voliunlem3 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > voliunlem3		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem voliunlem3 23320

Description: Lemma for voliun 23322. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
voliunlem.3
voliunlem.5	Disj
voliunlem.6
voliunlem3.1
voliunlem3.2
voliunlem3.4

**Assertion**
Ref	Expression
voliunlem3

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem voliunlem3 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		voliunlem.3	. . . 4
2		voliunlem.5	. . . 4 Disj
3		voliunlem.6	. . . 4
4	1, 2, 3	voliunlem2 23319	. . 3
5		mblvol 23298	. . 3
6	4, 5	syl 17	. 2
7		eqid 2622	. . . . 5
8		eqid 2622	. . . . 5
9	1	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 $/\$
10		mblss 23299	. . . . . 6
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 $/\$
12		mblvol 23298	. . . . . . 7
13	9, 12	syl 17	. . . . . 6 $/\$
14		voliunlem3.4	. . . . . . 7
15		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10
16	15	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
17	16	eleq1d 2686	. . . . . . . 8
18	17	rspccva 3308	. . . . . . 7 $/\$
19	14, 18	sylan 488	. . . . . 6 $/\$
20	13, 19	eqeltrrd 2702	. . . . 5 $/\$
21	7, 8, 11, 20	ovoliun 23273	. . . 4
22		ffn 6045	. . . . . . 7
23	1, 22	syl 17	. . . . . 6
24		fniunfv 6505	. . . . . 6
25	23, 24	syl 17	. . . . 5
26	25	fveq2d 6195	. . . 4
27		voliunlem3.1	. . . . . . 7
28		voliunlem3.2	. . . . . . . . 9
29	13	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9
30	28, 29	syl5eq 2668	. . . . . . . 8
31	30	seqeq3d 12809	. . . . . . 7
32	27, 31	syl5req 2669	. . . . . 6
33	32	rneqd 5353	. . . . 5
34	33	supeq1d 8352	. . . 4
35	21, 26, 34	3brtr3d 4684	. . 3
36		frn 6053	. . . . . . . . . . . . 13
37	1, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
38		mblss 23299	. . . . . . . . . . . . . 14
39		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . 15
40	39	elpw2 4828	. . . . . . . . . . . . . 14
41	38, 40	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . 12
43	37, 42	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . 11
44		sspwuni 4611	. . . . . . . . . . 11
45	43, 44	sylib 208	. . . . . . . . . 10
46		ovolcl 23246	. . . . . . . . . 10
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . 9
48		ovolge0 23249	. . . . . . . . . 10
49	45, 48	syl 17	. . . . . . . . 9
50		mnflt0 11959	. . . . . . . . . 10
51		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . 11
52		0xr 10086	. . . . . . . . . . 11
53		xrltletr 11988	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
54	51, 52, 53	mp3an12 1414	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	50, 54	mpani 712	. . . . . . . . 9
56	47, 49, 55	sylc 65	. . . . . . . 8
57		xrrebnd 11999	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	47, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
59	39	elpw2 4828	. . . . . . . . . . . 12
60	45, 59	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11
61		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
62	61	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
63	61	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
64	63	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
65		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
66	65	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
67		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
68	23, 67	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
69		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
71	70	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
72		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
73	71, 72	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
74	66, 73	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
75	74	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
76	13	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
77	75, 76	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
78	77	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
79	78	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
80	79, 3, 28	3eqtr4g 2681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
81	80	seqeq3d 12809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
82	81, 27	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
83	82	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
84		difeq1 3721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\$ $\$
85		difid 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\$
86	84, 85	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\$
87	86	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$
88		ovol0 23261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
89	87, 88	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$
91	83, 90	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $\$
92		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
93		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
94		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
95	94	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
96		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
97	95, 28, 96	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
98	97	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
99		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
100	99	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
101	100	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
102	101	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
103	14, 102	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
104	98, 103	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
105	92, 93, 104	serfre 12830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
106	27	feq1i 6036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
107	105, 106	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
108	107	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
109	108	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
110	109	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
111	110	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
112	91, 111	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$
113		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
115	112, 114	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$
116	115	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$
117	116	pm5.74d 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$
118	64, 117	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$
119	62, 118	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
120	119	pm5.74da 723	. . . . . . . . . . . 12 $\$
121	1	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
122	2	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Disj
123		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
124		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
125	121, 122, 3, 123, 124	voliunlem1 23318	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
126	125	3exp1 1283	. . . . . . . . . . . 12 $\$
127	120, 126	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . 11
128	60, 127	mpcom 38	. . . . . . . . . 10
129	45, 128	mpd 15	. . . . . . . . 9
130	58, 129	sylbird 250	. . . . . . . 8 $/\$
131	56, 130	mpand 711	. . . . . . 7
132		nltpnft 11995	. . . . . . . . 9
133	47, 132	syl 17	. . . . . . . 8
134		rexr 10085	. . . . . . . . . . 11
135		pnfge 11964	. . . . . . . . . . 11
136	108, 134, 135	3syl 18	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	136	ex 450	. . . . . . . . 9
138		breq2 4657	. . . . . . . . . 10
139	138	imbi2d 330	. . . . . . . . 9
140	137, 139	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8
141	133, 140	sylbird 250	. . . . . . 7
142	131, 141	pm2.61d 170	. . . . . 6
143	142	ralrimiv 2965	. . . . 5
144		ffn 6045	. . . . . . 7
145	107, 144	syl 17	. . . . . 6
146		breq1 4656	. . . . . . 7
147	146	ralrn 6362	. . . . . 6
148	145, 147	syl 17	. . . . 5
149	143, 148	mpbird 247	. . . 4
150		frn 6053	. . . . . . 7
151	107, 150	syl 17	. . . . . 6
152		ressxr 10083	. . . . . 6
153	151, 152	syl6ss 3615	. . . . 5
154		supxrleub 12156	. . . . 5 $/\$
155	153, 47, 154	syl2anc 693	. . . 4
156	149, 155	mpbird 247	. . 3
157		supxrcl 12145	. . . . 5
158	153, 157	syl 17	. . . 4
159		xrletri3 11985	. . . 4 $/\$ $/\$
160	47, 158, 159	syl2anc 693	. . 3 $/\$
161	35, 156, 160	mpbir2and 957	. 2
162	6, 161	eqtrd 2656	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912 $\$ cdif 3571

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cpw 4158

cuni 4436

ciun 4520 Disj wdisj 4620 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cdm 5114

crn 5115

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

csup 8346

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cpnf 10071

cmnf 10072

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cn 11020

cseq 12801

covol 23231

cvol 23232

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cc 9257 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xadd 11947 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-xmet 19739 df-met 19740 df-ovol 23233 df-vol 23234

This theorem is referenced by: voliun 23322

W3C validator