Theorem voliun 23322

Description: The Lebesgue measure function is countably additive. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
voliun.1	|- S = seq 1 ( + , G )
voliun.2	|- G = ( n e. NN |-> ( vol ` A ) )

Assertion

Ref	Expression
voliun	|- ( ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ Disj n e. NN A ) -> ( vol ` U_ n e. NN A ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Proof of Theorem voliun

Dummy variables i m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> A e. dom vol )
2	1	ralimi 2952	. . . . 5 |- ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> A. n e. NN A e. dom vol )
3	2	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ Disj n e. NN A ) -> A. n e. NN A e. dom vol )
4		eqid 2622	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> A ) = ( n e. NN |-> A )
5	4	fmpt 6381	. . . 4 |- ( A. n e. NN A e. dom vol <-> ( n e. NN |-> A ) : NN --> dom vol )
6	3, 5	sylib 208	. . 3 |- ( ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ Disj n e. NN A ) -> ( n e. NN |-> A ) : NN --> dom vol )
7	4	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN /\ A e. dom vol ) -> ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) = A )
8	7	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) ) -> ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) = A )
9	8	ralimiaa 2951	. . . . . 6 |- ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> A. n e. NN ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) = A )
10		disjeq2 4624	. . . . . 6 |- ( A. n e. NN ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) = A -> (Disj n e. NN ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) <-> Disj n e. NN A ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 |- ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> (Disj n e. NN ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) <-> Disj n e. NN A ) )
12	11	biimpar 502	. . . 4 |- ( ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ Disj n e. NN A ) -> Disj n e. NN ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) )
13		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ i ( ( n e. NN |-> A ) ` n )
14		nffvmpt1 6199	. . . . 5 |- F/_ n ( ( n e. NN |-> A ) ` i )
15		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( n = i -> ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) = ( ( n e. NN |-> A ) ` i ) )
16	13, 14, 15	cbvdisj 4630	. . . 4 |- (Disj n e. NN ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) <-> Disj i e. NN ( ( n e. NN |-> A ) ` i ) )
17	12, 16	sylib 208	. . 3 |- ( ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ Disj n e. NN A ) -> Disj i e. NN ( ( n e. NN |-> A ) ` i ) )
18		eqid 2622	. . 3 |- ( m e. NN |-> ( vol* ` ( x i^i ( ( n e. NN |-> A ) ` m ) ) ) ) = ( m e. NN |-> ( vol* ` ( x i^i ( ( n e. NN |-> A ) ` m ) ) ) )
19		eqid 2622	. . 3 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) ) )
20		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ m ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) )
21		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ n vol
22		nffvmpt1 6199	. . . . 5 |- F/_ n ( ( n e. NN |-> A ) ` m )
23	21, 22	nffv 6198	. . . 4 |- F/_ n ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` m ) )
24		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( n = m -> ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) = ( ( n e. NN |-> A ) ` m ) )
25	24	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( n = m -> ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) = ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` m ) ) )
26	20, 23, 25	cbvmpt 4749	. . 3 |- ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) ) = ( m e. NN |-> ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` m ) ) )
27	7	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ A e. dom vol ) -> ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) = ( vol ` A ) )
28	27	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN /\ A e. dom vol ) -> ( ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) e. RR <-> ( vol ` A ) e. RR ) )
29	28	biimprd 238	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ A e. dom vol ) -> ( ( vol ` A ) e. RR -> ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) e. RR ) )
30	29	impr 649	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) ) -> ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) e. RR )
31	30	ralimiaa 2951	. . . . 5 |- ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> A. n e. NN ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) e. RR )
32	31	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ Disj n e. NN A ) -> A. n e. NN ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) e. RR )
33		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ i ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) e. RR
34	21, 14	nffv 6198	. . . . . 6 |- F/_ n ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` i ) )
35	34	nfel1 2779	. . . . 5 |- F/ n ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` i ) ) e. RR
36	15	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( n = i -> ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) = ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` i ) ) )
37	36	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( n = i -> ( ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) e. RR <-> ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` i ) ) e. RR ) )
38	33, 35, 37	cbvral 3167	. . . 4 |- ( A. n e. NN ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) e. RR <-> A. i e. NN ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` i ) ) e. RR )
39	32, 38	sylib 208	. . 3 |- ( ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ Disj n e. NN A ) -> A. i e. NN ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` i ) ) e. RR )
40	6, 17, 18, 19, 26, 39	voliunlem3 23320	. 2 |- ( ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ Disj n e. NN A ) -> ( vol ` U. ran ( n e. NN |-> A ) ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) ) ) , RR* , < ) )
41		dfiun2g 4552	. . . . 5 |- ( A. n e. NN A e. dom vol -> U_ n e. NN A = U. { x | E. n e. NN x = A } )
42	3, 41	syl 17	. . . 4 |- ( ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ Disj n e. NN A ) -> U_ n e. NN A = U. { x | E. n e. NN x = A } )
43	4	rnmpt 5371	. . . . 5 |- ran ( n e. NN |-> A ) = { x | E. n e. NN x = A }
44	43	unieqi 4445	. . . 4 |- U. ran ( n e. NN |-> A ) = U. { x | E. n e. NN x = A }
45	42, 44	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ Disj n e. NN A ) -> U_ n e. NN A = U. ran ( n e. NN |-> A ) )
46	45	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ Disj n e. NN A ) -> ( vol ` U_ n e. NN A ) = ( vol ` U. ran ( n e. NN |-> A ) ) )
47		voliun.1	. . . . 5 |- S = seq 1 ( + , G )
48		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- NN = NN
49	27	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) ) -> ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) = ( vol ` A ) )
50	49	ralimiaa 2951	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> A. n e. NN ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) = ( vol ` A ) )
51	50	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ Disj n e. NN A ) -> A. n e. NN ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) = ( vol ` A ) )
52		mpteq12 4736	. . . . . . . 8 |- ( ( NN = NN /\ A. n e. NN ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) = ( vol ` A ) ) -> ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( vol ` A ) ) )
53	48, 51, 52	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ Disj n e. NN A ) -> ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( vol ` A ) ) )
54		voliun.2	. . . . . . 7 |- G = ( n e. NN |-> ( vol ` A ) )
55	53, 54	syl6reqr 2675	. . . . . 6 |- ( ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ Disj n e. NN A ) -> G = ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) ) )
56	55	seqeq3d 12809	. . . . 5 |- ( ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ Disj n e. NN A ) -> seq 1 ( + , G ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) ) ) )
57	47, 56	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ Disj n e. NN A ) -> S = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) ) ) )
58	57	rneqd 5353	. . 3 |- ( ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ Disj n e. NN A ) -> ran S = ran seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) ) ) )
59	58	supeq1d 8352	. 2 |- ( ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ Disj n e. NN A ) -> sup ( ran S , RR* , < ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( n e. NN |-> A ) ` n ) ) ) ) , RR* , < ) )
60	40, 46, 59	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ Disj n e. NN A ) -> ( vol ` U_ n e. NN A ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   U.cuni 4436   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888   supcsup 8346   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   NNcn 11020   seqcseq 12801   vol*covol 23231   volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  volsup  23324  vitalilem4  23380  voliune  30292  voliunsge0lem  40689