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Theorem dvntaylp 24125
Description: The M-th derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the M-th derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvntaylp.s |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvntaylp.f |- ( ph -> F : A --> CC )
dvntaylp.a |- ( ph -> A C_ S )
dvntaylp.m |- ( ph -> M e. NN0 )
dvntaylp.n |- ( ph -> N e. NN0 )
dvntaylp.b |- ( ph -> B e. dom ( ( S Dn F ) ` ( N + M ) ) )
Assertion
Ref Expression
dvntaylp |- ( ph -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` M ) = ( N ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` M ) ) B ) )
Proof of Theorem dvntaylp
Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvntaylp.m . . . . 5 |- ( ph -> M e. NN0 )
2 nn0uz 11722 . . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
31, 2syl6eleq 2711 . . . 4 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4 eluzfz2b 12350 . . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> M e. ( 0 ... M ) )
53, 4sylib 208 . . 3 |- ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
6 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` m ) = ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` 0 ) )
7 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( ( S Dn F ) ` m ) = ( ( S Dn F ) ` 0 ) )
87oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` m ) ) = ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` 0 ) ) )
9 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( M - m ) = ( M - 0 ) )
109oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( N + ( M - m ) ) = ( N + ( M - 0 ) ) )
11 eqidd 2623 . . . . . . 7 |- ( m = 0 -> B = B )
128, 10, 11oveq123d 6671 . . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( ( N + ( M - m ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` m ) ) B ) = ( ( N + ( M - 0 ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` 0 ) ) B ) )
136, 12eqeq12d 2637 . . . . 5 |- ( m = 0 -> ( ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` m ) = ( ( N + ( M - m ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` m ) ) B ) <-> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` 0 ) = ( ( N + ( M - 0 ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` 0 ) ) B ) ) )
1413imbi2d 330 . . . 4 |- ( m = 0 -> ( ( ph -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` m ) = ( ( N + ( M - m ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` m ) ) B ) ) <-> ( ph -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` 0 ) = ( ( N + ( M - 0 ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` 0 ) ) B ) ) ) )
15 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` m ) = ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` n ) )
16 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( ( S Dn F ) ` m ) = ( ( S Dn F ) ` n ) )
1716oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( m = n -> ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` m ) ) = ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` n ) ) )
18 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( M - m ) = ( M - n ) )
1918oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( m = n -> ( N + ( M - m ) ) = ( N + ( M - n ) ) )
20 eqidd 2623 . . . . . . 7 |- ( m = n -> B = B )
2117, 19, 20oveq123d 6671 . . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( N + ( M - m ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` m ) ) B ) = ( ( N + ( M - n ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` n ) ) B ) )
2215, 21eqeq12d 2637 . . . . 5 |- ( m = n -> ( ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` m ) = ( ( N + ( M - m ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` m ) ) B ) <-> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` n ) = ( ( N + ( M - n ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` n ) ) B ) ) )
2322imbi2d 330 . . . 4 |- ( m = n -> ( ( ph -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` m ) = ( ( N + ( M - m ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` m ) ) B ) ) <-> ( ph -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` n ) = ( ( N + ( M - n ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` n ) ) B ) ) ) )
24 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` m ) = ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` ( n + 1 ) ) )
25 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( S Dn F ) ` m ) = ( ( S Dn F ) ` ( n + 1 ) ) )
2625oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` m ) ) = ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` ( n + 1 ) ) ) )
27 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( M - m ) = ( M - ( n + 1 ) ) )
2827oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( N + ( M - m ) ) = ( N + ( M - ( n + 1 ) ) ) )
29 eqidd 2623 . . . . . . 7 |- ( m = ( n + 1 ) -> B = B )
3026, 28, 29oveq123d 6671 . . . . . 6 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( N + ( M - m ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` m ) ) B ) = ( ( N + ( M - ( n + 1 ) ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` ( n + 1 ) ) ) B ) )
3124, 30eqeq12d 2637 . . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` m ) = ( ( N + ( M - m ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` m ) ) B ) <-> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( N + ( M - ( n + 1 ) ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` ( n + 1 ) ) ) B ) ) )
