Theorem voliunsge0lem 40689

Description: The Lebesgue measure function is countably additive. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
voliunsge0lem.s	|- S = seq 1 ( + , G )
voliunsge0lem.g	|- G = ( n e. NN |-> ( vol ` ( E ` n ) ) )
voliunsge0lem.e	|- ( ph -> E : NN --> dom vol )
voliunsge0lem.d	|- ( ph -> Disj n e. NN ( E ` n ) )

Assertion

Ref	Expression
voliunsge0lem	|- ( ph -> ( vol ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( vol ` ( E ` n ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   n, E   ph, n

Allowed substitution hints:   S( n)   G( n)

Proof of Theorem voliunsge0lem

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ n ph
2		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ n vol
3		nfiu1 4550	. . . . . . 7 |- F/_ n U_ n e. NN ( E ` n )
4	2, 3	nffv 6198	. . . . . 6 |- F/_ n ( vol ` U_ n e. NN ( E ` n ) )
5	4	nfeq1 2778	. . . . 5 |- F/ n ( vol ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) = +oo
6		iccssxr 12256	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
7		volf 23297	. . . . . . . . . . . 12 |- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) )
9		voliunsge0lem.e	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E : NN --> dom vol )
10	9	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) e. dom vol )
11	10	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. NN ( E ` n ) e. dom vol )
12		iunmbl 23321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. NN ( E ` n ) e. dom vol -> U_ n e. NN ( E ` n ) e. dom vol )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U_ n e. NN ( E ` n ) e. dom vol )
14	8, 13	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( vol ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
15	6, 14	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( vol ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) e. RR* )
16	15	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) e. RR* )
17	16	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo ) -> ( vol ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) e. RR* )
18		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo -> ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo )
19	18	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo -> +oo = ( vol ` ( E ` n ) ) )
20	19	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo ) -> +oo = ( vol ` ( E ` n ) ) )
21	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U_ n e. NN ( E ` n ) e. dom vol )
22		ssiun2 4563	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( E ` n ) C_ U_ n e. NN ( E ` n ) )
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) C_ U_ n e. NN ( E ` n ) )
24		volss 23301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( E ` n ) e. dom vol /\ U_ n e. NN ( E ` n ) e. dom vol /\ ( E ` n ) C_ U_ n e. NN ( E ` n ) ) -> ( vol ` ( E ` n ) ) <_ ( vol ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
25	10, 21, 23, 24	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( E ` n ) ) <_ ( vol ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
26	25	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo ) -> ( vol ` ( E ` n ) ) <_ ( vol ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
27	20, 26	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo ) -> +oo <_ ( vol ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
28	17, 27	xrgepnfd 39547	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo ) -> ( vol ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) = +oo )
29	28	3exp 1264	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. NN -> ( ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo -> ( vol ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) = +oo ) ) )
30	1, 5, 29	rexlimd 3026	. . . 4 |- ( ph -> ( E. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo -> ( vol ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) = +oo ) )
31	30	imp 445	. . 3 |- ( ( ph /\ E. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo ) -> ( vol ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) = +oo )
32		nfre1 3005	. . . . 5 |- F/ n E. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo
33	1, 32	nfan 1828	. . . 4 |- F/ n ( ph /\ E. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo )
34		nnex 11026	. . . . 5 |- NN e. _V
35	34	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ E. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo ) -> NN e. _V )
36	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) )
37	36, 10	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
38	37	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ E. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
39		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ E. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo ) -> E. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo )
40	33, 35, 38, 39	sge0pnfmpt 40662	. . 3 |- ( ( ph /\ E. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( vol ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo )
41	31, 40	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( ph /\ E. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo ) -> ( vol ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( vol ` ( E ` n ) ) ) ) )
42		ralnex 2992	. . . . . 6 |- ( A. n e. NN -. ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo <-> -. E. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo )
43	42	biimpri 218	. . . . 5 |- ( -. E. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo -> A. n e. NN -. ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo )
44	43	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. E. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo ) -> A. n e. NN -. ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo )
45	37	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ -. ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo ) -> ( vol ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
46	18	necon3bi 2820	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo -> ( vol ` ( E ` n ) ) =/= +oo )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ -. ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo ) -> ( vol ` ( E ` n ) ) =/= +oo )
48		ge0xrre 39758	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( vol ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( vol ` ( E ` n ) ) =/= +oo ) -> ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR )
49	45, 47, 48	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ -. ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo ) -> ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR )
50	49	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -. ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo -> ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) )
