Theorem atcvatlem 29244

Description: Lemma for atcvati 29245. (Contributed by NM, 27-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
atoml.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atcvatlem	⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))

Proof of Theorem atcvatlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atoml.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	hatomici 29218	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴)
3		nssne2 3662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝐵)
4	3	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ≠ 𝐵)
5		atnemeq0 29236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 ≠ 𝐵 ↔ (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
6	4, 5	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
7		atelch 29203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥 ∈ Cℋ )
8		cvp 29234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ 𝑥 ⋖ℋ (𝑥 ∨ℋ 𝐵)))
9		atelch 29203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
10		chjcom 28365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
11	9, 10	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
12	11	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⋖ℋ (𝑥 ∨ℋ 𝐵) ↔ 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
13	8, 12	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
14	7, 13	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
15	6, 14	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
16	15	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
17	16	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
18	17	imp 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
19		chub1 28366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
20	9, 7, 19	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
21	20	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
23		pssss 3702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
24		sstr 3611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
25	23, 24	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
26	25	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
28		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐵 ∩ 𝑥) = (𝑥 ∩ 𝐵)
29	3, 5	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
30	29	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
31	30	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
32	31	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ)
33	28, 32	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ)
34	33	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ)
35		atexch 29240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
36	9, 35	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
38	27, 34, 37	mp2and 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
39		atelch 29203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶 ∈ Cℋ )
40		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ∈ Cℋ )
41		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐶 ∈ Cℋ )
42		chjcl 28216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
43	42	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
44	40, 41, 43	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
45	9, 7, 39, 44	syl3an 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
46		chlub 28368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
49	22, 38, 48	mpbi2and 956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
50		chub1 28366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
51	50	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
52	51, 26	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
53		chjcl 28216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
54	53	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
55		chlub 28368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
56	54, 55	syld3an3 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
58	52, 57	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
59	9, 7, 39, 58	syl3anl 1377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
60	49, 59	eqssd 3620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
61	60	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
62	61	psseq2d 3700	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
63	62	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))))
64	63	ibd 258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
65	64	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))))
66	65	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))))
67	66	an32s 846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))))
68	67	com34 91	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))))
69	68	imp45 623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
70		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝑥 ∈ Cℋ )
71	70, 42	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
72	9, 7, 71	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
73		cvnbtwn3 29147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
74	1, 73	mp3an3 1413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
75	74	exp4a 633	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → 𝐴 = 𝑥))))
76	75	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → 𝐴 = 𝑥))))
77	76	imp4a 614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
78	72, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
79	78	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
80	79	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥))
81	80	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥))
82	18, 69, 81	mp2and 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → 𝐴 = 𝑥)
83	82	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → (𝐴 ∈ HAtoms ↔ 𝑥 ∈ HAtoms))
84	83	biimprcd 240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → 𝐴 ∈ HAtoms))
85	84	exp4c 636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms))))
86	85	pm2.43b 55	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms)))
87	86	imp 445	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms))
88	87	exp4d 637	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))))
89	88	rexlimdva 3031	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))))
90	2, 89	syl5 34	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ≠ 0ℋ → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))))
91	90	imp32 449	1 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574   ⊊ wpss 3575   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   C_ℋ cch 27786   ∨_ℋ chj 27790  0_ℋc0h 27792   ⋖_ℋ ccv 27821  HAtomscat 27822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942  ax-hcompl 28059

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-shs 28167  df-span 28168  df-chj 28169  df-chsup 28170  df-pjh 28254  df-cv 29138  df-at 29197

This theorem is referenced by:  atcvati  29245