3231imbi2d 330 . . . 4 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` m ) = ( ( N + ( M - m ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` m ) ) B ) ) <-> ( ph -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( N + ( M - ( n + 1 ) ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` ( n + 1 ) ) ) B ) ) ) )
33 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( m = M -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` m ) = ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` M ) )
34 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( m = M -> ( ( S Dn F ) ` m ) = ( ( S Dn F ) ` M ) )
3534oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( m = M -> ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` m ) ) = ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` M ) ) )
36 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( m = M -> ( M - m ) = ( M - M ) )
3736oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( m = M -> ( N + ( M - m ) ) = ( N + ( M - M ) ) )
38 eqidd 2623 . . . . . . 7 |- ( m = M -> B = B )
3935, 37, 38oveq123d 6671 . . . . . 6 |- ( m = M -> ( ( N + ( M - m ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` m ) ) B ) = ( ( N + ( M - M ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` M ) ) B ) )
4033, 39eqeq12d 2637 . . . . 5 |- ( m = M -> ( ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` m ) = ( ( N + ( M - m ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` m ) ) B ) <-> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` M ) = ( ( N + ( M - M ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` M ) ) B ) ) )
4140imbi2d 330 . . . 4 |- ( m = M -> ( ( ph -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` m ) = ( ( N + ( M - m ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` m ) ) B ) ) <-> ( ph -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` M ) = ( ( N + ( M - M ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` M ) ) B ) ) ) )
42 ssid 3624 . . . . . . . 8 |- CC C_ CC
4342a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ph -> CC C_ CC )
44 mapsspm 7891 . . . . . . . 8 |- ( CC ^m CC ) C_ ( CC ^pm CC )
45 dvntaylp.s . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
46 dvntaylp.f . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : A --> CC )
47 dvntaylp.a . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ S )
48 dvntaylp.n . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN0 )
4948, 1nn0addcld 11355 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N + M ) e. NN0 )
50 dvntaylp.b . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. dom ( ( S Dn F ) ` ( N + M ) ) )
51 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) = ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B )
5245, 46, 47, 49, 50, 51taylpf 24120 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) : CC --> CC )
53 cnex 10017 . . . . . . . . . 10 |- CC e. _V
5453, 53elmap 7886 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) e. ( CC ^m CC ) <-> ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) : CC --> CC )
5552, 54sylibr 224 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) e. ( CC ^m CC ) )
5644, 55sseldi 3601 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) e. ( CC ^pm CC ) )
57 dvn0 23687 . . . . . . 7 |- ( ( CC C_ CC /\ ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) e. ( CC ^pm CC ) ) -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` 0 ) = ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) )
5843, 56, 57syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` 0 ) = ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) )
59 recnprss 23668 . . . . . . . . . 10 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
6045, 59syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> S C_ CC )
6153a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> CC e. _V )
62 elpm2r 7875 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( CC e. _V /\ S e. { RR , CC } ) /\ ( F : A --> CC /\ A C_ S ) ) -> F e. ( CC ^pm S ) )
6361, 45, 46, 47, 62syl22anc 1327 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. ( CC ^pm S ) )
64 dvn0 23687 . . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( S Dn F ) ` 0 ) = F )
6560, 63, 64syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` 0 ) = F )
6665oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` 0 ) ) = ( S Tayl F ) )
671nn0cnd 11353 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. CC )
6867subid1d 10381 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M - 0 ) = M )
6968oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( N + ( M - 0 ) ) = ( N + M ) )
70 eqidd 2623 . . . . . . 7 |- ( ph -> B = B )
7166, 69, 70oveq123d 6671 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N + ( M - 0 ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` 0 ) ) B ) = ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) )
7258, 71eqtr4d 2659 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` 0 ) = ( ( N + ( M - 0 ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` 0 ) ) B ) )
7372a1i 11 . . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ph -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` 0 ) = ( ( N + ( M - 0 ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` 0 ) ) B ) ) )