51		renepnf 10087	. . . . . . . . 9 |- ( ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR -> ( vol ` ( E ` n ) ) =/= +oo )
52	51	neneqd 2799	. . . . . . . 8 |- ( ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR -> -. ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo )
53	52	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR -> -. ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo ) )
54	50, 53	impbid 202	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -. ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo <-> ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) )
55	54	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. n e. NN -. ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo <-> A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) )
56	55	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. E. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo ) -> ( A. n e. NN -. ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo <-> A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) )
57	44, 56	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ph /\ -. E. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo ) -> A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR )
58		nfra1 2941	. . . . . . 7 |- F/ n A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR
59	1, 58	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ n ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR )
60	10	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) e. dom vol )
61		rspa 2930	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR )
62	61	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR )
63	60, 62	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( ( E ` n ) e. dom vol /\ ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) )
64	63	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) -> ( n e. NN -> ( ( E ` n ) e. dom vol /\ ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) ) )
65	59, 64	ralrimi 2957	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) -> A. n e. NN ( ( E ` n ) e. dom vol /\ ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) )
66		voliunsge0lem.d	. . . . . 6 |- ( ph -> Disj n e. NN ( E ` n ) )
67	66	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) -> Disj n e. NN ( E ` n ) )
68		voliunsge0lem.s	. . . . . 6 |- S = seq 1 ( + , G )
69		voliunsge0lem.g	. . . . . 6 |- G = ( n e. NN |-> ( vol ` ( E ` n ) ) )
70	68, 69	voliun 23322	. . . . 5 |- ( ( A. n e. NN ( ( E ` n ) e. dom vol /\ ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) /\ Disj n e. NN ( E ` n ) ) -> ( vol ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) = sup ( ran S , RR* , < ) )
71	65, 67, 70	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) -> ( vol ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) = sup ( ran S , RR* , < ) )
72		1zzd 11408	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) -> 1 e. ZZ )
73		nnuz 11723	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
74		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ n m e. NN
75	59, 74	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ n ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) /\ m e. NN )
76		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ n ( vol ` ( E ` m ) ) e. ( 0 [,) +oo )
77	75, 76	nfim 1825	. . . . . . 7 |- F/ n ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( vol ` ( E ` m ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
78		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( n e. NN <-> m e. NN ) )
79	78	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) /\ n e. NN ) <-> ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) /\ m e. NN ) ) )
80		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( E ` n ) = ( E ` m ) )
81	80	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( vol ` ( E ` n ) ) = ( vol ` ( E ` m ) ) )
82	81	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( ( vol ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( vol ` ( E ` m ) ) e. ( 0 [,) +oo ) ) )
83	79, 82	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( vol ` ( E ` m ) ) e. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
84		0xr 10086	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
85	84	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) /\ n e. NN ) -> 0 e. RR* )
86		pnfxr 10092	. . . . . . . . 9 |- +oo e. RR*
87	86	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) /\ n e. NN ) -> +oo e. RR* )
88	62	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR* )
89		volge0 40177	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E ` n ) e. dom vol -> 0 <_ ( vol ` ( E ` n ) ) )
90	10, 89	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( vol ` ( E ` n ) ) )
91	90	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( vol ` ( E ` n ) ) )
92	62	ltpnfd 11955	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( E ` n ) ) < +oo )
93	85, 87, 88, 91, 92	elicod 12224	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
94	77, 83, 93	chvar 2262	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( vol ` ( E ` m ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
95	81	cbvmptv 4750	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( vol ` ( E ` n ) ) ) = ( m e. NN |-> ( vol ` ( E ` m ) ) )
96	94, 95	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( vol ` ( E ` n ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
97		seqeq3 12806	. . . . . . 7 |- ( G = ( n e. NN |-> ( vol ` ( E ` n ) ) ) -> seq 1 ( + , G ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol ` ( E ` n ) ) ) ) )
98	69, 97	ax-mp 5	. . . . . 6 |- seq 1 ( + , G ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol ` ( E ` n ) ) ) )
99	68, 98	eqtri 2644	. . . . 5 |- S = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol ` ( E ` n ) ) ) )
100	72, 73, 96, 99	sge0seq 40663	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( vol ` ( E ` n ) ) ) ) = sup ( ran S , RR* , < ) )
101	71, 100	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( ph /\ A. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) e. RR ) -> ( vol ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( vol ` ( E ` n ) ) ) ) )
102	57, 101	syldan 487	. 2 |- ( ( ph /\ -. E. n e. NN ( vol ` ( E ` n ) ) = +oo ) -> ( vol ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( vol ` ( E ` n ) ) ) ) )
103	41, 102	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> ( vol ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( vol ` ( E ` n ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   seqcseq 12801   volcvol 23232  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  voliunsge0  40690