Theorem telfsumo 14534

Description: Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
telfsumo.1	|- ( k = j -> A = B )
telfsumo.2	|- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
telfsumo.3	|- ( k = M -> A = D )
telfsumo.4	|- ( k = N -> A = E )
telfsumo.5	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
telfsumo.6	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
telfsumo	|- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )

Distinct variable groups:   A, j   B, k   C, k   j, k, M   j, N, k   ph, j, k   D, k   k, E

Allowed substitution hints:   A( k)   B( j)   C( j)   D( j)   E( j)

Proof of Theorem telfsumo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		telfsumo.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz1 12348	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
4		telfsumo.6	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
5	4	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
6		telfsumo.3	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> A = D )
7	6	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> D e. CC ) )
8	7	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC -> D e. CC ) )
9	3, 5, 8	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. CC )
10	9	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> D e. CC )
11	10	subidd 10380	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( D - D ) = 0 )
12		sum0 14452	. . . 4 |- sum_ j e. (/) ( B - C ) = 0
13	11, 12	syl6reqr 2675	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. (/) ( B - C ) = ( D - D ) )
14		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( N = M -> ( M..^ N ) = ( M..^ M ) )
15	14	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( M..^ N ) = ( M..^ M ) )
16		fzo0 12492	. . . . 5 |- ( M..^ M ) = (/)
17	15, 16	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( M..^ N ) = (/) )
18	17	sumeq1d 14431	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = sum_ j e. (/) ( B - C ) )
19		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( k = M <-> N = M ) )
20		telfsumo.4	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> A = E )
21	20	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( A = D <-> E = D ) )
22	19, 21	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( ( k = M -> A = D ) <-> ( N = M -> E = D ) ) )
23	22, 6	vtoclg 3266	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M -> E = D ) )
24	23	imp 445	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N = M ) -> E = D )
25	1, 24	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> E = D )
26	25	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( D - E ) = ( D - D ) )
27	13, 18, 26	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )
28		fzofi 12773	. . . . . 6 |- ( M..^ N ) e. Fin
29	28	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
30		elfzofz 12485	. . . . . . 7 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( M ... N ) )
31	30	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> j e. ( M ... N ) )
32	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
33		telfsumo.1	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> A = B )
34	33	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
35	34	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( j e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC -> B e. CC ) )
36	31, 32, 35	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> B e. CC )
37		fzofzp1 12565	. . . . . . 7 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
38	37	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
39		telfsumo.2	. . . . . . . 8 |- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
40	39	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A e. CC <-> C e. CC ) )
41	40	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( ( j + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC -> C e. CC ) )
42	38, 32, 41	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> C e. CC )
43	29, 36, 42	fsumsub 14520	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) B - sum_ j e. ( M..^ N ) C ) )
44	43	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) B - sum_ j e. ( M..^ N ) C ) )
45	33	cbvsumv 14426	. . . . . 6 |- sum_ k e. ( M..^ N ) A = sum_ j e. ( M..^ N ) B
46		eluzel2 11692	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
47	1, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
48		eluzp1m1 11711	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
49	47, 48	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
50		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
51	1, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ZZ )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
53		fzoval 12471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
55		fzossfz 12488	. . . . . . . . . . 11 |- ( M..^ N ) C_ ( M ... N )
56	54, 55	syl6eqssr 3656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M ... ( N - 1 ) ) C_ ( M ... N ) )
57	56	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. ( M ... N ) )
58	4	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
59	57, 58	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> A e. CC )
60	49, 59, 6	fsum1p 14482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A ) )
61	54	sumeq1d 14431	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M..^ N ) A = sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A )
62		fzoval 12471	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
63	52, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
64	63	sumeq1d 14431	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A )
65	64	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A ) )
66	60, 61, 65	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M..^ N ) A = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
67	45, 66	syl5eqr 2670	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) B = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
68		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
69		fzp1ss 12392	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
70	47, 69	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
71	70	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
72	71, 4	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> A e. CC )
73	72	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> A e. CC )
74	68, 73, 20	fsumm1 14480	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) )
75		1zzd 11408	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
76	47	peano2zd 11485	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
77	75, 76, 51, 72, 39	fsumshftm 14513	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = sum_ j e. ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) C )
78	47	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. CC )
79		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
80		pncan 10287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
81	78, 79, 80	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
82	81	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
83	51, 53	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
84	82, 83	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( M..^ N ) )
85	84	sumeq1d 14431	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ j e. ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) C = sum_ j e. ( M..^ N ) C )
86	77, 85	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = sum_ j e. ( M..^ N ) C )
87	86	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = sum_ j e. ( M..^ N ) C )
88	51, 62	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
89	88	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A )
90	89	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A + E ) = ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) )
91		fzofi 12773	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M + 1 )..^ N ) e. Fin
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M + 1 )..^ N ) e. Fin )
93		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> k e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
94	93, 72	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> A e. CC )
95	92, 94	fsumcl 14464	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A e. CC )
96		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
97	1, 96	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
98	20	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = N -> ( A e. CC <-> E e. CC ) )
99	98	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC -> E e. CC ) )
100	97, 5, 99	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. CC )
101	95, 100	addcomd 10238	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A + E ) = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
102	90, 101	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
103	102	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
104	74, 87, 103	3eqtr3d 2664	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) C = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
105	67, 104	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( M..^ N ) B - sum_ j e. ( M..^ N ) C ) = ( ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) - ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) ) )
106	9, 100, 95	pnpcan2d 10430	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) - ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) ) = ( D - E ) )
107	106	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) - ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) ) = ( D - E ) )
108	105, 107	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( M..^ N ) B - sum_ j e. ( M..^ N ) C ) = ( D - E ) )
109	44, 108	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )
110		uzp1 11721	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M \/ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
111	1, 110	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( N = M \/ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
112	27, 109, 111	mpjaodan 827	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  telfsumo2  14535  telfsum  14536  geoserg  14598  dchrisumlem2  25179  stirlinglem12  40302