74 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` n ) = ( ( N + ( M - n ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` n ) ) B ) -> ( CC _D ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` n ) ) = ( CC _D ( ( N + ( M - n ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` n ) ) B ) ) )
7542a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> CC C_ CC )
7656adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) e. ( CC ^pm CC ) )
77 elfzouz 12474 . . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 0..^ M ) -> n e. ( ZZ>= ` 0 ) )
7877adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> n e. ( ZZ>= ` 0 ) )
7978, 2syl6eleqr 2712 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> n e. NN0 )
80 dvnp1 23688 . . . . . . . . 9 |- ( ( CC C_ CC /\ ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) e. ( CC ^pm CC ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( CC _D ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` n ) ) )
8175, 76, 79, 80syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( CC _D ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` n ) ) )
8245adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> S e. { RR , CC } )
8363adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> F e. ( CC ^pm S ) )
84 dvnf 23690 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( S Dn F ) ` n ) : dom ( ( S Dn F ) ` n ) --> CC )
8582, 83, 79, 84syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S Dn F ) ` n ) : dom ( ( S Dn F ) ` n ) --> CC )
86 dvnbss 23691 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ n e. NN0 ) -> dom ( ( S Dn F ) ` n ) C_ dom F )
8782, 83, 79, 86syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> dom ( ( S Dn F ) ` n ) C_ dom F )
88 fdm 6051 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : A --> CC -> dom F = A )
8946, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom F = A )
9089adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> dom F = A )
9187, 90sseqtrd 3641 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> dom ( ( S Dn F ) ` n ) C_ A )
9247adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> A C_ S )
9391, 92sstrd 3613 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> dom ( ( S Dn F ) ` n ) C_ S )
9448adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> N e. NN0 )
95 fzofzp1 12565 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 0..^ M ) -> ( n + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
9695adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( n + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
97 fznn0sub 12373 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( M - ( n + 1 ) ) e. NN0 )
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( M - ( n + 1 ) ) e. NN0 )
9994, 98nn0addcld 11355 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( N + ( M - ( n + 1 ) ) ) e. NN0 )
10050adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> B e. dom ( ( S Dn F ) ` ( N + M ) ) )
101 elfzofz 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( 0..^ M ) -> n e. ( 0 ... M ) )
102101adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> n e. ( 0 ... M ) )
103 fznn0sub 12373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( 0 ... M ) -> ( M - n ) e. NN0 )
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( M - n ) e. NN0 )
10594, 104nn0addcld 11355 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( N + ( M - n ) ) e. NN0 )
106 dvnadd 23692 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ ( n e. NN0 /\ ( N + ( M - n ) ) e. NN0 ) ) -> ( ( S Dn ( ( S Dn F ) ` n ) ) ` ( N + ( M - n ) ) ) = ( ( S Dn F ) ` ( n + ( N + ( M - n ) ) ) ) )
10782, 83, 79, 105, 106syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S Dn ( ( S Dn F ) ` n ) ) ` ( N + ( M - n ) ) ) = ( ( S Dn F ) ` ( n + ( N + ( M - n ) ) ) ) )
10848nn0cnd 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N e. CC )
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> N e. CC )
11098nn0cnd 11353 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( M - ( n + 1 ) ) e. CC )
111 1cnd 10056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> 1 e. CC )
112109, 110, 111addassd 10062 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( N + ( M - ( n + 1 ) ) ) + 1 ) = ( N + ( ( M - ( n + 1 ) ) + 1 ) ) )
11367adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> M e. CC )
11479nn0cnd 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> n e. CC )
115113, 114, 111nppcan2d 10418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( M - ( n + 1 ) ) + 1 ) = ( M - n ) )
116115oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( N + ( ( M - ( n + 1 ) ) + 1 ) ) = ( N + ( M - n ) ) )
117112, 116eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( N + ( M - ( n + 1 ) ) ) + 1 ) = ( N + ( M - n ) ) )
118117fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S Dn ( ( S Dn F ) ` n ) ) ` ( ( N + ( M - ( n + 1 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( S Dn ( ( S Dn F ) ` n ) ) ` ( N + ( M - n ) ) ) )
119114, 113pncan3d 10395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( n + ( M - n ) ) = M )
120119oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( N + ( n + ( M - n ) ) ) = ( N + M ) )
121113, 114subcld 10392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( M - n ) e. CC )
122109, 114, 121add12d 10262 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( N + ( n + ( M - n ) ) ) = ( n + ( N + ( M - n ) ) ) )
123120, 122eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( N + M ) = ( n + ( N + ( M - n ) ) ) )
