv 1862	. 2 |- ( ph -> ( E. p E. d ( d e. RR+ /\ d < 1 /\ ( p e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) d <_ ( p ` t ) ) ) ) -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) ) )
79	49, 78	mpd 15	1 |- ( ph -> E. v e. J ( ( Z e. v /\ v C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. v ( x ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( x ` t ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   topGenctg 16098   Cn ccn 21028   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  stoweidlem57  40274