124123fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S Dn F ) ` ( N + M ) ) = ( ( S Dn F ) ` ( n + ( N + ( M - n ) ) ) ) )
125107, 118, 1243eqtr4d 2666 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S Dn ( ( S Dn F ) ` n ) ) ` ( ( N + ( M - ( n + 1 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( S Dn F ) ` ( N + M ) ) )
126125dmeqd 5326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> dom ( ( S Dn ( ( S Dn F ) ` n ) ) ` ( ( N + ( M - ( n + 1 ) ) ) + 1 ) ) = dom ( ( S Dn F ) ` ( N + M ) ) )
127100, 126eleqtrrd 2704 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> B e. dom ( ( S Dn ( ( S Dn F ) ` n ) ) ` ( ( N + ( M - ( n + 1 ) ) ) + 1 ) ) )
12882, 85, 93, 99, 127dvtaylp 24124 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( CC _D ( ( ( N + ( M - ( n + 1 ) ) ) + 1 ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` n ) ) B ) ) = ( ( N + ( M - ( n + 1 ) ) ) ( S Tayl ( S _D ( ( S Dn F ) ` n ) ) ) B ) )
129117oveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( N + ( M - ( n + 1 ) ) ) + 1 ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` n ) ) B ) = ( ( N + ( M - n ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` n ) ) B ) )
130129oveq2d 6666 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( CC _D ( ( ( N + ( M - ( n + 1 ) ) ) + 1 ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` n ) ) B ) ) = ( CC _D ( ( N + ( M - n ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` n ) ) B ) ) )
13160adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> S C_ CC )
132 dvnp1 23688 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( S Dn F ) ` ( n + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn F ) ` n ) ) )
133131, 83, 79, 132syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S Dn F ) ` ( n + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn F ) ` n ) ) )
134133oveq2d 6666 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( S Tayl ( S _D ( ( S Dn F ) ` n ) ) ) )
135134eqcomd 2628 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( S Tayl ( S _D ( ( S Dn F ) ` n ) ) ) = ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` ( n + 1 ) ) ) )
136135oveqd 6667 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( N + ( M - ( n + 1 ) ) ) ( S Tayl ( S _D ( ( S Dn F ) ` n ) ) ) B ) = ( ( N + ( M - ( n + 1 ) ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` ( n + 1 ) ) ) B ) )
137128, 130, 1363eqtr3rd 2665 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( N + ( M - ( n + 1 ) ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` ( n + 1 ) ) ) B ) = ( CC _D ( ( N + ( M - n ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` n ) ) B ) ) )
13881, 137eqeq12d 2637 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( N + ( M - ( n + 1 ) ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` ( n + 1 ) ) ) B ) <-> ( CC _D ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` n ) ) = ( CC _D ( ( N + ( M - n ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` n ) ) B ) ) ) )
13974, 138syl5ibr 236 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` n ) = ( ( N + ( M - n ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` n ) ) B ) -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( N + ( M - ( n + 1 ) ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` ( n + 1 ) ) ) B ) ) )
140139expcom 451 . . . . 5 |- ( n e. ( 0..^ M ) -> ( ph -> ( ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` n ) = ( ( N + ( M - n ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` n ) ) B ) -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( N + ( M - ( n + 1 ) ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` ( n + 1 ) ) ) B ) ) ) )
141140a2d 29 . . . 4 |- ( n e. ( 0..^ M ) -> ( ( ph -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` n ) = ( ( N + ( M - n ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` n ) ) B ) ) -> ( ph -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( N + ( M - ( n + 1 ) ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` ( n + 1 ) ) ) B ) ) ) )
14214, 23, 32, 41, 73, 141fzind2 12586 . . 3 |- ( M e. ( 0 ... M ) -> ( ph -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` M ) = ( ( N + ( M - M ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` M ) ) B ) ) )
1435, 142mpcom 38 . 2 |- ( ph -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` M ) = ( ( N + ( M - M ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` M ) ) B ) )
14467subidd 10380 . . . . 5 |- ( ph -> ( M - M ) = 0 )
145144oveq2d 6666 . . . 4 |- ( ph -> ( N + ( M - M ) ) = ( N + 0 ) )
146108addid1d 10236 . . . 4 |- ( ph -> ( N + 0 ) = N )
147145, 146eqtrd 2656 . . 3 |- ( ph -> ( N + ( M - M ) ) = N )
148147oveq1d 6665 . 2 |- ( ph -> ( ( N + ( M - M ) ) ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` M ) ) B ) = ( N ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` M ) ) B ) )
149143, 148eqtrd 2656 1 |- ( ph -> ( ( CC Dn ( ( N + M ) ( S Tayl F ) B ) ) ` M ) = ( N ( S Tayl ( ( S Dn F ) ` M ) ) B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {cpr 4179   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   _D cdv 23627   Dncdvn 23628   Tayl ctayl 24107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-dvn 23632  df-tayl 24109
This theorem is referenced by:  dvntaylp0  24126  taylthlem1  24127
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